La logique du premier ordre

LIAFA, CNRS et Universit´e Paris VII

El´ements de logique

Jean-Eric Pin

LIAFA, CNRS et Universit´e Paris 7 Jean-Eric.Pin@liafa.jussieu.fr

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Un exemple de formule logique

∃x∃y(x < y)∧ax∧by Interpr´etation sur un motu:

Il existe deux entiers x < ytels que, dansu, la lettre en positionxest unaet la lettre en position y est unb.

L’ensemble des mots v´erifiant la formule est l’ensemble des mots contenant une occurrence dea et ult´erieurement une occurrence de b.

A^∗aA^∗bA^∗

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Un deuxi`eme exemple

∃x∀y(x < y)∨(x=y)∧ax Interpr´etation ?

(x < y)∨(x=y)peut s’´ecrirex6y

∃x∀y x6ypeut s’´ecrirex= min L’ensemble des mots v´erifiant la formule est donc aA^∗.

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La logique du premier ordre

Symboles logiques:

• lesconnecteurs logiques:∧(et),∨(ou),

¬(non),→(implique),

• lesymbole d’´egalit´e=,

• lesquantificateurs∃et∀,

• desvariables(x,y,z, oux0,x1,x2, ... )

• desparenth`eses.

Symboles non logiques:

• Symboles derelations(<),

• Symboles defonctions(f, g),

• Symboles deconstantes(0,1).

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R`egles de construction

Exemple:L={< , h,0}

• <est un symbole derelation binaire,

• hest un symbole defonction `a deux variables,

• 0est un symbole deconstante.

Termes

• Lesvariables

• Les symboles deconstantes

• Sit1, t2, . . . , tnsont des termes et sif est un symbole de fonctionn-aire,f(t1, t2, . . . , t_n)est un terme.

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Exemple de termes

SiLne contient pas de symbole de fonction, les seuls termessont lesvariableset les symboles de constantes.

SiL={<, h,0}les expressions suivantes sont des termes :

x h(0,0) h(x, h(0, y)) h(h(x, y), h(x, z))

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Formules atomiques

Ce sont les formules soit de la forme(t1=t2)o`ut1

ett2sont destermes, soit de la forme R(t1, . . . , tn)

o`ut1, . . . , t<sub>n</sub>sont destermeset o`uRest un symbole derelationn-airedeL.

(h(x, h(0, y)) =x) (h(0,0)<0) (h(h(t, x), h(x, y))< h(z, x))

Note: on devrait ´ecrire<(t1, t2)au lieu det1< t2.

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Formules du premier ordre

(1) Les formulesatomiques.

(2) Si(ϕi)16i6nest une famille de formules, alors

^

16i6n

ϕ_i et _

16i6n

ϕ_i

sont des formules.

(3) Siϕetψsont des formules, alors¬ϕet (ϕ→ψ)sont des formules.

(4) Siϕest une formule et sixest unevariable, alors(∃xϕ)et(∀xϕ)sont des formules.

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Exemples de formules

Pour simplifier, on pose vrai=^

i∈∅

ϕi et faux=_

i∈∅

ϕi

Les expressions suivantes sont des formules du premier ordre:

(∃x(∀y((y < h(z,0))∧(x <0)))) (∀x(y=x))

On ´ecrira les formules pr´ec´edentes sous la forme

∃x∀y(y < h(x,0))∧(z <0)

∀x y=x LIAFA, CNRS et Universit´e Paris VII

Variables libres et variables li´ees

Certaines variables apparaissent apr`es un quantificateur (existentiel ou universel) : les occurrences de ces variables sontli´ees. Les autres occurrences sont dites libres. Par exemple, dans la formule

∃x(y< h(x,0))∧ ∀y(z<y)

les occurrencesxetysont li´ees et les occurrencesz etysont libres.

On appelle´enonc´eune formule dont toutes les variables sont li´ees.

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D´ef. formelle des variables libres

L’ensembleF V(ϕ)des variables libres d’une formuleϕest d´efini comme suit :

(1) Siϕest atomique,F V(ϕ)est l’ensemble des variables deϕ,

(2) F V(¬ϕ) =F V(ϕ)

(3) F V(ϕ∧ψ) =F V(ϕ∨ψ) =F V(ϕ)∪F V(ψ) (4) F V(ϕ→ψ) =F V(ϕ)∪F V(ψ)

(5) F V(∃xϕ) =F V(∀xϕ) =F V(ϕ)\ {x} Toute variable qui aau moins uneoccurrence libre dansϕest libre.

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S´emantique des formules

UnestructureS surLest donn´ee par un ensemble D, appel´edomaineet par une application d´efinie sur Let qui associe :

(1) `a chaque symbole derelationn-aire deL, une relationn-aire d´efinie surD,

(2) `a chaque symbole defonction`anarguments f deL, une fonction `anarguments d´efinie surD,

(3) `a chaque symbole deconstantecdeL, un

´el´ement deD.

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Interpr´etation des variables

Unevaluationest une applicationνde l’ensemble des variables dans l’ensembleD. On ´etendν aux termes deL:

(1) Sicest un symbole deconstante, on pose ν(c) =c,

(2) sif est un symbole defonction`an arguments et sit1, . . . , t_nsont des termes

ν f(t1, . . . , t_n)

=f(ν(t1), . . . , ν(t_n))

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Interpr´etation des variables (suite)

Siν est une valuation etaun ´el´ement deD, on note ν

a x

la valuationν^′d´efinie par

ν^′(y)=

(ν(y) siy6=x a siy=x On d´efinit, pour toute formuleϕet pour toute valuationν,les expressions :

• la valuationν v´erifieϕdansS

• S satisfaitϕ[ν](not´eS |=ϕ[ν]) de la fa¸con suivante :

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Interpr´etation des formules

(1) S |=(t1=t2)[ν] ssiν(t1) =ν(t2)

(2) S |=R(t1, . . . , tn)[ν] ssi ν(t1), . . . , ν(tn)

∈ R

(3) S |=¬ϕ[ν] ssi nonS |=ϕ[ν]

(4) S |=(ϕ∧ψ)[ν] ssiS |=ϕ[ν] etψ[ν]

(5) S |=(ϕ∨ψ)[ν] ssiS |=ϕ[ν] ouψ[ν]

(6) S |=(ϕ→ψ)[ν] ssi nonS |=ϕ[ν] ouS |= ψ[ν]

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Interpr´etation des formules (suite)

(7) S |=(∃xϕ)[ν] ssi il existea∈Dtel queS |= ϕ[ν

a x

]

(8) S |=(∀xϕ)[ν] ssi pour touta∈D, S |= ϕ[ν

a x

]

La v´eracit´e de l’expression “la valuationνv´erifieϕ dansS” ne d´epend que des valeurs prises par les variables libres deϕ.

Siϕest un ´enonc´e, on dit queϕest v´erifi´e parS (ou queSsatisfaitϕ), et l’on noteS |=ϕ, si, pour toute valuationν,S |=ϕ[ν].

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Formules logiquement ´equivalentes

Deux formulesϕetψsont diteslogiquement

´equivalentessi, pour toute structureSsurL, de domainenon vide, on aS |=ϕssiS |=ψ.

L’´equivalence logique ne concerne que les structures de domaine non vide. Par exemple, les formules

∀x ϕ(x)∧ ∃y ψ(y) et

∀x∃y(ϕ(x)∧ψ(y))

sont logiquement ´equivalentes mais ne sont pas

´equivalentes sur une structure de domaine vide...

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Equivalence logique

On d´emontre en logique que les formules suivantes sontlogiquement ´equivalentes:

(1)ϕ∧ψ et ¬(¬ϕ∨ ¬ψ)

(2)ϕ→ψ et ¬ϕ∨ψ

(3)∀xϕ et ¬(∃x¬ϕ)

(4)ϕ∨ψ et ψ∨ϕ

(5)ϕ∧ψ et ψ∧ϕ

(6)ϕ∧f aux et f aux (7)ϕ∨f aux et ϕ

(6)ϕ∧vrai et ϕ

(7)ϕ∨vrai et vrai

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Forme normale disjonctive

Une formule estsous forme normale disjonctivesi c’est une disjonction de conjonctions de formules atomiques ou de n´egations de formules atomiques :

∨i∈I ∧j∈Ji(ϕij∨ ¬ψij)

Proposition

Toute formulesans quantificateurest logiquement

´

equivalente `a une formule sans quantificateursous forme normale disjonctive.

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Forme pr´enexe

Une formule estsous forme pr´enexesi elle s’´ecrit ψ=Q1x1Q2x2 . . . Qnxnϕ o`u lesQisont des quantificateurs existentiels ou universels (∃ou∀) etϕest une formule sans quantificateur. La suiteQ1x1Q2x2 . . . Q_nx_n s’appelle lepr´efixe de quantificationdeψ.

Proposition

Toute formule est logiquement ´equivalente `a une formule sousforme pr´enexe.

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Hi´erarchie et forme pr´enexe

Une formule deΣnest une formule sous forme pr´enexe dont le pr´efixe de quantification estune suite altern´ee denblocsde∃et∀(´eventuellement vides) commen¸cant par un bloc de∃.

Une formule deΠn est une formule sous forme pr´enexe dont le pr´efixe de quantification estune suite altern´ee denblocsde∃et∀(´eventuellement vides) commen¸cant par un bloc de∀.

On montre que toute disjonction ou conjonction finie de formules deΣnest logiquement ´equivalente

`a une formule deΣn.

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La hi´erarchie Σ

(1) Σ0= Π0= ensemble des formulessans quantificateur.

(2) BΣnensemble descombinaisons bool´eennes des formules de Σn

(3) Σn+1: formules de la forme

∃x1. . .∃xnϕ(x1, . . . , xn) avecϕ∈Πn

(4) Πn+1: formules de la forme

∀x1. . .∀xnϕ(x1, . . . , xn) avecϕ∈Σn

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Quelques exemples

La formule

∃x1 ∃x2 ∃x3

| {z } bloc 1

∀x4∀x5

| {z } bloc 2

∃x6∃x7

| {z } bloc 3

ϕ

appartient `a Σ3(et aussi `a tous les Σntels que n>3). De mˆeme la formule

bloc 1|{z}

∀x4∀x5

| {z } bloc 2

∃x6∃x7

| {z } bloc 3

ϕ

appartient `a Σ3, et `a Π2, mais pas `a Σ2, car le premier bloc doit toujours ˆetre un bloc de

quantificateurs existentiels. LIAFA, CNRS et Universit´e Paris VII

Logique du second ordre

Les variables utilis´ees dans la logique du premier ordre (variablesdu premier ordre) s’interpr`etent comme des ´el´ements du domaine.

Dans la logique dusecond ordre, on utilise un deuxi`eme type de variables, appel´ees variables du second ordre, qui repr´esentent desrelations. Ces variables sont not´ees traditionnellement par des lettres majuscules :X0,X1, etc..

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Formules du second ordre

L’ensemble des termes deLest le mˆeme qu’au premier ordre. Lesformules atomiquessont les formules soit de la forme

(t1=t2)

o`ut1ett2sont des termes, soit de la forme R(t1, . . . , tn)ouX(t1, . . . , tn)

o`ut1, . . . , t_nsont des termes,Rest un symbole de relationn-aire deLetX est une variable

repr´esentant une relationn-aire.

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R`egles de formation

(1) On part des formules atomiques (2) Siϕetψsont des formules, il en est de

mˆeme de

¬ϕ (ϕ∧ψ) (ϕ∨ψ) (ϕ→ψ) (3) Siϕest une formule, sixest une variable et

siXest une variable de relation, alors les expressions

(∃xϕ) (∀xϕ) (∃Xϕ) (∀Xϕ) sont des formules.

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Second ordre monadique

Dans le second ordremonadique, toutes les variables du second ordre sont des variables de relations unaires: elles s’interpr`etent donc comme dessous-ensemblesdu domaine.

∃X(∀x Xx)

ce que l’on ´ecrit aussi sous la forme

∃X (∀x x∈X)

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Interpr´etation des variables

Unevaluation du second ordreest une applicationν qui associe `a chaque variable un ´el´ement deDet `a chaque variable de relation n-aire une partie deDⁿ (i.e. une relationn-aire surD).

Siν est une valuation etRune partie deDⁿ, on note ν

R X

la valuationν^′d´efinie par

ν^′(x)=ν(x)sixest une variable du premier ordre ν^′(Y)=

(ν(Y) siY 6=X

R siY =X

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Interpr´etation des formules

La notion d’interpr´etation, d´ej`a d´efinie pour le premier ordre, est compl´et´ee par les r`egles suivantes :

(9) S |=(X(t1, . . . , tn))[ν]ssi ν(t1), . . . , ν(tn)

∈ν(X)

(10) S |=(∃Xϕ)[ν]ssi il existeR⊆Dⁿtel que S |=ϕ[ν

R X

]

(11) S |=(∀xϕ)[ν]ssi pour toutR⊆Dⁿ, S |=ϕ[ν

R X

]