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Puissance de matrices 1. Puissance de matrice

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Academic year: 2021

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Texte intégral

(1)

Matrices – Classe de Terminale S Page 1

Puissance de matrices

1. Puissance de matrice

Pour tout matrice carrée de taille et tout entier naturel , on définit de la façon suivante et , où est répétée fois. On a les propriétés habi- tuelles des puissances : pour tous entiers naturels et ,

et .

Puissance de matrices diagonales

Une matrice carrée est dite diagonale si dès que . Elle s’écrit

donc

. On la notera .

Montrons par récurrence que pour tout entier naturel , on a .

 Pour , .

 Supposons la propriété vraie pour un entier et notons le terme de rang de la matrice . La propriété à démontrer peut s’écrire

. Vu que on a

la seconde égalité résultant du fait que si . Maintenant il reste deux cas :

 soit et alors par hypothèse de récurrence, d’où ;

 soit et alors .

Puissance de matrices diagonalisables

Soit une matrice carrée d’ordre et une matrice inversible. Posons . Il est immédiat par récurrence que l’on a pour tout entier naturel . En effet :

 La propriété est vraie pour puisque

 Si la propriété est vraie pour un entier alors

Il en résulte immédiatement que . Cette formule permet d’exprimer en fonc- tion de si la matrice s’exprime simplement en fonction de . C’est notamment le cas si est diagonale (une telle matrice est dite diagonalisable).

(2)

Matrices – Classe de Terminale S Page 2 Exemple A

Soit et . Alors et . Il en résulte

2. Matrices vérifiant

Suites vérifiant des relations de récurrence linéaires

Soit et deux suites liées par des relations de récurrence linéaires :

En posant

et , ces relations peuvent s’écrite , la suite est donc géométrique d’où l’on déduit puis l’expression de et en fonc- tion de si l’on peut exprimer en fonction de .

Exemple A

Soit et les suites définies par

et

Posons et . On a donc puis , d’où

Par conséquent, pour tout entier naturel , on a

et .

Suites vérifiant une relation de récurrence à deux pas

Soit une suite définie par , et une relation de récurrence du type

En posant

et , on a

Par conséquent , et si l’on sait exprimer en fonction de , on sait exprimer en fonction de .

(3)

Matrices – Classe de Terminale S Page 3 Exemple A

Soit la suite définie par

, et pour , En posant

la relation de récurrence s’écrit , d’où et

Ainsi pour tout entier naturel ,

3. Matrices vérifiant

Soit une matrice carrée d’ordre et une matrice colonne à colonnes.

On considère une suite de matrices colonnes à colonnes vérifiant .

Supposons qu’il existe une matrice colonne telle que . En soustrayant cette égalité à , on en déduit

ce qui montre que la suite est géométrique de raison . On en déduit que , d’où

Exemple A

Soit et les suites définies par

et

En posant et

, ces relations de récurrence s’écrivent

Cherchons une matrice telle que . Les réels et vérifient

Ainsi convient. Comme

, on a

Les expressions de et en fonction de sont donc les suivantes

et .

(4)

Matrices – Classe de Terminale S Page 4 Exemple A

Soit la suite définie par

, et pour , En posant

et

, la relation de récurrence s’écrit

Il est aisé de vérifier que la matrice vérifie . Il en résulte que l’on a

d’où

Ainsi pour tout entier naturel ,

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