x0 =x y0 =−y

ENS Lyon Syst`emes Dynamiques

M1 2007-2008

TD 1 : Flots

Exercice 1

Dessiner l’image du rectangle {1≤x≤3, 1≤y ≤2} par les flots des syst`emes

x⁰ =x

y⁰ = 2y ;

x⁰ =x

y⁰ =−y ;

x⁰ =y

y⁰ =−x ;

x⁰ = 1

y⁰ =y .

Exercice 2

On consid`ere les domaines D₁ = {x² +y² ≤ 1} et D₂ = {^x₄² + ^y₂² ≤ 1} dans R². Montrer, sans le calculer explicitement, que siφ_t est le flot au temps t de

x⁰ =

1 −4

10 5

x,

alors φ₁(D₁)6=D₂. Exercice 3

On pose

φ_t(x, y) = (xe^(1−e−t)y, e^−ty) ; ψ_t(x, y) = (e^tx+ty, e^ty+tx).

D´eterminer si φ_t et ψ_t sont le temps t d’un flot. Si oui, d´eterminer le champ de vecteurs associ´e.

Exercice 4

Soit f un diff´eomorphisme de Rⁿ. On suppose que f a un point p´eriodique x de p´eriode p > 1 isol´e (i.e. pour tout y 6= x, y assez proche de x, on a f^p(y) 6= y).

Montrer que f n’est pas le temps t d’un flot.

Exercice 5

Soit f un champ de vecteurs de classe C^∞ sur Rⁿ et α∈ C^∞(Rⁿ,R^∗+). Montrer que les trajectoires de l’´equation x⁰ = f(x) et celles de l’´equation x⁰ = α(x)f(x) ont le mˆeme “dessin” dans Rⁿ.

Exercice 6

Deux flotsφtetψtsont ditslin´eairement ´equivalents(resp.diff´erentiellement ´equiva- lents) s’il existeg ∈GL_n(R) (resp. g diff´eomorphisme de Rⁿ) tel que

∀t ∈R, g◦φ_t=ψ_t◦g. (1) 1. Soit g ∈ GL_n(R) qui transforme les orbites du flot φ_t en celles de ψ_t. La

condition (1) est-elle satisfaite ?

2. Montrer que les flots de deux syst`emes lin´eaires sont lin´eairement ´equivalents si et seulement si ils sont diff´erentiellement ´equivalents.

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