N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
A LFREDO C APELLI
Sur les déterminants dont les éléments principaux varient en progression arithmétique
Nouvelles annales de mathématiques 3e série, tome 14 (1895), p. 62-63
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(0
SUR LES DÉTERMINANTS DONT LES ÉLÉMENTS PRINCIPAUX VARIENT EN PROGRESSION ARITHMÉTIQUE;
PAR M. ALFREDO GAPELLI, à Naples.
Les déterminants dont les éléments principaux va- rient en progression arithmétique sont de la forme
au-+-z
« 2 1
« 3 1
« 1 2
a^-v-z -+-7
« 3 2
« 1 3
« 2 3
- 2 7
«l/t
« 2 »
« 3 «
««1 «*2 ««3 • • • «/z/i-r- Z -\~(n — 1
Ils dépendent de deux variables z my, mais ils peu- vent toujours se développer, d'une façon, très simple, à Faide de déterminants qui jouissent de la même pro- priété et ne dépendent que de la variable y. On a, en effet, l'identité suivante
- Z(Z -r-V){Z
_- z(z -r-y ) (z -H iy ) . . . [z -f-(n — 4)7]
X
1
i<I<h~n
•+-
« 1 1
«21 «<
a m
al
« 1 2
2 + 7
« « 2
ajj^-y ajh
ahj ahh -H
« 1 » . . .
• • • rt/t/i-h(w- iy
—r
-Or
( 6 3 )
Dans le second membre de celte identité, chaque somme doit s'étendre à tous les systèmes de valeurs des indices i, ƒ. h, . . . qui satisfont à l'inégalité qu'on voit au-dessous du signe ^ .
Ainsi, par exemple, on aura, pour n = 3 :
« 2 1
« 3 2
Il «H
!U,
« H
«21 «
« 3 1
« 1 2
« 1 2
•22-+-r
«32 «3 _|_
« 1 3
« 2 3 3 +
«13
«23
«11
«31
iy
«13
«33-T-.
«33>
«22 «23
«32 «33-+-JT
L'identité (1) se déduit facilement d'une identité que j'ai établie par des considérations empruntées à la théorie des opérations invariantes (voir Rendiconti dell' ^4c- cademia délie Scienze di Napoli; marzo 1889). Ce ne serait donc pas sans intérêt si Ton pouvait donner une démonstration directe de cette formule.
