El´ements de logique

LIAFA, CNRS et Universit´e Paris VII

El´ements de logique

Jean-Eric Pin

LIAFA, CNRS et Universit´e Paris 7 [email protected]

Un exemple de formule logique

∃x∃y (x < y)∧ax∧ by Interpr´etation sur un mot u :

Il existe deux entiers x < y tels que, dans u, la lettre en position x est un a et la lettre en position y est un b.

L’ensemble des mots v´erifiant la formule est

l’ensemble des mots contenant une occurrence de a et ult´erieurement une occurrence de b.

A^∗aA^∗bA^∗

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Un deuxi`eme exemple

∃x ∀y (x < y)∨(x = y)∧ax Interpr´etation ?

(x < y)∨(x = y) peut s’´ecrire x 6 y

∃x ∀y x 6 y peut s’´ecrire x = min L’ensemble des mots v´erifiant la formule est donc aA^∗.

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La logique du premier ordre

Symboles logiques :

• les connecteurs logiques : ∧ (et), ∨ (ou),

¬ (non), → (implique),

• le symbole d’´egalit´e =,

• les quantificateurs ∃ et ∀,

• des variables (x, y, z, ou x0, x1, x2, ... )

• des parenth`eses.

Symboles non logiques :

• Symboles de relations (<),

• Symboles de fonctions (f, g),

• Symboles de constantes (0, 1).

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R`egles de construction

Exemple : L = { < , h,0}

• < est un symbole de relation binaire,

• h est un symbole de fonction `a deux variables,

• 0 est un symbole de constante.

Termes

• Les variables

• Les symboles de constantes

• Si t1, t2, . . . , tn sont des termes et si f est un symbole de fonction n-aire, f(t¹, t2, . . . , tn) est un terme.

Exemple de termes

Si L ne contient pas de symbole de fonction, les seuls termes sont les variables et les symboles de constantes.

Si L = {<, h,0} les expressions suivantes sont des termes :

x h(0,0) h(x, h(0, y)) h(h(x, y), h(x, z))

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Formules atomiques

Ce sont les formules soit de la forme (t1 = t2) o`u t1

et t2 sont des termes, soit de la forme R(t¹, . . . , tn)

o`u t1, . . . , t<sub>n</sub> sont des termes et o`u R est un symbole de relation n-aire de L.

(h(x, h(0, y)) = x) (h(0,0)< 0) (h(h(t, x), h(x, y)) < h(z, x))

Note : on devrait ´ecrire <(t1, t2) au lieu de t1 < t2.

Formules du premier ordre

(1) Les formules atomiques.

(2) Si (ϕi)¹6i6n est une famille de formules, alors

^

16i6n

ϕi et _

16i6n

ϕi

sont des formules.

(3) Si ϕ et ψ sont des formules, alors ¬ϕ et (ϕ → ψ) sont des formules.

(4) Si ϕ est une formule et si x est une variable, alors (∃xϕ) et (∀xϕ) sont des formules.

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Exemples de formules

Pour simplifier, on pose vrai= ^

i∈∅

ϕ_i et faux = _

i∈∅

ϕ_i

Les expressions suivantes sont des formules du premier ordre :

(∃x (∀y ((y < h(z,0))∧(x < 0)))) (∀x (y = x))

On ´ecrira les formules pr´ec´edentes sous la forme

∃x ∀y (y < h(x,0))∧(z < 0)

∀x y = x

Variables libres et variables li´ees

Certaines variables apparaissent apr`es un quantificateur (existentiel ou universel) : les occurrences de ces variables sont li´ees. Les autres occurrences sont dites libres. Par exemple, dans la formule

∃x (y < h(x,0))∧ ∀y (z < y)

les occurrences x et y sont li´ees et les occurrences z et y sont libres.

On appelle ´enonc´e une formule dont toutes les variables sont li´ees.

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D´ef. formelle des variables libres

L’ensemble F V(ϕ) des variables libres d’une formule ϕ est d´efini comme suit :

(1) Si ϕ est atomique, F V(ϕ) est l’ensemble des variables de ϕ,

(2) F V(¬ϕ) = F V(ϕ)

(3) F V(ϕ∧ψ) = F V(ϕ∨ψ) = F V(ϕ)∪F V(ψ) (4) F V(ϕ →ψ) =F V(ϕ)∪F V(ψ)

(5) F V(∃xϕ) = F V(∀xϕ) = F V(ϕ)\ {x}

Toute variable qui a au moins une occurrence libre dans ϕ est libre.

S´emantique des formules

Une structure S sur L est donn´ee par un ensemble D, appel´e domaine et par une application d´efinie sur L et qui associe :

(1) `a chaque symbole de relation n-aire de L, une relation n-aire d´efinie sur D,

(2) `a chaque symbole de fonction `a n arguments f de L, une fonction `a n arguments d´efinie sur D,

(3) `a chaque symbole de constante c de L, un

´el´ement de D.

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Interpr´etation des variables

Une valuation est une application ν de l’ensemble des variables dans l’ensemble D. On ´etend ν aux termes de L :

(1) Si c est un symbole de constante, on pose ν(c) = c,

(2) si f est un symbole de fonction `a n

arguments et si t1, . . . , tn sont des termes ν f(t1, . . . , t_n)

= f(ν(t1), . . . , ν(tn))

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Interpr´etation des variables (suite)

Si ν est une valuation et a un ´el´ement de D, on note ν

a x

la valuation ν^′ d´efinie par

ν^′(y) =

(ν(y) si y 6= x a si y = x

On d´efinit, pour toute formule ϕ et pour toute valuation ν, les expressions :

• la valuation ν v´erifie ϕ dans S

• S satisfait ϕ[ν] (not´e S |= ϕ[ν]) de la fa¸con suivante :

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Interpr´etation des formules

(1) S |= (t1 = t2)[ν] ssi ν(t1) = ν(t2)

(2) S |= R(t¹, . . . , tn)[ν] ssi ν(t¹), . . . , ν(tn)

∈ R

(3) S |= ¬ϕ[ν] ssi non S |= ϕ[ν]

(4) S |= (ϕ∧ψ)[ν] ssi S |= ϕ[ν] et ψ[ν] (5) S |= (ϕ∨ψ)[ν] ssi S |= ϕ[ν] ou ψ[ν] (6) S |= (ϕ→ ψ)[ν] ssi non S |= ϕ[ν] ou S |=

ψ[ν]

Interpr´etation des formules (suite)

(7) S |= (∃xϕ)[ν] ssi il existe a ∈ D tel que S |= ϕ[ν

a x

]

(8) S |= (∀xϕ)[ν] ssi pour tout a ∈ D, S |= ϕ[ν

a x

]

La v´eracit´e de l’expression “la valuation ν v´erifie ϕ dans S” ne d´epend que des valeurs prises par les variables libres de ϕ.

Si ϕ est un ´enonc´e, on dit que ϕ est v´erifi´e par S (ou que S satisfait ϕ), et l’on note S |= ϕ, si, pour toute valuation ν, S |= ϕ[ν].

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Formules logiquement ´equivalentes

Deux formules ϕ et ψ sont dites logiquement

´equivalentes si, pour toute structure S sur L, de domaine non vide, on a S |= ϕ ssi S |= ψ.

L’´equivalence logique ne concerne que les structures de domaine non vide. Par exemple, les formules

∀x ϕ(x)∧ ∃y ψ(y) et

∀x ∃y (ϕ(x)∧ψ(y))

sont logiquement ´equivalentes mais ne sont pas

´equivalentes sur une structure de domaine vide...

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Equivalence logique

On d´emontre en logique que les formules suivantes sont logiquement ´equivalentes :

(1) ϕ∧ψ et ¬(¬ϕ∨ ¬ψ)

(2) ϕ→ ψ et ¬ϕ∨ψ

(3) ∀xϕ et ¬(∃x ¬ϕ)

(4) ϕ∨ψ et ψ∨ϕ

(5) ϕ∧ψ et ψ∧ϕ

(6) ϕ∧f aux et f aux (7) ϕ∨f aux et ϕ

(6) ϕ∧vrai et ϕ

(7) ϕ∨vrai et vrai

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Forme normale disjonctive

Une formule est sous forme normale disjonctive si c’est une disjonction de conjonctions de formules atomiques ou de n´egations de formules atomiques :

∨i∈I ∧j∈Ji (ϕij ∨ ¬ψij)

Proposition

Toute formule sans quantificateur est logiquement

´equivalente `a une formule sans quantificateur sous forme normale disjonctive.

Forme pr´enexe

Une formule est sous forme pr´enexe si elle s’´ecrit ψ = Q1x1 Q2x2 . . . Qnxn ϕ

o`u les Qi sont des quantificateurs existentiels ou universels (∃ ou ∀) et ϕ est une formule sans quantificateur. La suite Q1x1 Q2x2 . . . Qnxn

s’appelle le pr´efixe de quantification de ψ.

Proposition

Toute formule est logiquement ´equivalente `a une formule sous forme pr´enexe.

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Hi´erarchie et forme pr´enexe

Une formule de Σn est une formule sous forme pr´enexe dont le pr´efixe de quantification est une suite altern´ee de n blocs de ∃ et ∀ (´eventuellement vides) commen¸cant par un bloc de ∃.

Une formule de Πn est une formule sous forme pr´enexe dont le pr´efixe de quantification est une suite altern´ee de n blocs de ∃ et ∀ (´eventuellement vides) commen¸cant par un bloc de ∀.

On montre que toute disjonction ou conjonction finie de formules de Σn est logiquement ´equivalente

`a une formule de Σn.

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La hi´erarchie Σ

(1) Σ0 = Π0 = ensemble des formules sans quantificateur.

(2) BΣn ensemble des combinaisons bool´eennes des formules de Σn

(3) Σn+1 : formules de la forme

∃x1. . .∃xn ϕ(x1, . . . , xn) avec ϕ∈ Πn

(4) Πn+1 : formules de la forme

∀x1. . .∀xn ϕ(x1, . . . , x_n) avec ϕ∈ Σn

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Quelques exemples

La formule

∃x1 ∃x2 ∃x3

| {z } bloc 1

∀x4 ∀x5

| {z } bloc 2

∃x6 ∃x7

| {z } bloc 3

ϕ

appartient `a Σ3 (et aussi `a tous les Σn tels que n > 3). De mˆeme la formule

bloc 1|{z}

∀x4 ∀x5

| {z } bloc 2

∃x6 ∃x7

| {z } bloc 3

ϕ

appartient `a Σ<sup>3</sup>, et `a Π², mais pas `a Σ², car le premier bloc doit toujours ˆetre un bloc de quantificateurs existentiels.

Logique du second ordre

Les variables utilis´ees dans la logique du premier ordre (variables du premier ordre) s’interpr`etent comme des ´el´ements du domaine.

Dans la logique du second ordre, on utilise un deuxi`eme type de variables, appel´ees variables du second ordre, qui repr´esentent des relations. Ces variables sont not´ees traditionnellement par des lettres majuscules : X0, X1, etc..

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Formules du second ordre

L’ensemble des termes de L est le mˆeme qu’au premier ordre. Les formules atomiques sont les formules soit de la forme

(t¹ = t2)

o`u t1 et t2 sont des termes, soit de la forme R(t¹, . . . , tn) ou X(t¹, . . . , tn)

o`u t1, . . . , t_n sont des termes, R est un symbole de relation n-aire de L et X est une variable

repr´esentant une relation n-aire.

R`egles de formation

(1) On part des formules atomiques

(2) Si ϕ et ψ sont des formules, il en est de mˆeme de

¬ϕ (ϕ∧ψ) (ϕ∨ψ) (ϕ →ψ) (3) Si ϕ est une formule, si x est une variable et

si X est une variable de relation, alors les expressions

(∃xϕ) (∀xϕ) (∃Xϕ) (∀Xϕ) sont des formules.

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Second ordre monadique

Dans le second ordre monadique, toutes les variables du second ordre sont des variables de relations unaires : elles s’interpr`etent donc comme des sous-ensembles du domaine.

∃ X (∀x Xx) ce que l’on ´ecrit aussi sous la forme

∃ X (∀x x ∈ X)

Interpr´etation des variables

Une valuation du second ordre est une application ν qui associe `a chaque variable un ´el´ement de D et `a chaque variable de relation n-aire une partie de Dⁿ (i.e. une relation n-aire sur D).

Si ν est une valuation et R une partie de Dⁿ, on note ν

R X

la valuation ν^′ d´efinie par

ν^′(x) = ν(x) si x est une variable du premier ordre ν^′(Y) =

(ν(Y) si Y 6= X

R si Y = X

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Interpr´etation des formules

La notion d’interpr´etation, d´ej`a d´efinie pour le premier ordre, est compl´et´ee par les r`egles suivantes :

(9) S |= (X(t¹, . . . , tn))[ν] ssi ν(t¹), . . . , ν(tn)

∈ ν(X)

(10) S |= (∃Xϕ)[ν] ssi il existe R ⊆ Dⁿ tel que S |= ϕ[ν

R X

]

(11) S |= (∀xϕ)[ν] ssi pour tout R ⊆ Dⁿ, S |= ϕ[ν

R X

]