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Note sur la génération des surfaces du second ordre par les lignes du second ordre

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(1)

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

L ENTHÉRIC

Note sur la génération des surfaces du second ordre par les lignes du second ordre

Nouvelles annales de mathématiques 1

re

série, tome 6

(1847), p. 5-8

<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1847_1_6__5_0>

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(2)

MATHÉMATIQUES.

NOTE

Sur la génération des surfaces du second ordre par les lignes du second ordre*

P A R TH. X.EMTHÉRXC N E V E U , Professeur.

1. Soient trois axes rectangulaires ox, <y, 02 et deux ellipses verticales ayant pour centre commun, l'origine des coordonnées.

La première située dans le plan des xz dont les équa- tions sont :

La deuxième située dans le plan des yz ayant un axe 2c commun avec la première et dont les équations sont :

!Jr+

xlo

bC

)

(2)

'

Un plan horizontal z=h coupera généralement les ellipses en quatre points, savoir : l'ellipse (1) en deux points déter- minés par

j-=:0, z = h et c?x*+aW =£?<?, d'où * = : ± - \/c%—h%

(3)

— 6 —

et l'ellipse (2) en deux autres points 'déterminés par

« r = 0 , z=h et c'y+VV =*?<?, d'où ^ == ±

Imaginons dans le plan horizontal z=&, une troisième ellipse dont ces quatre points seraient les sopmjets, Ell$ %ura pour équations : -

a\c*—V) , b*(c*—h>) a_ a*b*(c*—hm)%

ou plus simplement en supprimant le facteur —5— et chas • sant le dénominateur :

a%c*y+b*<?xk=a*b\c*— h*)

} O).

En faisant varier h depuis —c jusqu'à + c l'ellipse (3) se mouvra d'une manière continue parallèlement au plan des .r, pendant que ses quatre sommets décriront les deux ellipses verticales (1) et (2). Elle engendrera ainsi une surface dont Téquation résultera de l'élimination de h entre les deux équations (3) et s'obtiendra évidemment en substituant z en place de h dans la première de ces équations. L'équation de cette surface sera donc :

> W = cCh1 (c1— za), o u - j + T T + ' a ^ l i équation de l'ellipsoïde.

2. En remplaçant les ellipses (l)et (2) par deux hyperboles dont Taxe commun 2c deviendrait l'axe non transverse, c'est-à-dire en chageant c2 en — c2 dans les équations (1) (2), les équations (3) seraient remplacées par :

(4)

et repr^ntarjiôot «ooore une ellipeflat m faistoi varier A resterait tou^urs horizontale, et dont |e§ sommets décri- raient les deux hyperboles verticales. L'équation de la sur- face engendrée «'obtiendrait en remplaçant h par z dans la première des équations ci-4e$$u$, ee qui doapsraif «

x* y* z*

ou bien — + ^ — - = 1 , équation de FJiyperboloïdç à nappe.

3. En changeant dans (1) a* en —a9 et dans (2) b% pn —b*

les deux ellipses seraient remplacées par deux hyperboles ayant Taxe commun 2c pour axe transverse. Les équa- tions (3) deviendraient :

a ^1^1 - cf) ,

et représenteraient encore une ellipse qui ne serait imagi- naire que pour des vajeurjde h comprises 0atre —c et +<?•

L'équation de la surface engendrée seraU : - axbH*=z — a*b V ,

ou bien - Î + T ; — j = — 1 , équation de rhyperboldïde à deux nappes.

4. En remplaçant les ellipses (t) et (2) par deux parabole*

verticales :

=0 et

y=z

le plan z = h donnera quatre points d'intersection qui seront les sommets d'une ellipse variable ayant pour équation» c

et

(5)

Lfellipse ne sera imaginaire que pour cUts valeurs négatives de h, et l'on aura pour équation de la surfac^engendrée :

X* Y*

qx*-\-py*—2pqz=0 ou \-—=2z

équation du paraboloïdc elliptique.

En changeant le signe de q, c'est-à-dire en supposant que la seconde parabole tourne la concavité en sens contraire,

x* y*

l'équation de la surface engendrée serait — - — = 2 z équa- P 1

tion connue du paraboloïde hyperbolique.

Note. C'est ainsi que les surfaces du second ordre sont construites dans le Manuel de géométrie (p. 360).

Tm.

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