A 2010 MATH. II MP
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈREMP),
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRETSI).
CONCOURS 2010
SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière MP
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
CYCLEINTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - MP.
L’énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
Dénombrements de certaines matrices binaires
Soitnun entierÊ2. On noteMn(R) l’espace vectoriel des matrices réelles àn lignes etn colonnes. On appellematrice binairede taille n une matrice A∈Mn(R) dont tous les coefficients sont égaux à 0 ou à 1. L’élément d’une telle matrice situé sur lai-ième ligne et la j-ième colonne est dit en position (i,j), où 1ÉiÉnet 1ÉjÉn.
On désigne parUnl’ensemble des matrices binaires de taillencomportant exactement deux 1 dans chaque ligne et exactement deux 1 dans chaque colonne.
L’exemple suivant :
1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0
est une matrice deU4.
On noteunle cardinal deUn, et on pose par conventionu0=1 etu1=0.
La partie D est indépendante des parties B et C.
A. Questions préliminaires
1) Exhiber toutes les matrices deUnpourn=2 et 3, et déterminer les valeurs correspondantes deun. (Dans le casn =3, on pourra raisonner sur la position des éléments nuls dans chacune de ces matrices.)
SoitX0le vecteur deRndont tous les coefficients sont égaux à 1 etJla matrice deMn(R) dont tous les coefficients sont égaux à 1.
2) SiA∈Un, montrer queX0est un vecteur propre deA. Quelle est la valeur propre associée ?
SoitHnl’ensemble des éléments deUncomportant un 1 en position (1,1). On notehnle cardinal deHn.
3) Calculer la somme de toutes les matrices deUnen fonction dehnet deJ.
B. Étude du cardinal deUn
4) Établir la relationun=n2hnpour toutnÊ2. (On pourra s’aider des deux questions précédentes.)
SoitKnl’ensemble des éléments deHncomportant un 1 en position (1,2) et un 1 en position (2,1). On noteknle cardinal deKn.
2
5) Pour toutnÊ2, établir une relation donnanthnen fonction deknet de (n−1)2.
6) En examinant les possibilités pour le coefficient situé en position (2,2), démontrer la relationkn=un−2+hn−1pour toutnÊ4.
On posewn= un
(n!)2 pour toutn∈N.
7) Déduire de ce qui précède une relation de récurrence pour la suite (un)n∈N, puis pour la suite (wn)n∈N.
8) Prouver quewn∈[0, 1] pour toutn∈N, et que la série de terme général wndiverge. Que peut-on en déduire pour le rayon de convergence de la série entièreX
wnxn? On poseW(x)=
X∞ n=0
wnxnpour toutx∈]−1, 1[.
9) Donner une équation différentielle vérifiée parW et en déduire une ex- pression deW(x) en fonction dex.
C. Équivalent d’une suite de coefficients d’un développement en série entière
Cette partie permet d’obtenir un équivalent deunpourn→ +∞. Soitαun réel etβun réel>0. On considère la fonctionφdéfinie pourx∈]−1, 1[ par la formule :
φ(x)= eαx (1−x)β· On noteΓ(t)=R∞
0 xt−1e−xdxla fonction Gamma définie pour tout réelt>0 ; on rappelle queΓ(12)=p
πet queΓ(t+1)=tΓ(t) pour toutt>0.
10) Montrer que φ(x) est la somme d’une série entière X
φnxn pour tout x∈]−1, 1[.
11) Montrer que six∈]−1, 1[, on peut écrire : 1
(1−x)β= X∞
n=0
anxn
où l’on exprimera les coefficientsanen fonction den!,Γ(β) etΓ(n+β).
12) En déduire queφn= ψn
n!Γ(β)pour toutn∈N, où l’on a posé : ψn=
Z ∞
0
uβ−1e−u(α+u)ndu.
3
13) On fixea∈R tel quea> |α|. A l’aide des variations de la fonction u7→e−u(α+u)n
définie pour toutuÊ −α, montrer que¯
¯ Ra
0 uβ−1e−u(α+u)ndu¯
¯est négli- geable devantR∞
a uβ−1e−u(α+u)nduquandn→ +∞.
14) En déduire qu’il existe a > |α|tel que ψn soit équivalent à l’intégrale R∞
a e−u(α+u)n+β−1duquandn→ +∞.
15) En conclure que les suitesψneteαΓ(n+β) sont équivalentes.
On revient sur la suite (un)n∈N définie au début du problème.
16) Établir un équivalent deφn, puis deunquandn→ +∞. On prendra soin de simplifier l’équivalent trouvé deunen utilisant la formule de Stirling.
D. Étude de rang
Dans cette partie, on cherche à déterminer le rangrndu système constitué desunmatrices deUn, considérées comme des éléments deMn(R). On rappelle queX0est le vecteur deRndont tous les coefficients sont égaux à 1, et queJest la matrice deMn(R) dont tous les coefficients sont égaux à 1.
17) Calculerrn pourn=2 et 3. (Dans le casn=3, on pourra considérer les matricesJ−A, oùA∈U3.)
On considère l’espace vectorielVndes matricesA∈Mn(R) telles queX0soit à la fois un vecteur propre pourAet pour sa transposéetA.
18) Montrer queUn⊂Vnet comparer les valeurs propres deAet detAasso- ciées àX0lorsqueA∈Vn.
19) Déterminer la dimension deVn. (On pourra considérer une base ortho- normée deRndont un des vecteurs est colinéaire àX0.) En déduire une majoration surrn.
PournÊ3, soitAune matrice deUncomportant des 1 en positions (1, 1) et (2, 2) et des 0 en positions (1, 2) et (2, 1).
20) Montrer qu’il existe une matriceB deUntelle queA−B ne comporte que des éléments nuls,sauf en positions (i,j) pouri É2 etjÉ2. En déduire que sirn0 désigne le rang du système constitué de toutes les matricesU−V oùU,V ∈Un, on arn0 Ê(n−1)2.
21) Conclure.
FIN DU PROBLÈME
4
