Math´ematiques, LM216, ann´ee 2011-2012
Examen du 25 janvier 2012
Les quatre exercices sont ind´ependants
Les documents et les calculatrices ne sont pas autoris´es
Exercice 1
1) Donner le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 en (0,0) et en (1,1) de la fonction f : (x, y)7→ln(1 +xy).
2) Y a-t-il un extremum en (0,0) ? en (1,1) ?
Exercice 2
1) Expliquer pourquoi l’ensemble
X={(x, y)∈R2|x4+ 8y4 = 1}
est compact.
2) Expliquer pourquoi la fonctionf : (x, y)7→x+y admet un minimum et un maximum sur X et trouver ce minimum et ce maximum.
Exercice 3
On d´efinit dans le plan l’ensemble
Σ ={(x, y)∈R2|x3+ 2xy2 = 1}.
1) Montrer qu’en tout point (x0, y0) de Σ, cet ensemble admet une tangente dont on d´eterminera l’´equation.
2) En quels points de Σ la tangente est-elle parall`ele `a l’axeOx ? `a l’axe Oy ?
Exercice 4 1) Calculer
Z Z
D
y dxdy,
o`u
D={(x, y)∈[0,+∞[2 | x2 4 +y2
9 ≤1}.
2) Quelle est la valeur moyenne dey sur D?
