YVES BOUCHARD
Calcul en logique
du premier ordre
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YVES BOUCHARD
Calcul en logique
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Dépôt légal : 1er trimestre 2015
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Bouchard, Yves, 1963-
Calcul en logique du premier ordre
Comprend des références bibliographiques et un index.
ISBN 978-2-7605-4209-9
1. Logique du premier ordre. 2. Calcul propositionnel. I. Titre.
BC128.B68 2015 160 C2014-942383-7
À Ghislaine et Guillaume
Avant-propos
Cet ouvrage présente le contenu relatif à deux outils de calcul en logique des prédicats du premier ordre, soit le calcul en arbres de consistance et le calcul en déduction naturelle. Dans la première partie, on retrouve les concepts, les objets et les méthodes propres à la logique propositionnelle (chapitres 1 à 3). L’approche de cette partie est centrée sur la notion de structure propositionnelle. Dans la deuxième partie, la logique proposition- nelle est étendue à la logique prédicative au moyen de la quantification et de concepts caractéristiques d’un langage du premier ordre (chapitre 4). Les deux outils de calcul sont enrichis de manière à pouvoir traiter des fonctions propositionnelles (chapitre 5 et 6), à savoir des prédicats du premier ordre.
Les exemples et les exercices utilisés dans chaque chapitre répondent bien sûr au besoin d’illustration mais surtout aux impératifs liés à la progression dans les développements plus techniques.
Tout au long de la préparation de cet ouvrage, j’ai pu bénéficier de l’aide et de l’appui de plusieurs collègues. Je tiens en particulier à remercier Serge Robert et André Mayers pour leurs suggestions de corrections qui m’ont permis de réduire les défauts dans ma présentation. Je remercie également Benoît Côté et Gilles Beauchamp pour leur aide, notamment dans la révision des exercices et dans l’exploration de voies inédites.
En ce qui concerne la typographie LATEX, les arbres de consistance ont été réalisés à l’aide de la librairie de commandes pst-tree développée par Timothy Van Zandt et Herbert Voß, et les déductions naturelles, au moyen de la librairiefitch programmée par Peter Selinger.
Enfin, j’aimerais inviter le lecteur attentif à me communiquer toute erreur qui a pu échapper à mon attention (yves.bouchard@usherbrooke.ca).
Table des matières
Avant-propos ix
Introduction 1
I Logique propositionnelle 9
1 Les connecteurs logiques 11
1.1 Objets . . . 11
1.1.1 Propriétés des connecteurs . . . 11
1.1.2 Définitions des connecteurs . . . 12
1.1.3 Relations entre les connecteurs . . . 18
1.1.4 Traduction de la langue naturelle . . . 21
1.2 Méthodes . . . 26
1.2.1 Tables de vérité . . . 26
1.2.2 Calcul par réduction . . . 31
1.2.3 Tautologie . . . 33
1.3 Solutions des exercices . . . 37
2 Les arbres de consistance I 45 2.1 Forme normale disjonctive . . . 45
2.2 Construction . . . 47
2.3 Calcul . . . 58
2.3.1 Énoncé . . . 59
2.3.2 Ensemble d’énoncés . . . 63
2.3.3 Inférence . . . 66
2.4 Objets et méthodes . . . 71
xii TABLE DES MATIÈRES
2.5 Sommaire des règles . . . 77
2.6 Solutions des exercices . . . 78
3 La déduction naturelle I 105 3.1 Construction . . . 105
3.2 Règles d’introduction . . . 107
3.3 Règles d’élimination . . . 113
3.4 Calcul . . . 116
3.5 Sommaire des règles . . . 141
3.6 Solutions des exercices . . . 143
II Logique prédicative 159 4 La quantification 161 4.1 Prédicat . . . 161
4.1.1 Abstraction . . . 163
4.2 Quantificateur . . . 165
4.2.1 Dualité . . . 166
4.2.2 Instanciation . . . 167
4.2.3 Propriétés . . . 172
4.3 Traduction . . . 175
4.4 Propriétés des relations . . . 177
4.5 Langage du premier ordre . . . 179
4.5.1 Point de vue syntaxique . . . 180
4.5.2 Point de vue sémantique . . . 181
4.6 Solutions des exercices . . . 187
5 Les arbres de consistance II 193 5.1 Construction . . . 193
5.1.1 Première approche . . . 194
5.1.2 Règles . . . 197
5.2 Interprétation . . . 204
5.3 Objets et méthodes . . . 207
5.4 Calcul . . . 208
5.5 Sommaire des règles . . . 216
5.6 Solutions des exercices . . . 217
TABLE DES MATIÈRES xiii
6 La déduction naturelle II 237
6.1 Règles d’introduction . . . 237
6.2 Règles d’élimination . . . 240
6.3 Règles définitoires . . . 243
6.4 Calcul . . . 245
6.5 Sommaire des règles . . . 260
6.6 Solutions des exercices . . . 263
Bibliographie 279
Index 285
Introduction
Given a number of premises, logic does not tell us what conclusions we ought to draw from them ; it merely tells us what conclusions we may draw from them – if we wish and if we are clever enough.
Hintikka, 1962
Un calcul logique, au sens large, est une méthode de résolution appliquée au traitement d’une structure propositionnelle. Une structure proposition- nelle doit présenter certaines propriétés afin de pouvoir faire l’objet d’un calcul et les propositions constituant cette structure peuvent aussi bien être des expressions d’une langue naturelle (comme le français) que des expres- sions d’un langage formalisé (comme l’arithmétique). Le rapport structurel entre ces propositions fait en sorte d’établir entre elles une forme de dépen- dance assimilable à celle d’une fonction. Ainsi, la notion de calcul en logique est-elle tributaire de deux notions fondamentales, celle de structure proposi- tionnelle et celle de fonction propositionnelle. Ces notions sont elles-mêmes issues de développements dont l’histoire passe principalement par Aristote, Boole et Frege.
Aristote
Aristote a le mérite d’avoir préparé la voie à la notion de calcul en met- tant en lumière les propriétés logiques de certaines structures proposition- nelles dans sesPremiers analytiques. Pour Aristote, une proposition (ou un jugement) est une relation logique entre deux termes, le sujet et le prédicat (le verbe canonique étant la copule), et les propositions formant les schémas inférentiels de base sont réduites à quatre formes, selon que la proposition
2 Introduction
est affirmative ou non (aspect qualitatif) et universelle ou non (aspect quan- titatif). On utilise habituellement le carré d’Apulée, appelé aussi le carré des oppositions, pour représenter ces formes :
A Tous lesXsontY
E AucunX n’estY
I
QuelquesX sontY
O
QuelquesXne sont pasY contrariété
subalternation
contradiction
subalternation
contradiction
sous-contrariété
Dans ce carré, chaque type de propositions entretient des rapports infé- rentiels avec les autres types. Par exemple, la vérité d’une proposition A implique la fausseté de la proposition E (sa contraire), et la vérité d’une proposition O implique la fausseté de la proposition A (sa contradictoire).
De tels rapports logiques sont dits immédiats, puisqu’une seule proposition suffit à en inférer une autre. Lorsqu’une proposition est inférée à partir de deux propositions, la structure devient celle d’un syllogisme. La spécifi- cité de la conclusion d’un syllogisme est de mettre en rapport deux termes (les termes extrêmes) par le biais d’un troisième (le moyen terme). L’une des contributions majeures d’Aristote réside dans la reconnaissance qu’une structure comme celle d’un syllogisme garantit la vérité de la conclusion, étant donnée la vérité des prémisses, suivant certains arrangements des trois termes (figure) selon la quantité et la qualité (mode). Par exemple, dans le syllogisme
Tous les êtres humains sont mortels.
Tous les hommes sont des êtres humains.
Donc, tous les hommes sont mortels.
le moyen terme (le terme commun aux deux prémisses) est être humain, le grand terme (l’extrême de la majeure et le prédicat de la conclusion) est mortel et le petit terme (l’extrême de la mineure et le sujet de la conclu- sion) est homme. Du point de vue de la qualité et de la quantité, les trois propositions sont affirmatives et universelles (type A). En utilisant M, T et tpour désigner respectivement le moyen, le grand et le petit termes, on obtient la configuration :
Introduction 3
Majeure M T A
Mineure t M A
Conclusion t T A
La liaison opérée par le moyen terme dans ce syllogisme assure logiquement la vérité de la conclusion, puisque la classe des hommes est incluse dans la classes des êtres humains qui est elle-même incluse dans la classe des mortels.
Aristote a initialement identifié quatorze structures inférentielles valides sous forme syllogistique catégorique qui sont classifiées selon la position du moyen terme dans les prémisses et la qualité/quantité des propositions (1947, I 4-6).
Ce cadre d’analyse logique élaboré par Aristote va traverser le moyen âge et l’époque moderne pour perdurer jusqu’auxixe siècle, tout en faisant l’objet de raffinements successifs notamment de la part des logiciens médiévaux1.
Boole
La notion de calcul logique proprement dite, bien qu’envisagée par Leib- niz, ne trouve sa véritable première réalisation qu’avec l’algèbre de Boole (1847, 1848, 1854)2. L’idée ingénieuse de Boole consistait à représenter sym- boliquement les quatre schémas de proposition de la syllogistique aristotéli- cienne afin de traiter les relations inférentielles au moyen d’une algèbre. Pour Boole, les termes mis en relation dans une proposition sont conçus comme des membres de classes et les propositions comme des résultats d’opération sur des classes. Une proposition est considérée comme une fonction de sé- lection (elective function) des objets du domaine de référence. Les fonctions de sélection qui correspondent aux schémas aristotéliciens sont
Proposition Fonction
Tous lesXsontY (A) xp1´yq “0 AucunXn’estY (E) xy“0 QuelquesXsontY (I) v“xy QuelquesXne sont pasY (O) v“xp1´yq
oùx,yetvsont des classes, et1´xet1´ysont des compléments de classe.
Dans cette algèbre, les opérations définies sont l’addition et la multiplication avec leurs propriétés (commutativité et distributivité). De plus, l’algèbre de Boole satisfait l’équationxn “x (idempotence de la multiplication), étant
1. Pour une présentation de la syllogistique aristotélicienne, on consultera entre autres Łukasiewicz (1957, 2010), Bocheński (1961), Kneale et Kneale (1962), Robert (1978), Blais (1985) ainsi que Parry et Hacker (1991).
2. De Morgan a aussi publié en 1847 un traité de logique intituléFormal Logic : Or, the Calculus of Inference, Necessary and Probable, mais la notion de calcul y est davantage exploitée dans l’exposition des probabilités que dans l’analyse de la syllogistique.
4 Introduction
donné que les seules valeurs du domaine sont t0,1u. Pour vérifier la vali- dité d’un syllogisme, on traite symboliquement les fonctions de sélection des deux prémisses (majeure et mineure) de manière à obtenir par réduction la fonction de sélection de la conclusion. Par exemple, la validité du syllogisme
Tous lesY sontX. Tous lesZ sontY. Donc, tous les Z sontX.
peut être démontrée au moyen du calcul booléen suivant : 1. yp1´xq “0 prémisse (majeure)
2. zp1´yq “0 prémisse (mineure) 3. y“yx par algèbre, 1 4. z“zy par algèbre, 2
5. z“zyx par substitutionyx{y, 3 et 4 6. zy “zy2x par multiplication, 5
7. zy “zyx par idempotence, 6 8. z“zx par division, 7 9. zp1´xq “0 par algèbre, 8
La fonction de sélection zp1´xq “ 0 (ligne 9) signifie que tous les Z sont X, ce qui correspond à la conclusion du syllogisme.
L’une des conséquences de ce type de calcul est qu’il nous permet de sortir du cadre rigide du syllogisme, selon lequel les trois termes sont répar- tis dans deux prémisses, et de traiter un ensemble de prémisses comme un système d’équations. Grâce au théorème d’expansion de Boole (1848, 1854), stipulant que toute fonction de sélection à n variables (soit n classes) peut être développée dans une expression constituée d’une somme de produits de n facteurs, la notion de fonction autorise désormais une généralisation sur la structure propositionnelle. Il s’agit là d’un progrès tout à fait remarquable, qui a donné une impulsion nouvelle, avec les travaux de Frege, au dévelop- pement de la logique cantonnée jusque-là aux limites du cadre aristotélicien.
Frege
Frege, quant à lui, est à l’origine d’un nouvel effort d’abstraction qui va procurer à la logique les ressources suffisantes pour opérer définitivement son déploiement formel. À cet égard, on ne peut manquer d’être étonné en constatant que d’un point de vue strictement chronologique, Frege se pré- sente comme le point de rencontre de deux axes historiques dont l’évolution est relativement indépendante et qui trouvent tous deux leur point de départ auivesiècle avant notre ère avec, d’un côté, lesPremiers analytiques d’Aris- tote et, de l’autre, les Éléments d’Euclide (présentation axiomatique de la
Introduction 5
géométrie). C’est en 1879 que Frege publie laBegriffsschrift (idéographie), la toute première axiomatisation de la logique.
L’idéographie de Frege est une nouvelle forme de langage destinée à rendre explicite d’un point de vue symbolique (et graphique) les enchaîne- ments inférentiels des raisonnements logiques3. Pour ce faire, il développe un graphisme original pour exprimer les rapports de conditionnalité. À la base de ce graphisme, on retrouve l’assemblage d’un trait horizontal pour signifier le contenu d’un jugement (proposition) et d’un trait vertical pour désigner l’assertion de ce contenu. Par exemple, pour référer au contenu de l’expression1`1“2, on écrit
1`1“2
et pour asserter ce même contenu, on le préfixe d’un trait vertical : 1`1“2.
Seule une assertion peut avoir une valeur de vérité. La négation d’une ex- pression est réalisée à l’aide d’un trait vertical sous le trait de contenu. Pour affimer la négation de l’expression2`2“5, on écrit
2`2“5.
Pour exprimer un lien de conditionnalité entre deux expressions, on asserte la dépendance des contenus en liant deux traits de contenu par un trait vertical :
x2 “4 x`2“4,
ce qui signifie que les conditions de vérité dex2“4dépendent des conditions de vérité dex`2“4de manière telle que si x`2“4 alors x2“4.
La présentation axiomatique de la logique développée par Frege dans l’idéographie s’exprime dans ce symbolisme qui permet d’identifier aisément les relations d’implication et les relations d’équivalence. Par exemple, à partir de la prémisse quesi A implique B alors A implique C et de la prémisse que A implique B, on peut tirer la conclusion queA implique C :
3. La clarté et l’expressivité sont pour Frege des propriétés essentielles du symbolisme.
L’indéniable avantage notationnel de Leibniz sur Newton en regard du calcul infinitésimal témoigne de manière éloquente de l’importance de ces propriétés. Par contre, le langage formulaire de Frege ne connaîtra pas une telle postérité.
6 Introduction
C A B A B A C A
La verticalité du graphisme symbolise de cette manière la conditionnalité, ce qui facilite le repérage des enchaînements logiques.
Frege a insisté fortement sur les caractéristiques de son langage formu- laire, qu’il conçoit comme un langage au sens fort du terme plutôt que comme un simple outil de calcul : « Je n’ai pas voulu créer seulement un calculus ratiocinator mais une lingua characterica au sens de Leibniz, étant bien entendu que le calcul de la déduction est à mon sens partie obligée d’une idéographie » ([1882] 1971, 71). Il reprocha même à Boole, sans doute avec trop de sévérité, d’avoir cherché avec son calcul à « habiller la logique abstraite du vêtement des signes algébriques » ([1882] 1971, 73)4.
Parmi les innovations que l’on retrouve dans l’idéographie de Frege, en plus de son aspect axiomatique, deux éléments en particulier auront un impact important sur le développement de la logique. Le premier élément concerne la distinction rigoureuse et fondamentale que Frege établit entre la notion de fonction et la notion d’argument. Ce sont ces deux notions complémentaires qui sont appelées à être substituées aux notions logiques traditionnelles de prédicat et de sujet. Dans la préface de l’idéographie, Frege écrit : « Je crois que le remplacement des concepts desujetet deprédicat par argument et fonction fera ses preuves à la longue » ([1879] 1999, 9). C’est bien ce qui s’est produit. Le prédicat logique sera dorénavant entendu au sens d’une fonction propositionnelle.
L’autre élément, qui est en lien avec le premier, est une théorie de la quantification. Avec son idéographie, Frege fournit les moyens de représen- ter la généralité de même que sa négation (ce qu’on appelle aujourd’hui les quantificateurs). On peut dès lors exprimer formellement la généralité des variables constitutives des fonctions. Pour désigner de manière générale toutes les valeurs que peut prendre une fonctionfpxq, on écrit :
4. Le caractère de calculabilité de la logique rendu manifeste par l’algèbre n’est pas qu’un aspect ornemental pour Boole, il est plutôt de l’ordre d’une loi de la pensée (1854, 1 §10).
Introduction 7
x fpxq.
Cette expression signifie quepour tous les x,fpxq. La concavité dans le trait de contenu sert à délimiter la portée de la généralité. Quant à la négation de la généralité,
x fpxq,
elle signifie qu’il existe au moins un x tel que non fpxq. La théorie de la quantification de Frege dans l’idéographie, bien qu’elle présente un certain nombre de difficultés propres, demeure néanmoins la première en date qui ait été formulée explicitement.
Ainsi, comme on peut le voir à partir d’Aristote, de Boole et de Frege, l’itinéraire des notions de structure et de fonction à la base de la notion de calcul logique se présente-t-il de manière assez linéaire mais discontinue dans le temps. L’important est d’apprécier les différentes étapes du progrès dans l’abstraction logique et les avancées théoriques qui en résultent.
Calcul en logique du premier ordre
Yves Bouchard est professeur d’épistémologie et de logique au Département de philosophie et d’éthique appliquée de l’Université de Sherbrooke. Il est président-fondateur de la Société canadienne d’épistémologie.
Un calcul logique, au sens large, est une méthode de résolution appliquée au trai- tement d’une structure propositionnelle. Les propositions constituant cette structure peuvent aussi bien être des expressions d’une langue naturelle (comme le français) que des expressions d’un langage formalisé (comme l’arithmétique), liées entre elles par une dépendance de nature fonctionnelle.
Cet ouvrage constitue une introduction à deux outils de calcul en logique du premier ordre, soit le calcul en arbres de consistance et le calcul en déduction natu- relle. La première partie, centrée sur la notion de structure propositionnelle, expose les concepts, les objets et les méthodes propres à la logique propositionnelle. Dans la deuxième partie, la logique propositionnelle est étendue à la logique prédicative au moyen de la quantifi cation et de concepts caractéristiques d’un langage du premier ordre. Les deux outils de calcul sont ensuite enrichis de manière à pouvoir traiter des fonctions propositionnelles, soit des prédicats du premier ordre.
De nombreux exemples et exercices, accompagnés de leurs solutions, aideront l’étudiant à progresser vers des calculs toujours plus complexes et à raffi ner ses méthodes de calcul logique.
PUQ.CA
ISBN 978-2-7605-4209-9
