ENSIIE Logique
PAL Feuille de TD 4
Logique du premier ordre
Exercice 1 SoitL=
a, b, f, g, R, S,= un langage o`ua, bsont des symboles de constantes,f, gdes symboles de fonctions d’arit´e respective un et deux etR, S des pr´edicats d’arit´e respective un et deux.=est un pr´edicat (infixe) d’arit´e deux.
Les expressions suivantes sont-elles des termes ? des formules ?
g(a, f(b)) g(R(a), b)
f(g(f(x), g(a, f(y)))) S(f(a), g(x, R(y))) (∀x(g(x, x) =b))∧(∃x(f(x) =b)) ∀x∃y
(S(x, a)∧R(b))⇒S(f(b), y)
∀x
S(a, f(x))∨ ∃yf(y)
R(a, f(x))⇒S(a,∃yg(y, b))
Exercice 2
On consid`ere le langage L =
U, F, L, E o`u U, F sont deux pr´edicats `a une place et L, E sont deux pr´edicats binaires. Ecrire dans ce langage les formules suivantes :
• Tout utilisateur a la permission d’´ecriture sur au moins un fichier
• Pour chaque fichier, il existe au moins un utilisateur qui a la permission d’´ecriture sur ce fichier
• Aucun utilisateur n’a la permission d’´ecriture sur tous les fichiers
• Au moins un utilisateur a la permission d’´ecriture et de lecture sur tous les fichiers
• Si un utilisateur a la permission d’´ecriture sur un fichier, alors il a aussi la permission de lecture sur ce fichier
Exercice 3
On suppose que :
• Tout athl`ete est fort,
• Toute personne intelligente et forte r´eussira sa carri`ere,
• Pierre est un athl`ete intelligent.
En traduisant ce probl`eme dans la logique du premier ordre, montrer `a l’aide de la d´eduction naturelle que Pierre r´eussira sa carri`ere.
Exercice 4
Montrer que toute involution est bijective.
Exercice 5
Montrer que la r`egle suivante est d´erivable en d´eduction naturelle.
Γ, A`B xnon libre dansΓ, B Γ,∃x, A`B (∃g)
Exercice 6
Montrer en utilisant la d´eduction naturelle que toute relation binaire sym´etrique, transitive et sans
´el´ement maximal est r´eflexive.
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