X n l'ensemble des éléments de M n ( R ) dont tous les coecients sont dans {0, 1} , Y n l'ensemble des éléments de M n ( R ) dont tous les coecients sont dans [0, 1] ,

MPSI B Année 2018-2019. DS 11 le 24/05/19 29 juin 2019

Problème 1

Cet exercice ¹ porte sur les déterminants des matrices à coecients dans {0, 1} . Dans ce texte, n est un entier supérieur ou égal à 2 et on note :

M _n = M _n ( R ) l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coecients dans R, GL n ( R ) l'ensemble des éléments inversibles de M n ( R ) ,

X n l'ensemble des éléments de M n ( R ) dont tous les coecients sont dans {0, 1} , Y n l'ensemble des éléments de M n ( R ) dont tous les coecients sont dans [0, 1] ,

I. Généralités

1. Justier que X n est un ensemble ni et préciser son cardinal.

2. Démontrer que | det(M )| < n! pour tout M ∈ Y n .

3. Soit M ∈ Y n et λ une valeur propre complexe de M c'est à dire λ ∈ C , ∃X ∈ M n,1 ( C ), X 6= 0 _M

_n,1

_{( C )} tq M X = λX.

Montrer que |λ| ≤ n et donner un exemple explicite où l'on a l'égalité.

4. Étude de X _n ⁰ = X _n ∩ GL _n ( R ) .

a. Faire la liste des éléments de X ₂ ⁰ .

b. Montrer que X ₂ ⁰ engendre M ₂ . La propriété Vect(X _n ⁰ ) = M _n est-elle vraie pour n ≥ 2 ?

II. Maximisation du déterminant

1. Justier l'existence de

x _n = max {det(M ), M ∈ X n } y _n = sup {det(M ), M ∈ Y n } . 2. Montrer que la suite (y k ) _k≥2 est croissante.

3. Soit J ∈ X n la matrice dont tous les coecients valent 1 . On pose M = J −I n . calculer det(M ) et en déduire que (y k ) _k≥2 tend vers +∞ .

4. Soit N ∈ Y n . Pour (i, j) ∈ J 1, n K

2 , on note n i,j les coecients de N et supposons que pour un (i 0 , j 0 ) xé on ait 0 < n i

0

,j

0

< 1 .

a. Montrer qu'en remplaçant n i

₀

,j

₀

soit par 0 soit par 1 , on peut obtenir une matrice N ⁰ ∈ Y n telle que det(N) ≤ det(N ⁰ ) .

b. Montrer que x n = y n .

1

d'après Math 1 PSI Concours Centrale-Supelec 2016

Problème 2

Dans ce texte ² , n désigne un naturel supérieur ou égal à 2.

Une matrice B ∈ M _n ( R ) est dite bistochastique si et seulement si ses coecients sont dans [0, 1] et toutes les sommes par ligne et par colonne sont égales à 1 c'est à dire

∀(i, j) ∈ J 1, n K

2 , b _ij ∈ [0, 1] et

n

X

k=1

b _ik =

n

X

k=1

b _kj = 1.

Pour tout σ ∈ S n , on désigne par P σ la matrice de M n ( R ) dénie par :

∀(i, j) ∈ J 1, n K

2 , terme i, j de P σ = δ _iσ(j) .

On note B l'ensemble des matrices bistochastiques. On dénit aussi une matrice ligne et une matrice colonne particulières :

L = 1 1 · · · 1

∈ M 1,n ( R ), C =









 1 1 ...

1











∈ M n,1 ( R ).

I. Convexité

On se place dans un R-espace vectoriel E .

Soit p ≥ 2 entier naturel et u 1 , · · · , u p des vecteurs E . Les vecteurs

p

X

k=1

λ k u k avec

p

X

k=1

λ k = 1 et (λ 1 , · · · , λ p ) ∈ [0, 1] ^p sont appelés des combinaisons convexes de u 1 , · · · , u p .

On note C({u 1 , · · · , u p }) l'ensemble des combinaisons convexes des vecteurs u 1 , · · · , u p . On admet que c'est une partie convexe.

Dans le cas particulier de deux vecteurs, on note [u 1 , u 2 ] = C(u 1 , u 2 ) . On dit qu'une partie Ω de E est convexe si et seulement si

∀(u, v) ∈ Ω ² , [u, v] ⊂ Ω .

Soit Ω une partie convexe de E et u ∈ Ω . On dit que u ∈ Ω est un point extrémal de Ω si et seulement si

∀(a, b) ∈ Ω ² , u ∈ [a, b] ⇒ u ∈ {a, b} .

2

tiré de The Cauchy-Schwarz Master Class

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Rémy Nicolai S1811E

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1. Montrer que, pour tous u et v dans E ,

[u, v] = [v, u] = {λu + (1 − λ)v, λ ∈ [0, 1]} = {µv + (1 − µ)u, µ ∈ [0, 1]} .

2. Exemple. Dans E = R ³ , on note

e ₁ = (1, 0, 0), e ₂ = (0, 1, 0), e ₃ = (0, 0, 1), T = C(e 1 , e ₂ , e ₃ ).

Montrer que

(x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ T ⇔

( (x ₁ , x ₂ , x ₃ ) ∈ [0, 1] ³ x 1 + x 2 + x 3 = 1. .

3. Montrer qu'une partie convexe Ω de E est stable par combinaisons convexes. C'est à dire que, pour tout p ≥ 2 et tous vecteurs u 1 , · · · , u p de Ω , les combinaisons convexes de ces vecteurs sont encore dans Ω .

4. On reprend l'exemple de la question 2.

a. Montrer que e 1 , e 2 , e 3 sont des points extrémaux de T . b. Soit x = (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ T avec 0 < x 2 ≤ x 1 < 1 et

∀t ∈ R , x t = (x 1 + t, x 2 − t, x 3 ).

Montrer qu'il existe des t non nuls tels que x t et x _−t soient dans T . En déduire que x n'est pas un point extrémal de T .

c. Montrer que si x est un point extrémal de T alors c'est l'un des e i .

II. Matrices bistochastiques

1. a. Soit σ et θ dans S n . Montrer que P θ P σ = P _θ◦σ , ^t P θ = P _θ

⁻¹

. Que vaut det P σ ? b. Montrer que les matrices de permutation sont bistochastiques.

2. Dans cette question, toutes les matrices sont 2 × 2 .

a. Préciser la forme des matrices bistochastiques. Quelles sont les matrices de per- mutation ?

b. Soit B bistochastique qui n'est pas une matrice de permutation. Former B ₁ et B ₂ bistochastiques telles que

B = 1 2 B 1 + 1

2 B 2 avec B 1 6= B et B 2 6= B.

En déduire que toute matrice bistochastique extrémale est une matrice de per- mutation.

3. Opérations sur les matrices bistochastiques.

a. Soit B bistochastique et Y une matrice colonne dont la somme des termes vaut 1. Montrer que BY une matrice colonne dont la somme des termes vaut 1.

b. Montrer qu'une matrice B à coecients positifs est bistochastique si et seulement si L B = L et B C = C .

c. Montrer que le produit de matrices bistochastiques est bistochastique.

d. Montrer qu'une combinaison convexe de matrices bistochastiques est bistochas- tique. En déduire que l'ensemble B des matrices bistochastique est convexe.

4. Montrer qu'une matrice de permutation est un point extrémal de B .

5. Notons E la partie de M n ( R ) formée par les matrices M dont la somme des termes par ligne et par colonne est toujours nulle et considérons l'application Φ de E dans M n−1 ( R ) qui à une matrice M associe la matrice extraite obtenue en supprimant la ligne n et la colonne n .

a. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M n ( R ) et que Φ est linéaire.

b. Montrer que Φ est injective.

c. Montrer que Φ est surjective.

d. En déduire dim(E) = (n − 1) ² .

6. a. Soit B bistochastique avec 2n coecients non nuls. Montrer qu'il existe E ∈ E telle que B t = B + tE soit bistochastique pour |t| assez petit. En déduire que B n'est pas extrémale.

b. Soit B bistochastique avec au plus 2n − 1 coecients non nuls. Montrer qu'il existe i et j tels que b _ij = 1 soit le seul terme non nul de la ligne i et de la colonne j .

7. Montrer que tout point extrémal de l'ensemble des matrices bistochastiques est une matrice de permutation.

III. Majorisation

On se place dans l'ensemble des matrices colonnes M _n,1 ([0, 1]) pour lesquelles la somme des termes vaut 1.

Pour une telle matrice colonne X , notons S X = {P σ X, σ ∈ S n } et C X = C(S X ) . Par dénition, S X et C X sont des parties de M n,1 ( R ) . On admet que C X est convexe.

1. Justier que S X est ni. Majorer son cardinal. Soit θ et σ dans S n . Montrer que X ∈ C Y ⇒ P θ X ∈ C P

_σ

Y .

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Rémy Nicolai S1811E

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2. Soit Y une colonne et X ∈ C Y . Montrer qu'il existe une fonction π de S n dans [0, 1]

telle que

X = X

σ∈S

n

π(σ) P σ Y avec X

σ∈S

n

π(σ) = 1.

En déduire qu'il existe une matrice bistochastique B telle que X = BY . Que vaut le terme d'indice i, j de B ?

3. On souhaite étudier si X ∈ C _Y . Justier que l'on peut supposer X =





 x ₁

...

x n





 , Y =





 y ₁

...

y n





 , avec x ₁ ≥ x ₂ ≥ · · · ≥ x _n et y ₁ ≥ y ₂ ≥ · · · ≥ y _n . Dans toute la suite, les colonnes X et Y vérient ces propriétés. Ne pas oublier que l'on a aussi

x 1 + · · · + x n = y 1 + · · · + y n = 1.

4. a. On suppose qu'il existe une matrice bistochastique B telle que X = BY . Soit j ∈ J 1, n − 1 K, préciser les réels c ₁ , · · · , c _n tels que

j

X

k=1

x _k =

n

X

k=1

c _k y _k .

Vérier que ∀k ∈ J 1, n K , 0 ≤ c _k ≤ 1 et P n

k=1 c _k = j .

b. On suppose toujours X = BY avec B bistochastique. Montrer que

∀j ∈ J 1, n − 1 K ,

j

X

k=1

x _k ≤

j

X

k=1

y _k .

On note X ≺ Y cette propriété et on dit alors que Y majorise X . Pour le montrer on peut considérer

j

X

k=1

x k −

j

X

k=1

y k =

n

X

k=1

c k y k + y j −

n

X

k=1

c k

! + j

!

−

j

X

k=1

y k .

c. En déduire X ∈ C _Y ⇒ X ≺ Y .

5. On suppose que X ≺ Y . C'est à dire que

∀l ∈ J 1, n − 1 K ,

l

X

k=1

x _j ≤

l

X

k=1

y _j .

On suppose aussi X 6= Y et on note p le nombre d'indices k tels que x k 6= y k . a. Montrer que p ≥ 2 .

b. On dénit i et j comme le plus petit et le plus grand des k tels que x k 6= y k . Montrer que i < j et y j < x j ≤ x i < y i .

c. Préciser λ ∈ [0, 1] tel que x i = λy i + (1 − λ)y j . On pose B λ = λI n + (1 − λ)P _(ij) et Y ⁰ = B λ Y.

Montrer que X ≺ Y ⁰ et que le nombre d'indices k tels que x k 6= y _k ⁰ est strictement plus petit que p .

6. Montrer que X ≺ Y entraine X ∈ C Y .

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