Une matrice B ∈ M n ( R ) est dite bistochastique si et seulement si ses coecients sont dans [0, 1] et toutes les sommes par ligne et par colonne sont égales à 1 c'est à dire

Énoncé

Dans ce texte

¹

, n désigne un naturel supérieur ou égal à 2.

Une matrice B ∈ M _n ( R ) est dite bistochastique si et seulement si ses coecients sont dans [0, 1] et toutes les sommes par ligne et par colonne sont égales à 1 c'est à dire

∀(i, j) ∈ J 1, n K

2 , b ij ∈ [0, 1] et

n

X

k=1

b ik =

n

X

k=1

b kj = 1.

Pour tout σ ∈ S n , on désigne par P σ la matrice de M n ( R ) dénie par :

∀(i, j) ∈ J 1, n K

2 , terme i, j de P σ = δ _iσ(j) .

On note B l'ensemble des matrices bistochastiques. On dénit aussi une matrice ligne et une matrice colonne particulières :

L = 1 1 · · · 1

∈ M 1,n ( R ), C =









 1 1 ...

1











∈ M n,1 ( R ).

I. Convexité

On se place dans un R-espace vectoriel E .

Soit p ≥ 2 entier naturel et u 1 , · · · , u p des vecteurs E . Les vecteurs

p

X

k=1

λ k u k avec

p

X

k=1

λ k = 1 et (λ 1 , · · · , λ p ) ∈ [0, 1] ^p sont appelés des combinaisons convexes de u 1 , · · · , u p .

On note C({u 1 , · · · , u p }) l'ensemble des combinaisons convexes des vecteurs u 1 , · · · , u p . On admet que c'est une partie convexe.

Dans le cas particulier de deux vecteurs, on note [u 1 , u 2 ] = C(u 1 , u 2 ) . On dit qu'une partie Ω de E est convexe si et seulement si

∀(u, v) ∈ Ω ² , [u, v] ⊂ Ω .

Soit Ω une partie convexe de E et u ∈ Ω . On dit que u ∈ Ω est un point extrémal de Ω si et seulement si

∀(a, b) ∈ Ω ² , u ∈ [a, b] ⇒ u ∈ {a, b} .

1

tiré de The Cauchy-Schwarz Master Class

1. Montrer que, pour tous u et v dans E ,

[u, v] = [v, u] = {λu + (1 − λ)v, λ ∈ [0, 1]} = {µv + (1 − µ)u, µ ∈ [0, 1]} .

2. Exemple. Dans E = R ³ , on note

e ₁ = (1, 0, 0), e ₂ = (0, 1, 0), e ₃ = (0, 0, 1), T = C(e 1 , e ₂ , e ₃ ).

Montrer que

(x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ T ⇔

( (x ₁ , x ₂ , x ₃ ) ∈ [0, 1] ³ x 1 + x 2 + x 3 = 1. .

3. Montrer qu'une partie convexe Ω de E est stable par combinaisons convexes. C'est à dire que, pour tout p ≥ 2 et tous vecteurs u 1 , · · · , u p de Ω , les combinaisons convexes de ces vecteurs sont encore dans Ω .

4. On reprend l'exemple de la question 2.

a. Montrer que e 1 , e 2 , e 3 sont des points extrémaux de T . b. Soit x = (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ T avec 0 < x 2 ≤ x 1 < 1 et

∀t ∈ R , x t = (x 1 + t, x 2 − t, x 3 ).

Montrer qu'il existe des t non nuls tels que x t et x

_−t

soient dans T . En déduire que x n'est pas un point extrémal de T .

c. Montrer que si x est un point extrémal de T alors c'est l'un des e i .

II. Matrices bistochastiques

1. a. Soit σ et θ dans S n . Montrer que P θ P σ = P _θ◦σ , ^t P θ = P _θ

⁻¹

. Que vaut det P σ ? b. Montrer que les matrices de permutation sont bistochastiques.

2. Dans cette question, toutes les matrices sont 2 × 2 .

a. Préciser la forme des matrices bistochastiques. Quelles sont les matrices de per- mutation ?

b. Soit B bistochastique qui n'est pas une matrice de permutation. Former B ₁ et B ₂ bistochastiques telles que

B = 1 2 B 1 + 1

2 B 2 avec B 1 6= B et B 2 6= B.

En déduire que toute matrice bistochastique extrémale est une matrice de per-

mutation.

3. Opérations sur les matrices bistochastiques.

a. Soit B bistochastique et Y une matrice colonne dont la somme des termes vaut 1. Montrer que BY une matrice colonne dont la somme des termes vaut 1.

b. Montrer qu'une matrice B à coecients positifs est bistochastique si et seulement si L B = L et B C = C .

c. Montrer que le produit de matrices bistochastiques est bistochastique.

d. Montrer qu'une combinaison convexe de matrices bistochastiques est bistochas- tique. En déduire que l'ensemble B des matrices bistochastique est convexe.

4. Montrer qu'une matrice de permutation est un point extrémal de B .

5. Notons E la partie de M n ( R ) formée par les matrices M dont la somme des termes par ligne et par colonne est toujours nulle et considérons l'application Φ de E dans M n−1 ( R ) qui à une matrice M associe la matrice extraite obtenue en supprimant la ligne n et la colonne n .

a. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M n ( R ) et que Φ est linéaire.

b. Montrer que Φ est injective.

c. Montrer que Φ est surjective.

d. En déduire dim(E) = (n − 1) ² .

6. a. Soit B bistochastique avec 2n coecients non nuls. Montrer qu'il existe E ∈ E telle que B t = B + tE soit bistochastique pour |t| assez petit. En déduire que B n'est pas extrémale.

b. Soit B bistochastique avec au plus 2n − 1 coecients non nuls. Montrer qu'il existe i et j tels que b _ij = 1 soit le seul terme non nul de la ligne i et de la colonne j .

7. Montrer que tout point extrémal de l'ensemble des matrices bistochastiques est une matrice de permutation.

III. Majorisation

On se place dans l'ensemble des matrices colonnes M _n,1 ([0, 1]) pour lesquelles la somme des termes vaut 1.

Pour une telle matrice colonne X , notons S X = {P σ X, σ ∈ S n } et C X = C(S X ) . Par dénition, S X et C X sont des parties de M n,1 ( R ) . On admet que C X est convexe.

1. Justier que S X est ni. Majorer son cardinal. Soit θ et σ dans S n . Montrer que X ∈ C Y ⇒ P θ X ∈ C P

_σ

Y .

2. Soit Y une colonne et X ∈ C Y . Montrer qu'il existe une fonction π de S n dans [0, 1]

telle que

X = X

σ∈S

n

π(σ) P σ Y avec X

σ∈S

n

π(σ) = 1.

En déduire qu'il existe une matrice bistochastique B telle que X = BY . Que vaut le terme d'indice i, j de B ?

3. On souhaite étudier si X ∈ C _Y . Justier que l'on peut supposer

X =





 x ₁

...

x n





 , Y =





 y ₁

...

y n





 , avec x ₁ ≥ x ₂ ≥ · · · ≥ x _n et y ₁ ≥ y ₂ ≥ · · · ≥ y _n .

Dans toute la suite, les colonnes X et Y vérient ces propriétés. Ne pas oublier que l'on a aussi

x 1 + · · · + x n = y 1 + · · · + y n = 1.

4. a. On suppose qu'il existe une matrice bistochastique B telle que X = BY . Soit j ∈ J 1, n − 1 K, préciser les réels c ₁ , · · · , c _n tels que

j

X

k=1

x _k =

n

X

k=1

c _k y _k .

Vérier que ∀k ∈ J 1, n K , 0 ≤ c _k ≤ 1 et P n

k=1 c _k = j .

b. On suppose toujours X = BY avec B bistochastique. Montrer que

∀j ∈ J 1, n − 1 K ,

j

X

k=1

x _k ≤

j

X

k=1

y _k .

On note X ≺ Y cette propriété et on dit alors que Y majorise X . Pour le montrer on peut considérer

j

X

k=1

x k −

j

X

k=1

y k =

n

X

k=1

c k y k + y j −

n

X

k=1

c k

! + j

!

−

j

X

k=1

y k .

c. En déduire X ∈ C _Y ⇒ X ≺ Y .

5. On suppose que X ≺ Y . C'est à dire que

∀l ∈ J 1, n − 1 K ,

l

X

k=1

x _j ≤

l

X

k=1

y _j .

On suppose aussi X 6= Y et on note p le nombre d'indices k tels que x k 6= y k . a. Montrer que p ≥ 2 .

b. On dénit i et j comme le plus petit et le plus grand des k tels que x k 6= y k . Montrer que i < j et y j < x j ≤ x i < y i .

c. Préciser λ ∈ [0, 1] tel que x i = λy i + (1 − λ)y j . On pose B λ = λI n + (1 − λ)P _(ij) et Y

⁰

= B λ Y.

Montrer que X ≺ Y

⁰

et que le nombre d'indices k tels que x k 6= y _k

⁰

est strictement plus petit que p .

6. Montrer que X ≺ Y entraine X ∈ C Y .

Corrigé

Le corrigé de mat6 est incomplet. Il manque la rédaction des questions faciles .

I. Convexité

1.

2.

3.

4. a. Montrons que e 1 est extrémal car le raisonnement sera le même pour e 2 et e 3 . Supposons e 1 ∈ [a, b] (c'est à dire combinaison convexe de a et b ) avec a = (a 1 , a 2 , a 3 ) et b = (b 1 , b 2 , b 3 ) dans T donc tous les a i , b j entre 0 et 1. Il s'agit de montrer que e 1 est a ou b .

Chaque coordonnée de e 1 est combinaison convexe des coordonnées correspon- dantes de a et b . Donc

1 ∈ [a ₁ , b ₁ ] ⇒ 1 = b ₁ ⇒ b = e ₁ car b ₁ + b ₂ + b ₃ = 1 avec les b _i entre 0 et 1.

En fait on démontre aussi que a = e 1 avec 0 ∈ [a 2 , b 2 ] et 0 ∈ [a 3 , b 3 ] .

b. La condition x t ∈ T se traduit par un système de 4 inégalités car la somme des coordonnées est toujours 1.

0 ≤ x 1 + t ≤ 1 0 ≤ x 2 − t ≤ 1 )

⇔ t ∈ [max(−x 1 , x 2 − 1), min(x 2 , 1 − x 1 )]

⇔ t ∈ [− min(x 1 , 1 − x 2 ), min(x 2 , 1 − x 1 )]

Posons ρ = min(x ₁ , 1 − x ₂ , x ₂ , 1 − x ₁ ) = min(x ₂ , 1 − x ₁ ) avec les hypothèses.

Alors 0 < t < ρ entraine x _t et x

_−t

dans T et diérents de x . Or

x = 1 2 x t + 1

2 x

_−t

∈ ]x t , x

_−t

[ ce qui signie que x n'est pas un point extrémal.

c. Si x n'est pas un des e _i , au moins une de ses coordonnées est dans ]0, 1[ . Il doit en

exister une autre car la somme vaut 1 . On se retrouve dans une situation analogue

au a. ce qui entraine que x n'est pas extrémal. Le seuls points extrémaux sont

donc les e _i .

II. Matrices bistochastiques

1. a.

b.

2. a.

b.

3. Opérations sur les matrices bistochastiques.

a.

b.

c.

d.

4. On veut montrer qu'une matrice de permutation est un point extrémal de l'ensemble des matrices bistochastiques.

Montrons d'abord que la matrice identité (qui est une matrice de permutation parti- culière) est extrémale. Supposons I ∈ [A, B] avec A et B bistochastiques et

I = t A + (1 − t) B avec 0 ≤ t ≤ 1.

On veut montrer que I est A ou B . Logiquement, cela revient à montrer B 6= I ⇒ A = I.

Supposons B 6= I . Il existe i tel que b ii < 1 . Pour simplier, on supposera b 11 < 1 . Comme 1 (terme 11 de I ) est entre a 11 et b 11 et que a 11 est entre 0 et 1 , on a a 11 = 1 . La somme des termes de la première ligne ou de la première colonne de A vaut 1, donc a ₁₁ = 1 est le seul terme non nul de cette ligne et de cette colonne.

Il s'agit de montrer que t = 1 . Pour cela considérons le terme 11 de l'égalité matricielle t < 1

b 11 < 1 )

⇒ ta 11 + (1 − t)b 11 = t + (1 − t)b 11 < t < 1

en contradiction avec le fait que ce terme est égal au terme 11 de I c'est à dire 1 . On en déduit t = 1 et A = I .

Il reste à montrer que n'importe quelle matrice de permutation P σ est extrémale.

Soit P σ ∈ [A, B] avec A et B extrémales. On peut tout multiplier par la matrice de permutation inverse P _σ

−1

. Donc I ∈ [A

⁰

, B

⁰

] avec A

⁰

= P _σ

−1

A et B

⁰

= P _σ

−1

B . Les matrices A

⁰

et B

⁰

sont bistochastiques comme produits de matrices bistochastiques (II.3.b). Comme I est extrémale, elle est égale à A

⁰

ou B

⁰

. Par exemple

I = A

⁰

= P _σ

⁻¹

A ⇒ P σ = A.

5. Étude de E : matrices dont les sommes des termes par ligne et colonne sont nulles.

a. On vérie les propriétés assurant que E est un sous-espace et que Φ est linéaire.

b. On veut montrer que Φ est injective. Soit M ∈ E dans ker Φ . Le bloc (n−1)×(n−1) en haut à gauche de M est nul. Comme pour les n − 1 premières lignes, la somme des termes est nulle, on obtient que les n − 1 premiers termes de la colonne n sont nuls. Le dernier terme de cette colonne est aussi nul car la somme est nulle. On raisonne de même avec les n − 1 premières colonnes et on obtient que les n − 1 premiers termes de la dernière ligne sont nuls. Ainsi M est la matrice nulle, ce qui assure l'injectivité de Φ .

c. On veut montrer que Φ est surjective. Soit A ∈ M _n−1 quelconque. On veut trouver M ∈ E tel que Φ(M ) = A .

Par dénition, de Φ , le bloc en haut à gauche de M doit être A :

∀(i, j) ∈ J 1, n − 1 K

2 , m ij = a ij .

Il reste à dénir m 1n , · · · , m n−1n , m n1 , · · · , m nn−1 et m nn .

On dénit les premières valeurs avec les premières lignes et colonnes

∀k ∈ J 1, n − 1 K , m kn = −

n−1

X

i=1

a ki , m nk = −

n−1

X

i=1

a ik .

On peut dénir m nn avec la dernière ligne :

m _nn = −

n−1

X

i=1

a _ni .

Mais il faut alors vérier que la somme des termes de la dernière colonne est bien nulle.

n

X

k=1

m _kn =

n

X

k=1

−

n−1

X

i=1

a _ki

!

= −

n−1

X

i=1 n

X

k=1

a _ki

!

| {z }

=0

= 0 ⇒ M ∈ E.

d. Comme Φ est un isomorphisme, il conserve la dimension donc dim(E) = (n − 1) ² . 6. a. Soit B bistochastique avec 2n coecients non nuls. Il existe donc 2n couples (i, j) tels que b ij 6= 0 . Notons V le sous-espace vectoriel engendré par les matrices élémentaires E ij attachées à ces couples. Par dénition dim V = 2n . Donc :

dim E + dim V = (n − 1) ² + 2n = n ² + 1 > n ² = dim M n ( R ).

On en déduit que E ∩ V ne se réduit pas à la matrice nulle. Notons E une matrice non nulle dans cette intersection et posons B t = B + tE . Les matrices B et B t

coincident pour tous les couples d'indices sauf sur les 2n couples (i, j) pour lesquels b _ij > 0 . Pour un tel couple, le terme i, j de B _t est b _ij +t . Il existe donc un intervalle ouvert contenant 0 assez petit pour que tous ces termes soient strictement positifs.

Comme B ∈ E les sommes des termes des lignes et des colonnes sont les mêmes pour B et B _t donc B _t est bien bistochastique. On a alors

B = 1 2 B t + 1

2 B

−t

⇒ B ∈ ]B t , B

−t

[ Ce qui entraine que B n'est pas extrémale.

b. Soit B bistochastique avec au plus 2n − 1 coecients non nuls. Il existe donc une colonne j contenant au plus un coecient b _ij 6= 0 . Comme la somme des termes de la colonne j est 1 , on a b _ij = 1 . La somme des termes de la ligne i vaut 1 donc tous les autres b _ik sont nuls.

7. Pour montrer que toute matrice bistochastique extrémale est une matrice de permuta- tion, on raisonne par récurrence sur la taille n des matrices. On a vu que la propriété est vraie pour n = 2 .

Considérons une matrice n × n bistochastique extrémale. D'après 6.a. elle admet au plus 2n − 1 coecients non nuls et d'après 6.b. il existe un couple (i, j) tel que b _ij = 1 soit le seule terme non nulde la ligne i et de la colonne j .

Notons B

⁰

la matrice extraite obtenue à partir de B en supprimant la ligne i et la colonne j . Par construction, elle est toujours bistochastique et extrémale mais de taille (n−1) ×(n −1) . D'après l'hypothèse de récurrence, B

⁰

est une matrice de permutation.

Donc B

⁰

admet un seul terme égal à 1 par ligne et par colonne. La matrice complète B vérie aussi cette propriété donc c'est une matrice de permutation.

III. Majorisation

1. Par dénition de S X ,

X ∈ S Y ⇔ ∃φ ∈ S n tq X = P φ Y ⇔ ∃φ ∈ S n tq X = P φ P _σ

⁻¹

| {z }

=P

_φ◦σ−1

P σ Y

⇔ ∃φ

⁰

∈ S _n tq X = P _φ

⁰

P _σ Y ⇔ X ∈ S _P

_σ

_Y . On en déduit S Y = S P

σ

Y donc C Y = C P

σ

Y .

Si X est une combinaison convexe de P _σ Y , alors P _θ X est aussi une combinaison convexe

de permutés de Y car pour chaque σ , P θ P σ Y = P φ Y avec φ = θ ◦ σ . On en déduit X ∈ C Y ⇔ P θ X ∈ C Y = C P

_σ

Y .

2. Il s'agit simplement de la dénition de C Y comme ensemble des combinaisons com- plexes des permutés de Y . Pour chaque permutation σ , π(σ) est le coecient du P σ Y dans la combinaison. Par linéarité, posons

B = X

σ∈S

n

π(σ)P σ .

Quels sont les σ qui contribuent au terme b _ij ? Uniquement ceux tels que σ(j) = i . On en déduit

b ij = X

σ

tq

σ(j)=i

π(σ).

3. D'après la question 1., on ne change pas une relation X ∈ C Y en multipliant X et Y par des matrices de permutations. On peut permuter les coecients de X et de Y pour les ranger par ordre décroissant.

4. a. On suppose X = BY avec B bistochastique. Pour tout j ∈ J 1, n − 1 K,

j

X

k=1

x k =

j

X

k=1 n

X

i=1

b ki y i =

n

X

i=1 j

X

k=1

b ki

! y i =

n

X

i=1

c i y i avec c i =

j

X

k=1

b ki .

Avec les notations de l'énoncé,

j

X

k=1

x _k =

n

X

k=1

c _k y _k avec c _k =

j

X

i=1

b _ik .

Les c k sont positifs car B est positive et c k = P j

i=1 b ik ≤ P n

i=1 b ik = 1 . De plus,

n

X

k=1

c k =

n

X

k=1 j

X

i=1

b ik =

j

X

i=1 n

X

k=1

b ik

| {z }

=1

= j.

b. La relation que l'énoncé nous conseille de considérer est vraie car la parenthèse à droite du y _j est nulle à cause la question précédente P n

k=1 c _k = j . Suivons le

conseil.

j

X

k=1

x k −

j

X

k=1

y k =

n

X

k=1

c k y k + y j −

n

X

k=1

c k

! + j

!

−

j

X

k=1

y k

=

n

X

k=1

c k (y k − y j ) +

j

X

k=1

(y j − y k ) =

j

X

k=1

(c k − 1)

| {z }

≤0

(y k − y j )

| {z }

≥0

+

n

X

k=j+1

c k (y k − y j )

| {z }

≤0

≤ 0

⇒

j

X

k=1

x k ≤

j

X

k=1

y k .

Ceci étant valable pour tous les j , on a bien X ≺ Y .

c. On a vu en question 2 que X ∈ C Y entraine qu'il existe B bistochastique telle que X = BY . La question précédente entraine X ≺ Y .

5. a. Si X et Y sont deux colonnes égales sauf pour un seul indice, ils ne peuvent avoir la même somme de termes. Ici, la somme des termes de X et Y sont égales à 1 donc X 6= Y entrainent qu'au moins deux des coecients sont distincts donc p ≥ 2 .

b. Par dénition i et j sont le plus petit et le plus grand des k tels que a k 6= b k donc i < j car il existe au moins deux de ces k .

Si i = 1 alors x 1 ≤ y 1 donc x i < y i . Si i > 1 , on a k < i ⇒ x _k = y _k

x 1 + · · · + x i ≤ y 1 + · · · + y i

)

⇒ x i ≤ y i ⇒ x i < y i car x i 6= y i . De l'autre côté,

x 1 + · · · + x _j−1 ≤ y 1 + · · · + y _j−1 x ₁ + · · · + x _n = y ₁ + · · · + y _n = 1

)

⇒ y _j + · · · + y _n ≤ x _j + · · · + x _n

⇒ y j ≤ x j car k > j ⇒ x k = y k ⇒ y j < x j car x j 6= y j . En utilisant la décroissance des x et des y , il vient

y j < x j ≤ x i < y i .

c. Comme x i est entre y j et y i , on peut l'écrire comme une combinaison convexe.

x _i = λy _i + (1 − λ)y _j ⇔ λ = x _i − y _j y i − y j

∈ ]0, 1[ .

On pose B λ = λI n + (1 − λ)P (ij) et Y

⁰

= B λ Y .

Les coecients de Y

⁰

sont égaux à ceux de Y sauf pour les indices i et j : y

⁰

_i = λy _i + (1 − λ)y _j , y

⁰

_j = λy _j + (1 − λ)y _i .

Avec y _i

⁰

= x _i par choix du λ et

y _j

⁰

= y _i + λ(y _j − y _i ) = y _i − x _i + y _j ⇒ x _i − y _i + y

⁰

_j − y _j = 0.

Cette dernière relation servira plus loin Examinons les sommes partielles en sup- posant i < j :

l < i ⇒

l

X

k=1

y

⁰

_k =

l

X

k=1

y k ≥

l

X

k=1

x k .

Pour la somme jusqu'à i utilisons que y _i

⁰

= x i :

i

X

k=1

y

⁰

_k =

i−1

X

k=1

y _k + y

⁰

_i =

i−1

X

k=1

y _k + x _i ≥

i−1

X

k=1

x _k + x _i =

i

X

k=1

x _k .

Pour les sommes jusqu'à j − 1 l'inégalité est valable car les nouveaux y

⁰

_k sont égaux au y _k . Examinons la somme jusqu'à j .

j

X

k=1

y

⁰

_k =

j

X

k=1

y k + x i − y i + y _j

⁰

− y j

| {z }

=0

=

j

X

k=1

y k ≥

j

X

k=1

x k .

On a bien vérié que X ≺ Y

⁰

le nombre de k tels que x k 6= y

⁰

_k est strictement plus petit que p à cause de y _i

⁰

= x _i .

6. On peut proposer une démonstration algorithmique de l'implication X ≺ Y ⇒ X ∈ C Y

en utilisant la question précédente. Il existe des matrices bistochastiques B ₁ , B ₂ , · · · et des colonnes Y ₁ = B ₁ Y , Y ₂ = B ₂ Y ₁ telles X ≺ Y _k tant que X 6= Y _k . Le nombre d'indices distincts décroit strictement donc il existe un k tel que

X = Y _k = B _k B _k−1 · · · B ₁ Y

avec B = B k B _k−1 · · · B 1 bistochastique (produit de matrices bistochastiques) donc

X ∈ C Y .