D´eterminer leurs ´el´ements inversibles

Universit´e Paris Diderot Alg`ebre – Ann´ee 2019-20 M1 math´ematiques

Feuille 1

Anneaux

1. Les ensembles suivants sont-ils des anneaux (avec les lois ´evidentes). D´eterminer leurs ´el´ements inversibles.

1.a. L’ensemble des nombres entiers≥0.

1.b. L’ensemble des nombres pairs.

1.c. L’ensemble des nombres rationnels de d´enominateur divisible par 10.

1.d. L’ensemble des nombres rationnels de d´enominateur premier `a 10.

1.e. L’ensemble des nombres rationnels de d´enominateur impair.

1.f. L’ensemble des nombres r´eels de la formea+b√

2, avecaet brationnels.

1.g. L’ensemble des nombres r´eels de la formea+bπ, avecaet brationnels.

1.h. L’ensemble des nombres complexes de la formea+bi, avecaet bentiers.

1.i. L’ensemble des couples (n, m) d’entiers tels que netmont mˆeme parit´e.

1.j. L’ensemble des suites `a valeurs r´eelles qui tendent vers 0.

1.k. L’ensemble des suites born´ees.

1.l. L’ensemble des fonctions continuesR→R.

1.m. L’ensemble des fonctions croissantesR→R.

1.n. L’ensemble des fonctions continues par morceauxR→R.

1.o. L’ensemble des suites `a valeurs enti`eres.

1.p. L’ensemble des matricesn×n`a coefficients entiers.

1.q. L’ensemble des matrices inversiblesn×n`a coefficients r´eels.

1.r. L’ensemble des s´eries enti`eres `a coefficients complexes.

1.s. L’ensemble des s´eries enti`eres `a coefficients complexes qui convergent surC.

1.rt L’ensemble des polynˆomes `a coefficients r´eels.

1.u. L’ensembles des polynˆomes `a coefficients r´eels qui prennent des valeurs enti`eres en 0.

1.v. L’ensemble des ´el´ements deZ/9Ztels qui sont nuls modulo 3.

2. SoitAun anneau. Soienta, b∈Atels que 1−abest inversible (notonscl’inverse). Montrer queabc=c−1 etcab=c−1. En d´eduire que 1−ba est inversible. (On pourra consid´erer 1 +bca.)

3. SoitAun anneau. Soite∈A. On dit queeest unidempotentdeAsi on ae²=e.

3.a. Montrer que, sieest un idempotent, il en est de mˆeme de 1−e.

3.b. Montrer que, si A est int`egre, seuls 0 et 1 sont idempotents. Si A et B sont int`egres, quels sont les idempotents de l’anneau produitA×B ?

3.c. LorsqueAest l’anneau des endomorphismes d’un espace vectorielE, quels sont les idempotents deA? 3.d. Supposons A commutatif. Soit e ∈ A idempotent distinct de 0 et 1. On pose d = 1−e, B = eA et C = dA. Montrer que B et C sont des anneaux non nuls. Montrer que φ : A → B×C d´efinie par φ(a) = (ba, ca) est un isomorphisme d’anneaux. Les anneauxB et Csont-ils des sous-anneaux deA? 4. SoitAun anneau int`egre. Soit x∈A,x6= 0. Montrer que l’applicationφ:A→Ad´efinie parφ(a) =ax est un morphisme de groupe injectif. En d´eduire que siAest fini, alorsAest un corps.

5. SoitA un anneau int`egre tel que A[X] est principal, o`u A[X] est l’anneau des polynˆomes `a coefficients dansA. Montrer queAest int`egre. En d´eduire queAest un corps.

6. SoitAun anneau. Soita∈A. On dit queaestnilpotents’il existe un entierk≥1 tel quea^k = 0.

6.a. SupposonsA commutatif. Montrer que les ´el´ements nilpotents deAconstituent un id´eal deA. Est-ce encore vrai siAn’est pas commutatif ?

6.b. Quels sont les ´el´ements nilpotents d’un anneau int`egre ?

6.c. Soitmun entier≥1. Quels sont les ´el´ements nilpotents deZ/mZ?

6.d. Soita∈Aun ´el´ement nilpotent. Montrer 1 +aest inversible.

6.e. SoitKun corps. Soit P∈K[X]. PosonsA=K[X]/(P). Montrer queAposs`ede un ´el´ement nilpotent non nul si et seulement siP est divisible par le carr´e d’un polynˆomes irr´eductible.

7. SoitAun anneau commutatif. Soitnun entier≥1. Soienta, b∈A.

7.a. Montrer la formule (a−b)(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²b+aⁿ⁻³b²+...+bⁿ⁻¹) =aⁿ−bⁿ. Est-elle encore vraie dans un anneau non-commutatif ?

7.b. En d´eduire que si mest un entier qui divisen, on a a^m−1 diviseaⁿ−1. Est-ce encore vrai dans un anneau non-commutatif ?

8. Soit (G,+) un groupe ab´elien. Notons End(G) l’ensemble des endomorphismes de G (c’est-`a-dire des morphismes de groupes G→G). Montrer que (End(G),+,◦) est un anneau. R´eciproquement, siA est un anneau, montrer que pour touta∈A, l’application x7→ax est un endomorphisme de (A,+). En d´eduire queAest isomorphe `a un sous-anneau de (End(A),+,◦).

9.a. Montrer que tout anneau fini est de caract´eristique finie.

9.b. Donner un exemple d’anneau infini de caract´eristique finie.

9.c. Montrer que tout anneauAde caract´eristique finienadmet un unique morphisme d’anneauxZ/nZ→A, qui de plus est injectif.

9.d. Montrer que tout corps de caract´eristique premi`erepadmet un sous-anneau isomorphe `a Z/pZ.

9.e. Consid´erons l’anneauQ∞

n=1(Z/nZ). Quelle est sa caract´eristique ?

10. Soit E un espace vectoriel. Consid´erons l’anneau A des endomorphismes lin´eaires de E. Soit F un sous-espace vectoriel deE.

10.a. Montrer que{u∈A/Im(u)⊂F}est un id´eal `a droite deA.

10.b. Montrer que{u∈A/F ⊂Ker(u)} est un id´eal `a gauche deA.

10.c. Montrer que l’ensemble des endomorphismes d’image de dimension finie est un id´eal bilat`ere de A.

11. SoitA un anneau commutatif. SoitI un id´eal deA.

11.a. Montrer que l’ensemble √

I form´e par les ´el´ements atels qu’il existe nentier>0 avecaⁿ ∈I est un id´eal de AcontenantI. Que vautp

{0} ? 11.b. Montrer que√

I=p√

I.

11.c. Montrer queI=√

Isi et seulement siA/I n’a pas d’´el´ement nilpotent.

11.d. SoitJ un id´eal deA. Montrer que√

I∩J =√ I∩√

J et que√ I+√

J ⊂√ I+J.

11.e. D´eterminer√

6Z. D´eterminer√ 24Z.

12. SoitA un anneau tel quea³=apour touta∈A. NotonsZ le centre deA.

12.a. Donner des exemples finis et infinis de tels anneaux. `A quels corps finisApeut-il ˆetre ´egal ? 12.b. D´eterminer les ´el´ements nilpotents deA. Montrer qu’on a 6 = 0 dansA.

12.c. Soite∈A tel quee²=e. Soita∈A. Posonsb=ea(1−e). Calculerb². 12.d. En d´eduire queea=ae, puis que pour tout x∈A, on ax²∈Z.

12.e. Montrer que pour toutx∈A, on a 2x∈Z.

12.f. Montrer que pour toutx∈A, on a 3x²+ 3x= 0. En deduire que 3x∈Z, puis queAest commutatif.

13. SoitA un anneau commutatif. SoientI et J des id´eaux deAtels queI+J =A.

13.a. Montrer que, pour tout entiern≥1, on aIⁿ+Jⁿ=A.

13.b. Montrer qu’on aIJ =I∩J.

14. SoitA un anneau commutatif. NotonsR l’intersection des id´eaux maximaux de A. C’est le radical de JacobsondeA.

14.a. Soita∈A. Montrer quea∈R si et seulement si, pour toutx∈A, 1−xa est inversible dansA.

14.b. Montrer queR est un id´eal deA.

14.c. Supposons que l’image deadansA/Rest inversible. Montrer que aest inversible.

14.d. SoitJ un id´eal deAtel que 1 +J ⊂A^×. Monter queJ est contenu dansR.

15. SoitA un anneau commutatif.

15.a. Supposons queAposs`ede un unique id´eal maximalI. Montrer queA−I=A^×.

15.b. Supposons queA−A^× soit un sous-groupe additif deA. D´emontrer que c’est un id´eal deA, puis que c’est l’unique id´eal maximal de A.