III- Logique du premier ordre

(1)

III- Logique du premier ordre

(2)

Limitation du calcul propositionnel

Comme traduire : “Tous les hommes sont mortels, Socrate est un homme, donc Socrate est mortel” ?

Solution 1 :

I p : “Tous les hommes sont mortels” I q : “Socrate est un homme”

I r : “Socrate est mortel”

I p∧q⇒r Incorrecte: pas une tautologie

Solution 2 :

I p₁ : “Forest est mortel”, p₂ : “Socrate est mortel”,. . .

I q1 : “Forest est un homme”,q2 : “Socrate est un homme”,. . . I (V

i∈Npi)∧(V

i∈Nqi)⇒p2 Incorrecte : taille infinie Solution 3 : Logique du premier ordre

(3)

Limitation du calcul propositionnel

Solution 1 :

I p : “Tous les hommes sont mortels”

I q : “Socrate est un homme”

Solution 2 :

i∈Npi)∧(V

i∈Nqi)⇒p2 Incorrecte : taille infinie Solution 3 : Logique du premier ordre

(4)

Limitation du calcul propositionnel

Solution 1 :

Solution 2 :

i∈Npi)∧(V

i∈Nqi)⇒p2 Incorrecte : taille infinie

Solution 3 : Logique du premier ordre

(5)

Limitation du calcul propositionnel

Solution 1 :

Solution 2 :

I q1 : “Forest est un homme”,q2 : “Socrate est un homme”,. . .

(6)

Grands principes

I Séparer le monde entre des objets (les personnages) et des propriétéssur ces objets (être un homme, être mortel, . . . ).

I Interpr´eter les objets dans des ensembles bien connus.

I Envoyer les propriétés dans l’algèbre de Boole.

(7)

Syntaxe 1

D´efinition 1 (Langage)

Unlangage(ousignature) L est la donn´ee de :

I Un ensemble de symboles de fonctionsF munies de leurs arit´es.

I Un ensemble de symboles de relations Rmunies de leurs arit´es.

Sur notre exemple : I F ={Socrate: 0}

I R={Homme : 1;Mortel : 1}

(8)

Syntaxe 1

D´efinition 1 (Langage)

Unlangage(ousignature) L est la donn´ee de :

I Un ensemble de symboles de fonctionsF munies de leurs arit´es.

I Un ensemble de symboles de relations Rmunies de leurs arit´es.

Sur notre exemple : I F ={Socrate: 0}

I R={Homme : 1;Mortel : 1}

(9)

Syntaxe 2

D´efinition 2 (Termes)

Etant donn´´ e L, et un ensemble d´enombrable de variables V, on d´efinit inductivement l’ensemble T des termes par :

I V ⊂ T,

I Si f est un symbole d’arit´e n et si t1, . . . ,tn sont des termes alors f(t1, . . . ,tn) est un terme.

D´efinition 3 (Formule)

L’ensemble des formules est d´efini inductivement par :

I Si R ∈ R est d’arit´e n et si t₁, . . . ,t_n sont des termes alors R(t₁, . . . ,t_n) est une formule (dite formule atomique), I Si F₁ et F₂ sont des formules et si ∈ {∧,∨,⇒}, alors

F₁F₂ est une formule,

I Si F est une formule, alors ¬F est une formule,

I Si F est une formule et x est une variable alors ∀x,F et ∃x,F sont des formules.

(10)

Syntaxe 2

D´efinition 2 (Termes)

Etant donn´´ e L, et un ensemble d´enombrable de variables V, on d´efinit inductivement l’ensemble T des termes par :

I V ⊂ T,

I Si f est un symbole d’arit´e n et si t1, . . . ,tn sont des termes alors f(t1, . . . ,tn) est un terme.

D´efinition 3 (Formule)

L’ensemble des formules est d´efini inductivement par :

I Si R ∈ R est d’arit´e n et si t₁, . . . ,t_n sont des termes alors R(t₁, . . . ,t_n) est une formule (diteformule atomique), I Si F₁ et F₂ sont des formules et si ∈ {∧,∨,⇒}, alors

F₁F₂ est une formule,

I Si F est une formule, alors ¬F est une formule,

I Si F est une formule et x est une variable alors ∀x,F et ∃x,F

(11)

Les quantificateurs

Priorit´e des quantificateurs = apr`es∨ :

∀x,R(f(x,y),g(y))⇒R(x,z) se lit

∀x,(R(f(x,y),g(y))⇒R(x,z))

∀et ∃sont des quantificateurs. Ils lient (et contraignent) les variables

dans leur port´ee (en dessous d’eux). R(x,z)∧

∀,R(f(,y),g(y))

Le nom des variables li´ees n’a pas d’importance en soi.

(12)

Les quantificateurs

∀x,(R(f(x,y),g(y))⇒R(x,z))

dans leur port´ee (en dessous d’eux).

R(x,z)∧

∀,R(f(,y),g(y))

(13)

Les quantificateurs

∀x,(R(f(x,y),g(y))⇒R(x,z))

∀x,R(f(x,y),g(y))

(14)

Les quantificateurs

∀x,(R(f(x,y),g(y))⇒R(x,z))

∀x,R(f(x,y),g(y))

(15)

Les quantificateurs

∀x,(R(f(x,y),g(y))⇒R(x,z))

∀et ∃sont des quantificateurs. Ils lient (et contraignent) les variables dans leur port´ee (en dessous d’eux).

R(x,z)∧ ∀x,R(f(x,y),g(y))

(16)

Les quantificateurs

∀x,(R(f(x,y),g(y))⇒R(x,z))

∀et ∃sont des quantificateurs. Ils lient (et contraignent) les variables dans leur port´ee (en dessous d’eux).

R(x,z)∧ ∀x,R(f(x,y),g(y)) Le nom des variables li´ees n’a pas d’importance en soi.

(17)

Variables libres

D´efinition 4 (Variables libres)

Ensemble d´efini inductivement sur les termes par :

FV(x) ={x}

FV(f(t1, . . . ,tn)) =FV(t1)∪. . .∪FV(tn)

et sur les formules par :

FV(R(t₁, . . . ,t_n)) =FV(t₁)∪. . .∪FV(t_n) FV(F1F2) =FV(F1)∪FV(F2)

FV(¬F) =FV(F)

FV(∀x,F) =FV(∃x,F) =FV(F)\ {x} Formule close: sans variable libre.

(18)

Variables libres

FV(x) ={x}

FV(f(t1, . . . ,tn)) =FV(t1)∪. . .∪FV(tn) et sur les formules par :

FV(R(t1, . . . ,tn)) =FV(t1)∪. . .∪FV(tn) FV(F1F2) =FV(F1)∪FV(F2)

FV(¬F) =FV(F)

FV(∀x,F) =FV(∃x,F) =FV(F)\ {x}

Formule close: sans variable libre.

(19)

Variables libres

FV(x) ={x}

FV(f(t1, . . . ,tn)) =FV(t1)∪. . .∪FV(tn) et sur les formules par :

FV(R(t1, . . . ,tn)) =FV(t1)∪. . .∪FV(tn) FV(F1F2) =FV(F1)∪FV(F2)

FV(¬F) =FV(F)

FV(∀x,F) =FV(∃x,F) =FV(F)\ {x}

(20)

α-´ equivalence

D´efinition 5 (α-´equivalence)

F ≡_α G ssi F et G identiques au renommage desoccurrences li´ees de leurs variables pr`es.

R(x,z)∧ ∀x,R(f(x,y),g(y)) ≡_α R(x,z)∧ ∀u,R(f(u,y),g(y)) 6≡_α R(u,z)∧ ∀u,R(f(u,y),g(y)) 6≡_α R(x,z)∧ ∀y,R(f(y,y),g(y))

(21)

Substitution

Id´ee : Remplacer les occurrenceslibresdex par un terme t dans une formule F (not´e F[x :=t]).

D´efinition 6 (Substitution)

Sur les termes : T[x:=t]= remplacement de x par t dans T (par induction sur T ).

Sur les formules, par induction sur F . Deux probl`emes :

(∀x,F)[y :=t] =∀x,(F[y:=t]) si x 6=y et x ∈/ FV(t) (∃x,F)[y :=t] =∃x,(F[y:=t]) si x 6=y et x ∈/ FV(t)

But : ´Eviter les capturesde variables.

Moyen : Renommage de variable viaα-conversion.

(22)

Substitution

Id´ee : Remplacer les occurrenceslibresdex par un terme t dans une formule F (not´e F[x :=t]).

D´efinition 6 (Substitution)

Sur les termes : T[x:=t]= remplacement de x par t dans T (par induction sur T ).

Sur les formules, par induction sur F . Deux probl`emes : (∀x,F)[y :=t] =∀x,(F[y :=t]) si x 6=y et x ∈/ FV(t) (∃x,F)[y :=t] =∃x,(F[y :=t]) si x 6=y et x ∈/ FV(t)

But : ´Eviter les capturesde variables.

Moyen : Renommage de variable viaα-conversion.

(23)

S´ emantique 1

Cf propositionnelle : donner un sens aux formules.

Besoind’interpr´eterles symboles de fonctions et de pr´edicats.

Besoind’interpr´eterles quantificateurs

(24)

S´ emantique 1

(25)

S´ emantique 1

(26)

S´ emantique 2

D´efinition 7 (Interpr´etation) SoitΣune signature.

Uneinterprétation(oumodèle)I est la donnée de : I un ensemble non videD appelé domaine(ou univers) ; I pour chaque symbole de fonction f d’arité n, une fonction

fI :Dⁿ →D ;

I pour chaque symbole de prédicat R d’arité n, un prédicat RI :Dⁿ→B.

D´efinition 8 (Valuation)

On se donne une interpr´etation I (donc en particulier D). Unevaluation σ est une fonction deV dans D.

Etant donn´´ ee une valuation σ, une variable x et v ∈D, on note σ[x/v]la valuation :

σ[x/v](x) = v

σ[x/v](y) =σ(y) si x 6=y

(27)

S´ emantique 2

fI :Dⁿ →D ;

On se donne une interpr´etation I (donc en particulier D).

Unevaluationσ est une fonction deV dans D.

σ[x/v](x) = v

σ[x/v](y) =σ(y) si x 6=y

(28)

S´ emantique 2

fI :Dⁿ →D ;

On se donne une interpr´etation I (donc en particulier D).

Unevaluationσ est une fonction deV dans D.

σ[x/v](x) = v

(29)

S´ emantique 3

D´efinition 9 (Interpr´etation des termes)

Interpr´etation I +valuation σ interpr´etation des termes :

I(σ,x) =σ(x)

I(σ,f(t₁, . . . ,t_n)) =f_I(I(σ,t₁), . . . ,I(σ,t_n))

D´efinition 10 (Interpr´etation des formules)

Interpr´etation I +valuation σ interpr´etation des formules : I(σ,R(t1, . . . ,tn)) =R_I(I(σ,t1), . . . ,I(σ,tn))

I(σ,F₁F₂) =I(σ,F₁)I(σ,F₂) si ∈ {∧,∨,⇒} I(σ,¬F) =¬I(σ,F)

I(σ,∀x,F) =

1si pour tout v ∈D,I(σ[x/v],F) = 1 0sinon

I(σ,∃x,F) =

1si il existe un v ∈D t.q. I(σ[x/v],F) = 1 0sinon

(30)

S´ emantique 3

I(σ,x) =σ(x)

Interpr´etation I +valuation σ interpr´etation des formules : I(σ,R(t1, . . . ,tn)) = R_I(I(σ,t1), . . . ,I(σ,tn))

I(σ,F₁F₂) =I(σ,F₁)I(σ,F₂) si ∈ {∧,∨,⇒} I(σ,¬F) =¬I(σ,F)

I(σ,∀x,F) =

I(σ,∃x,F) =

(31)

S´ emantique 3

I(σ,x) =σ(x)

I(σ,F₁F₂) =I(σ,F₁)I(σ,F₂) si ∈ {∧,∨,⇒}

I(σ,¬F) =¬I(σ,F) I(σ,∀x,F) =

I(σ,∃x,F) =

(32)

S´ emantique 3

I(σ,x) =σ(x)

I(σ,F₁F₂) =I(σ,F₁)I(σ,F₂) si ∈ {∧,∨,⇒}

I(σ,¬F) =¬I(σ,F)

I(σ,∀x,F) =

I(σ,∃x,F) =

(33)

S´ emantique 3

I(σ,x) =σ(x)

I(σ,F₁F₂) =I(σ,F₁)I(σ,F₂) si ∈ {∧,∨,⇒}

I(σ,¬F) =¬I(σ,F) I(σ,∀x,F) =

1si pour tout v ∈D,I(σ[x/v],F) = 1

I(σ,∃x,F) =

(34)

S´ emantique 3

I(σ,x) =σ(x)

I(σ,F₁F₂) =I(σ,F₁)I(σ,F₂) si ∈ {∧,∨,⇒}

I(σ,¬F) =¬I(σ,F) I(σ,∀x,F) =

I(σ,∃x,F) =

(35)

S´ emantique : Propri´ et´ e

Proposition 1

Si F est une formule et I une interpr´etation, I(σ,F)ne d´epend que des valeurs des variables libres de F .

Preuve : par induction surF.

Corollaire 2

Si F est une formuleclosealors I(σ,F) =I(σ⁰,F) pour tout σ, σ⁰ (on note alors I(F))

I Si I(σ,F) = 1 alorsI, σ satisfaitF not´e,I, σ|=F. I Si I, σ|=F pour tout F ∈Γ alorsI, σ|= Γ.

I Si il n’existe pas deI,σ tel queI, σ|= Γ alors Γ contradictoire. I Si I, σ|=F pour tout I et tout σ alors F est valide.

(36)

S´ emantique : Propri´ et´ e

Proposition 1

Preuve : par induction surF. Corollaire 2

Si F est une formuleclosealors I(σ,F) =I(σ⁰,F) pour toutσ, σ⁰ (on note alors I(F))

(37)

S´ emantique : Propri´ et´ e

Proposition 1

I Si I(σ,F) = 1 alorsI, σ satisfaitF not´e,I, σ|=F.

I Si I, σ|=F pour tout F ∈Γ alorsI, σ|= Γ.

(38)

S´ emantique : Propri´ et´ e

Proposition 1

(39)

S´ emantique : Propri´ et´ e

Proposition 1

I Si il n’existe pas deI,σ tel queI, σ|= Γ alors Γ contradictoire.

(40)

S´ emantique : Propri´ et´ e

Proposition 1

I Si I, σ|=F pour tout I et toutσ alors F est valide.

(41)

S´ emantique : Propri´ et´ e

Proposition 1

I Si I, σ|=F pour tout I et toutσ alors F est valide.

(42)

Equivalences ´

Celles de la logique propositionnelle +

∀x,∀y,F ≡ ∀y,∀x,F

∃x,∃y,F ≡ ∃y,∃x,F

¬∀x,F ≡ ∃x,¬F

¬∃x,F ≡ ∀x,¬F

(∀x,F₁)∧F₂ ≡ ∀x,F₁∧F₂ si x ∈/ FV(F₂) (∃x,F1)∧F2 ≡ ∃x,F1∧F2 si x ∈/ FV(F2) (∀x,F₁)∨F₂ ≡ ∀x,F₁∨F₂ si x ∈/ FV(F₂) (∃x,F1)∨F2 ≡ ∃x,F1∨F2 si x ∈/ FV(F2)

(43)

Equivalences ´

∀x,∀y,F ≡ ∀y,∀x,F

∃x,∃y,F ≡ ∃y,∃x,F

¬∀x,F ≡ ∃x,¬F

¬∃x,F ≡ ∀x,¬F

(∀x,F₁)∧F₂ ≡ ∀x,F₁∧F₂ si x ∈/ FV(F₂) (∃x,F1)∧F2 ≡ ∃x,F1∧F2 si x ∈/ FV(F2) (∀x,F₁)∨F₂ ≡ ∀x,F₁∨F₂ si x ∈/ FV(F₂) (∃x,F1)∨F2 ≡ ∃x,F1∨F2 si x ∈/ FV(F2)

(44)

Equivalences ´

∀x,∀y,F ≡ ∀y,∀x,F

∃x,∃y,F ≡ ∃y,∃x,F

¬∀x,F ≡ ∃x,¬F

¬∃x,F ≡ ∀x,¬F

(∀x,F₁)∧F₂ ≡ ∀x,F₁∧F₂ si x ∈/ FV(F₂) (∃x,F1)∧F2 ≡ ∃x,F1∧F2 si x ∈/ FV(F2)

(∀x,F₁)∨F₂ ≡ ∀x,F₁∨F₂ si x ∈/ FV(F₂) (∃x,F1)∨F2 ≡ ∃x,F1∨F2 si x ∈/ FV(F2)

(45)

Equivalences ´

∀x,∀y,F ≡ ∀y,∀x,F

∃x,∃y,F ≡ ∃y,∃x,F

¬∀x,F ≡ ∃x,¬F

¬∃x,F ≡ ∀x,¬F

(∀x,F₁)∧F₂ ≡ ∀x,F₁∧F₂ si x ∈/ FV(F₂) (∃x,F1)∧F2 ≡ ∃x,F1∧F2 si x ∈/ FV(F2)

(46)

Proposition 3

Soient F et G deux formules etΣun ensemble de formules.

1. Σ|=F ⇒G si et seulement siΣ,F |=G .

2. Σ|=F si et seulement siΣ,¬F est contradictoire.

Preuve : cf propositionnelle

(47)

Proposition 3

Soient F et G deux formules etΣun ensemble de formules.

1. Σ|=F ⇒G si et seulement siΣ,F |=G .

2. Σ|=F si et seulement siΣ,¬F est contradictoire.

Preuve : cf propositionnelle

(48)

Preuves formelles : la d´ eduction naturelle

On reprend les s´equents Γ`F, mais avec des formules du 1^erordre.

D´efinition 11 (Sequents prouvables)

Ensemble desséquents prouvables défini inductivement par les règles de la déduction naturelle pour la logique propositionnelle +

Γ`A x non libre dansΓ Γ` ∀x,A (∀_i) Γ` ∀x,A

Γ`A[x :=t] (∀_e) Γ`A[x :=t]

Γ` ∃x,A (∃_i)

Γ` ∃x,A Γ,A`B x non libre dansΓ, ni dans B

Γ`B (∃_e)

(49)

Preuves formelles : la d´ eduction naturelle

Γ`A[x :=t] (∀_e) Γ`A[x :=t]

Γ` ∃x,A (∃_i)

Γ`B (∃_e)

(50)

Preuves formelles : la d´ eduction naturelle

Γ`A x non libre dansΓ Γ` ∀x,A (∀_i)

Γ` ∀x,A Γ`A[x :=t] (∀_e)

Γ`A[x :=t] Γ` ∃x,A (∃_i)

Γ`B (∃_e)

(51)

Preuves formelles : la d´ eduction naturelle

Γ`A[x :=t] (∀_e)

Γ`A[x :=t] Γ` ∃x,A (∃_i)

Γ`B (∃_e)

(52)

Preuves formelles : la d´ eduction naturelle

Γ`A[x :=t] (∀_e) Γ`A[x :=t]

Γ` ∃x,A (∃_i)

Γ`B (∃_e)

(53)

Preuves formelles : la d´ eduction naturelle

Γ`A[x :=t] (∀_e) Γ`A[x :=t]

Γ` ∃x,A (∃_i)

(54)

Un exemple de preuve : De la mortalit´ e de Socrate

On se donne le langageL={H,M,S}o`u H etM sont des symboles de pr´edicats unaires etS un symbole de constante.

On peut alors mod´eliser le probl`eme : Γ =

∀x,H(x)⇒M(x) H(S)

et on doit montrer que Γ`M(S) est prouvable.

Γ` ∀x,H(x)⇒M(x)

(ax)

Γ`H(S)⇒M(S)

(∀_e)

Γ`H(S)

(ax)

Γ`M(S)

(⇒_e)

(55)

Un exemple de preuve : De la mortalit´ e de Socrate

(ax)

Γ`H(S)⇒M(S)

(∀_e)

Γ`H(S)

(ax)

(⇒_e)

(56)

Un exemple de preuve : De la mortalit´ e de Socrate

(ax)

Γ`H(S)⇒M(S)

(∀_e)

Γ`H(S)

(ax)

Γ`M(S) (⇒_e)

(57)

Un exemple de preuve : De la mortalit´ e de Socrate

(ax)

Γ`H(S)⇒M(S) (∀_e)

Γ`H(S)

(ax)

(⇒_e)

(58)

Un exemple de preuve : De la mortalit´ e de Socrate

Γ` ∀x,H(x)⇒M(x) (ax) Γ`H(S)⇒M(S) (∀_e)

Γ`H(S)

(ax)

Γ`M(S) (⇒_e)

(59)

Un exemple de preuve : De la mortalit´ e de Socrate

Γ` ∀x,H(x)⇒M(x) (ax) Γ`H(S)⇒M(S) (∀_e)

Γ`H(S) (ax) (⇒_e)

(60)

Coh´ erence

D´efinition 12

Un ensemble de formules T estcoh´erentsi et seulement si on ne peut pasprouver⊥`a partir de cet ensemble i.e. ssi T ` ⊥ n’est pas prouvable.

Proposition 4

Un ensemble T est coh´erent ssi il n’est pas contradictoire.

(61)

Coh´ erence

D´efinition 12

Un ensemble de formules T estcoh´erentsi et seulement si on ne peut pasprouver⊥`a partir de cet ensemble i.e. ssi T ` ⊥ n’est pas prouvable.

Proposition 4

Un ensemble T est coh´erent ssi il n’est pas contradictoire.

(62)

Compl´ etude

Th´eor`eme 5

Si A est une formule close alors `A est prouvable ssi|=A

Preuve :

`Aprouvable ssi ¬A` ⊥ prouvable

ssi {¬A}est incoh´erente ssi {¬A}est contradictoire ssi Aest valide

(63)

Compl´ etude

Th´eor`eme 5

Preuve :

(64)

Compl´ etude

Th´eor`eme 5

Preuve :

`A

¬A`A (aff)

¬A` ¬A (ax)

¬A` ⊥ (¬_e)

(65)

Compl´ etude

Th´eor`eme 5

Preuve :

`Aprouvable ssi ¬A` ⊥ prouvable ssi {¬A}est incoh´erente

ssi {¬A}est contradictoire ssi Aest valide

D´efinition de la coh´erence

(66)

Compl´ etude

Th´eor`eme 5

Preuve :

`Aprouvable ssi ¬A` ⊥ prouvable ssi {¬A}est incoh´erente ssi {¬A}est contradictoire

ssi Aest valide

cf Proposition 4

(67)

Compl´ etude

Th´eor`eme 5

Preuve :

`Aprouvable ssi ¬A` ⊥ prouvable ssi {¬A}est incoh´erente ssi {¬A}est contradictoire ssi Aest valide

Dernier Lemme de la semaine derni`ere

(68)

Extension de la d´ eduction naturelle (EXPERTS ONLY)

Idée : Ajouter de nouvelles règles de preuvesans perdre la cohérence.

Exemple :

Quand : Symbole = pr´esent dans le langage Comment : Ajout de deux r`egles

Γ`t=t (=_i)

Γ`A[x :=t] Γ`t =u Γ`A[x :=u] (=e)

(69)

Extension de la d´ eduction naturelle (EXPERTS ONLY)

Idée : Ajouter de nouvelles règles de preuvesans perdre la cohérence.

Exemple :

Quand : Symbole = pr´esent dans le langage Comment : Ajout de deux r`egles

Γ`t=t (=_i)

Γ`A[x :=t] Γ`t=u

` (=e)

(70)

Arithm´ etique de Peano

L={0,S,+,×,=}o`u 0 est une constante,S est un symbole unaire, + et×sont binaires et = est un pr´edicat binaire, On note

Γ_PA=











∀x,¬(S(x) = 0)

∀x,∀y,S(x) =S(y)⇒x=y

∀x,x+ 0 =x

∀x,∀y,x+S(y) =S(x+y)

∀x,x×0 = 0

∀x,∀y,x×S(y) = (x×y) +x









 et on ajoute la r`egle :

Γ_PA`F[x := 0] Γ_PA` ∀y,F[x :=y]⇒F[x :=S(y)]

Γ_PA` ∀x,F (rec)

(71)

Et la r´ esolution alors ?

D´efinition 13 (Forme pr´enexe)

Une formule F esten forme pr´enexessi F =Q1x1, . . . ,Qnxn,G o`u Q_i ∈ {∀,∃} et G est sans quantificateur.

Proposition 6

Toute formule est sémantiquement équivalente à une formule en forme prénexe.

D´efinition 14

Une formule F estuniverselle si F =∀x₁, . . . ,∀x_n,G o`u G est sans quantificateur.

(72)

Et la r´ esolution alors ?

Proposition 6

D´efinition 14

(73)

Et la r´ esolution alors ?

Proposition 6

D´efinition 14

(74)

Et la r´ esolution alors ?

Proposition 6

D´efinition 14

(75)

Formes de Skolem

Proposition 7

A toute formule, on peut associer une formule` F universelle dite^s forme de Skolemde F .

Preuve :

I passer en forme pr´enexe

I supprimer les ∃ en ajoutant des nouveaux symboles de fonction

∃x,P(x) P(Cx)

∀x₁, . . .∀x_n,∃y,P(y) ∀x₁, . . .∀x_n,P(f(x₁, . . . ,x_n)) Proposition 8

SoitΣun ensemble de formules et Σ^s l’ensemble des formes de Skolem des formules deΣ, alors Σest contradictoire ssiΣ^s est contradictoire.

(76)

Formes de Skolem

Proposition 7

Preuve :

∃x,P(x) P(Cx)

∀x₁, . . .∀x_n,∃y,P(y) ∀x₁, . . .∀x_n,P(f(x₁, . . . ,x_n))

Proposition 8

SoitΣun ensemble de formules et Σ^s l’ensemble des formes de Skolem des formules deΣ, alors Σest contradictoire ssiΣ^s est contradictoire.

(77)

Formes de Skolem

Proposition 7

Preuve :

∃x,P(x) P(Cx)

∀x₁, . . .∀x_n,∃y,P(y) ∀x₁, . . .∀x_n,P(f(x₁, . . . ,x_n)) Proposition 8

(78)

Formes de clauses

D´efinition 15

I Unlitt´eralest une formule atomique ou la n´egation d’une formule atomique.

I Une clauseest une disjonction de litt´eraux I Une formule F est sous forme de clausessi

F =∀x₁, . . . ,∀x_n,V

iC_i o`u chaque C_i est une clause.

Proposition 9

A chaque ensemble de formules` Σ, on peut associer un ensemble de clauses Σ^c tel queΣest contradictoire ssiΣ^c est contradictoire. Id´ee de preuve :

I mettre chaque F ∈Σ sous forme de clause (Skolem, puis FNC)

I ajouter chaque clause C_i dansΣ^c

(79)

Formes de clauses

D´efinition 15

I Unlitt´eralest une formule atomique ou la n´egation d’une formule atomique.

I Une clauseest une disjonction de litt´eraux I Une formule F est sous forme de clausessi

F =∀x₁, . . . ,∀x_n,V

iC_i o`u chaque C_i est une clause.

Proposition 9

A chaque ensemble de formules` Σ, on peut associer un ensemble de clausesΣ^c tel queΣest contradictoire ssiΣ^c est contradictoire.

Id´ee de preuve :

(80)

Bon ¸ca vient cette r´ esolution . . .

En propositionnelle :

p∨C1 ¬p∨C2

C₁∨C₂

Premier ordre :

A1∨C1 ¬A₂∨C2

C₁σ∨C₂σ

si σ est ununificateur deA₁ et A₂ : A₁σ =A₂σ A₁∨A₂∨C

A₁σ∨Cσ

¬A₁∨ ¬A₂∨C

¬A₁σ∨Cσ

(81)

Bon ¸ca vient cette r´ esolution . . .

p∨C1 ¬p∨C2

C₁∨C₂

Premier ordre :

R(t1, . . . ,tn)∨C1 ¬R(t₁, . . . ,tn)∨C2

C₁∨C₂

A1∨C1 ¬A₂∨C2

C₁σ∨C₂σ

si σ est ununificateur deA₁ et A₂ : A₁σ=A₂σ A1∨A2∨C

A₁σ∨Cσ

¬A₁∨ ¬A₂∨C

¬A₁σ∨Cσ

(82)

Bon ¸ca vient cette r´ esolution . . .

p∨C1 ¬p∨C2

C₁∨C₂

Premier ordre :

A₁∨C₁ ¬A₂∨C₂ C₁σ∨C₂σ

si σ est ununificateur deA₁ et A₂ : A₁σ=A₂σ A₁∨A₂∨C

A1σ∨Cσ

¬A₁∨ ¬A₂∨C

¬A₁σ∨Cσ

(83)

Bon ¸ca vient cette r´ esolution . . .

p∨C1 ¬p∨C2

C₁∨C₂

Premier ordre :

A₁∨C₁ ¬A₂∨C₂ C₁σ∨C₂σ si σ est ununificateur deA₁ et A₂ :

A₁σ=A₂σ A₁∨A₂∨C

A1σ∨Cσ

¬A₁∨ ¬A₂∨C

¬A₁σ∨Cσ

(84)

Bon ¸ca vient cette r´ esolution . . .

p∨C1 ¬p∨C2

C₁∨C₂

Premier ordre :

si σ est ununificateur deA₁ et A₂ : A₁σ=A₂σ

A₁∨A₂∨C A1σ∨Cσ

¬A₁∨ ¬A₂∨C

¬A₁σ∨Cσ

(85)

Bon ¸ca vient cette r´ esolution . . .

p∨C1 ¬p∨C2

C₁∨C₂

Premier ordre :

si σ est ununificateur deA₁ et A₂ : A₁σ=A₂σ A₁∨A₂∨C ¬A₁∨ ¬A₂∨C

(86)

Une petite preuve ?

Socrate :

On cherche `a montrer que







¬H(x)∨M(x) H(S)

¬M(S)







est contradictoire.

¬H(x)∨M(x) H(S)

M(S)

σ ={x 7→S}

¬M(S)

⊥

(87)

Une petite preuve ?

Socrate :







¬H(x)∨M(x) H(S)

¬M(S)







est contradictoire.

¬H(x)∨M(x) H(S)

M(S)

σ ={x 7→S}

¬M(S)

⊥

(88)

Une petite preuve ?

Socrate :







¬H(x)∨M(x) H(S)

¬M(S)







est contradictoire.

¬H(x)∨M(x) H(S)

M(S)

σ ={x 7→S}

¬M(S)

⊥

(89)

Une petite preuve ?

Socrate :







¬H(x)∨M(x) H(S)

¬M(S)







est contradictoire.

¬H(x)∨M(x) H(S)

M(S) σ ={x 7→S}

¬M(S)

⊥