Intelligence Artificielle Logique (3/3)

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Intelligence Artificielle Logique (3/3)

Bruno Bouzy

http://web.mi.parisdescartes.fr/~bouzy [email protected]

Licence 3 Informatique

UFR Mathématiques et Informatique

Université Paris Descartes

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R´ eduction de l’inf´ erence du premier ordre ` a l’inf´ erence propositionnelle

Unification Skolemisation

Modus Ponens g´ en´ eralis´ e Chaˆınage avant

Chaˆınage arri` ere

R´ esolution

(3)

Inf´erence en logique du premier ordre

Inf´ erence en logique du premier ordre

R´ eduction de l’inf´ erence du premier ordre ` a l’inf´ erence propositionnelle

Unification Skolemisation

Modus Ponens g´ en´ eralis´ e Chaˆınage avant

Chaˆınage arri` ere

R´ esolution

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Terme ferm´ e : Terme qui ne contient pas de variable Substitution :

Paire Variable/Terme

SoitE un énoncé,σun énoncé. Eσ(ouSubst(E, σ)) représente le résultat de la substitutionσdansE

Exemple :

E=Femme(x,y) σ={x/Hilary, y/Bill}

Eσ=Femme(Hilary,Bill)

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Instanciation universelle

Instanciation universelle (UI) : Chaque instanciation d’un ´ enonc´ e universellement quantifi´ e peut ˆ etre inf´ er´ e :

∀v , α Subst({v/g }, α)

pour toute variable v et pour tout terme ferm´ e g Exemple

∀x Roi(x)∧Cupide(x)⇒Mechant(x) Roi(Jean)∧Cupide(Jean)⇒Mechant(Jean) Roi(Richard)∧Cupide(Richard)⇒Mechant(Richard)

Roi(Pere(Jean))∧Cupide(Pere(Jean))⇒Mechant(Pere(Jean))

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Instanciation existentielle (EI) : Pour tout ´ enonc´ e α, pour toute variable v et pour tout symbole de constante k qui n’apparait pas dans la base de connaissances, on a :

∃v , α Subst({v/k}, α) Exemple

∃x Couronne(x)∧SurTete(x,Jean) Couronne(C1)∧SurTete(C1,Jean)

C1est un nouveau symbole de constante, appel´econstante de Skolem

Cas particulier de la skol´ emisation

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R´ eduction ` a l’inf´ erence propositionnelle

Base de connaissances :

∀x Roi(x)∧Cupide(x)⇒Mechant(x) Roi(Jean)

Cupide(Jean) Frere(Richard,Jean)

Instanciation universelle : toutes les substitutions possibles :

Roi(Jean)∧Cupide(Jean)⇒Mechant(Jean)

Roi(Richard)∧Cupide(Richard)⇒Mechant(Richard) Roi(Jean)

Cupide(Jean) Frere(Richard,Jean)

La nouvelle BC est propositionnalis´ ee

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Toute base de connaissances en logique du 1er ordre peut ˆ etre propositionnalis´ ee de mani` ere ` a pr´ eserver la relation de cons´ equence

→ un énoncé est déduit de la nouvelle base de connaissances ssi il peut être déduit de la base de connaissances originale

Id´ ee : propositionnaliser la BC et la requˆ ete, appliquer la r´ esolution, retourner un r´ esultat

Probl` eme : Avec les symboles de fonction, l’ensemble des substitutions possibles des termes ferm´ e est infini

Pere(Pere(Pere(Jean)))

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R´ eduction ` a l’inf´ erence propositionnelle

Th´ eor` eme de Herbrandt (1930) : Si un ´ enonc´ e est cons´ equence de la BC de premier ordre d’origine, alors il existe une preuve qui ne fait appel qu’` a un sous ensemble fini de la BC propositionnalis´ ee.

Id´ ee :

instancier d’abord avec toutes les constantes (Richard,Jean);

puis les termes de profondeur 1 (Pere(Richard),Pere(Jean)) puis les termes de profondeur 2

...

→ obtenir l’énoncé conséquence

Probl` eme : fonctionne si l’´ enonc´ e est cons´ equence, mais boucle si l’´ enonc´ e n’est pas cons´ equence

Th´ eor` eme de Turing et Church (1936) : En logique du premier ordre, la question de la cons´ equence logique est semi-d´ ecidable

→ Il existe des algorithmes qui disent “oui” à tout énoncé conséquence, mais il n’en existe pas qui disent “non” à tout énoncé non-conséquence.

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La propositionnalisation semble g´ en´ erer beaucoup d’´ enonc´ es inutiles Exemple :

∀x Roi(x)∧Cupide(x)⇒Mechant(x) Roi(Jean)

∀y,Cupide(y) Frere(Richard,Jean)

→ On déduitMechant(Jean), mais également beaucoup d’énoncés comme Cupide(Richard) qui sont non pertinents

Avec p pr´ edicats k-aires et n constantes, il y a p.n

^k

instanciations

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Inf´ erence en logique du premier ordre

R´ eduction de l’inf´ erence du premier ordre ` a l’inf´ erence propositionnelle

Unification Skolemisation

Modus Ponens g´ en´ eralis´ e Chaˆınage avant

Chaˆınage arri` ere

R´ esolution

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On pourrait obtenir l’inf´ erence imm´ ediatement si l’on pouvait trouver une substitution θ telle que Roi (x ) et Cupide(x ) correspondent ` a Roi (Jean) et Cupide(y )

→ θ={x/Jean,y/Jean}

Unify(α, β) = θ si αθ = βθ

p q θ

Connait(Jean, x) Connait(Jean, Jeanne)

Connait(Jean, x) Connait(y , Bill)

Connait(Jean, x) Connait(y , Mere(y ))

Connait(Jean, x) Connait(x , Bill)

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Unification

On pourrait obtenir l’inf´ erence imm´ ediatement si ’lon pouvait trouver une substitution θ telle que Roi (x ) et Cupide(x ) correspondent ` a Roi (Jean) et Cupide(y )

Unify(α, β) = θ si αθ = βθ

p q θ

Connait(Jean, x) Connait(Jean, Jeanne) {x/Jeanne}

Connait(Jean, x) Connait(y , Bill)

Connait(Jean, x) Connait(y , Mere(y ))

Connait(Jean, x) Connait(x , Bill)

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On pourrait obtenir l’inf´ erence imm´ ediatement si ’lon pouvait trouver une substitution θ telle que Roi (x ) et Cupide(x ) correspondent ` a Roi (Jean) et Cupide(y )

Unify(α, β) = θ si αθ = βθ

p q θ

Connait(Jean, x) Connait(Jean, Jeanne) {x/Jeanne}

Connait(Jean, x) Connait(y , Bill) {x/Bill, y /Jean}

Connait(Jean, x) Connait(y , Mere(y ))

Connait(Jean, x) Connait(x , Bill)

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Unification

On pourrait obtenir l’inf´ erence imm´ ediatement si ’lon pouvait trouver une substitution θ telle que Roi (x ) et Cupide(x ) correspondent ` a Roi (Jean) et Cupide(y )

Unify(α, β) = θ si αθ = βθ

p q θ

Connait(Jean, x ) Connait(Jean, Jeanne) {x /Jeanne}

Connait(Jean, x ) Connait(y , Bill ) {x /Bill, y /Jean}

Connait(Jean, x ) Connait(y , Mere(y)) {y /Jean, x /Mere(Jean)}

Connait(Jean, x ) Connait(x , Bill)

(16)

On pourrait obtenir l’inf´ erence imm´ ediatement si ’lon pouvait trouver une substitution θ telle que Roi (x ) et Cupide(x ) correspondent ` a Roi (Jean) et Cupide(y )

Unify(α, β) = θ si αθ = βθ

p q θ

Connait(Jean, x ) Connait(Jean, Jeanne) {x /Jeanne}

Connait(Jean, x ) Connait(y , Bill ) {x /Bill, y /Jean}

Connait(Jean, x ) Connait(y , Mere(y)) {y /Jean, x /Mere(Jean)}

Connait(Jean, x ) Connait(x , Bill) ´ echec

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Unification

On pourrait obtenir l’inf´ erence imm´ ediatement si ’lon pouvait trouver une substitution θ telle que Roi (x ) et Cupide(x ) correspondent ` a Roi (Jean) et Cupide(y )

Unify(α, β) = θ si αθ = βθ

p q θ

Connait(Jean, x ) Connait(Jean, Jeanne) {x /Jeanne}

Connait(Jean, x ) Connait(y , Bill ) {x /Bill, y /Jean}

Connait(Jean, x ) Connait(y , Mere(y)) {y /Jean, x /Mere(Jean)}

Connait(Jean, x ) Connait(x , Bill) ´ echec

Normalisation s´ epar´ ee : renommer les variables de fa¸ con ` a empˆ echer toute interf´ erence de nom

→ Connait(z12,Bill)

(18)

Il peut y avoir plusieurs unificateurs :

Connait(Jean,x) etConnait(y,z)

→ θ={y/Jean, x/z}

→ θ={y/Jean, x/Jean, z/Jean}

Le premier unificateur est plus g´ en´ eral que le second

Il existe un seul unificateur plus g´ en´ eral (MGU, Most General Unifier) qui est unique, au renommage des variables pr` es

→ MGU =θ={y/Jean, x/z}

(19)

Algorithme d’unification

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Skolemisation

R´ eduction de l’inf´ erence du premier ordre ` a l’inf´ erence propositionnelle

Unification Skolemisation

Modus Ponens g´ en´ eralis´ e Chaˆınage avant

Chaˆınage arri` ere

R´ esolution

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Skol´ emisation : Suppression des quantifieurs d’une formule, afin d’appliquer une proc´ edure d’inf´ erence

Quantifieurs existentiels : 2 cas

Variables qui ne dépendent pas d’une variable universellement quantifiée : constante de Skolem, qui n’appartient pas déjà à la base de connaissances Variables qui dépendent de variable(s) universellement quantifiée : fonction de Skolemdont les arguments sont les variables universelles dans la portée du quantifieur universel

Exemple :

∃x∀y,z∃t,P(x)∧(Q(y,z)⇒R(x,t)) On obtient :

∀y,z,P(A)∧(Q(y,z)⇒R(A,f(y,z)))

Quantifieurs universels : simplement supprim´ es

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Inf´ erence en logique du premier ordre

R´ eduction de l’inf´ erence du premier ordre ` a l’inf´ erence propositionnelle

Unification Skolemisation

Modus Ponens g´ en´ eralis´ e Chaˆınage avant

Chaˆınage arri` ere

R´ esolution

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p

⁰₁

, p

⁰₂

, . . . , p

⁰_n

, (p

1

∧ p

2

∧ . . . ∧ p

n

⇒ q) qθ

Par exemple :

p

₁⁰

est Roi (Jean) p

1

est Roi(x) p

2⁰

est Cupide(y ) p

2

est Cupide(x) θ est {x /Jean, y /Jean} q est Mechant(x ) θq est Mechant(Jean)

Le Modus Ponens g´ en´ eralis´ e est utilis´ e sur des bases de connaissances

compos´ ees de clauses d´ efinies (exactement un lit´ eral positif)

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Inf´ erence en logique du premier ordre

R´ eduction de l’inf´ erence du premier ordre ` a l’inf´ erence propositionnelle

Unification Skolemisation

Modus Ponens g´ en´ eralis´ e Chaˆınage avant

Chaˆınage arri` ere

R´ esolution

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Base de connaissance

La loi stipule que c’est un crime pour un am´ ericain de vendre des armes

`

a des nations hostiles. Le pays Nono, un ennemi de l’Am´ erique, a des missiles, et tous ses missiles lui ont ´ et´ e vendus par le colonel West, qui est am´ ericain.

⇒ Prouvons que West est un criminel

(27)

Exemple de base de connaissance

“... c’est un crime pour un am´ericain de vendre des armes `a des nations hostiles” :

“Nono ...a des missiles” :

“tous ses missiles lui ont ´et´e vendus par le colonel West” : Les missiles sont des armes :

Un ennemi de l’Amérique est considéré comme hostile :

“West, qui est am´ericain” :

“Le pays Nono, un ennemi de l’Am´erique” :

(28)

∀x∀y∀z Americain(x)∧Arme(y)∧Vend(x,y,z)∧Hostile(z)⇒Criminel(x)

(29)

Exemple de base de connaissance

∃x Missile(x)∧Possede(Nono,x)

(30)

“tous ses missiles lui ont ´et´e vendus par le colonel West” :

∀x Missile(x)∧Possede(x,Nono)⇒Vend(West,x,Nono) Les missiles sont des armes :

(31)

Exemple de base de connaissance

∀x Missile(x)∧Possede(x,Nono)⇒Vend(West,x,Nono) Les missiles sont des armes :∀x Missile(x)⇒Arme(x) Un ennemi de l’Amérique est considéré comme hostile :

(32)

∀x Ennemi(x,Amerique)⇒Hostile(x)

(33)

Exemple de base de connaissance

“West, qui est am´ericain” :Americain(West)

(34)

(35)

Exemple de base de connaissance

“... c’est un crime pour un am´ericain de vendre des armes `a des nations hostiles” : Americain(x)∧Arme(y)∧Vend(x,y,z)∧Hostile(z)⇒Criminel(x)

“Le pays Nono, un ennemi de l’Am´erique” :Ennemi(Nono,Amerique)

(36)

“Nono ...a des missiles” : Possede(Nono,M1) Missile(M1)

(37)

Exemple de base de connaissance

“tous ses missiles lui ont été vendus par le colonel West” : Missile(x)∧Possede(x,Nono)⇒Vend(West,x,Nono) Les missiles sont des armes :∀x Missile(x)⇒Arme(x) Un ennemi de l’Amérique est considéré comme hostile :

“Le pays Nono, un ennemi de l’Am´erique” :Ennemi(Nono,Amerique)

(38)

“tous ses missiles lui ont été vendus par le colonel West” : Missile(x)∧Possede(x,Nono)⇒Vend(West,x,Nono) Les missiles sont des armes :Missile(x)⇒Arme(x) Un ennemi de l’Amérique est considéré comme hostile :

Ennemi(x,Amerique)⇒Hostile(x)

(39)

Algorithme de chaˆınage avant

(40)

Valide et complet pour les bases de connaissances de clauses d´ efinies Datalog : base de connaissances de clauses d´ efinies sans symboles de fonctions

Le chaˆınage avant termine en un nombre fini d’it´erations

Peut ne pas terminer dans le cadre g´ en´ eral si α n’est pas cons´ equence

→ Inévitable : la conséquence logique pour des clauses définies est semi-décidable

Chaˆınage avant incr´ emental : pas besoin de tester une r` egle ` a l’it´ eration k

si l’un de ses pr´ emisses n’a pas ´ et´ e ajout´ e ` a l’it´ eration k − 1

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Inf´ erence en logique du premier ordre

R´ eduction de l’inf´ erence du premier ordre ` a l’inf´ erence propositionnelle

Unification Skolemisation

Modus Ponens g´ en´ eralis´ e Chaˆınage avant

Chaˆınage arri` ere

R´ esolution

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Subst(Compose(θ

1

, θ

2

), p) = Subst(θ

2

, Subst(θ

1

, p))

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Propri´ et´ es du chaˆınage arri` ere

Chaˆınage arri` ere en profondeur d’abord : la complexit´ e spatiale est lin´ eaire en la taille de la preuve

Incomplet : boucles infinies

→ Comparer le but actuel avec tous les buts empil´es

Inefficace : sous-buts redondants

→ Mettre en cache les résultats précédents (espace supplémentaire)

Utilis´ e pour la programmation logique

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R´ eduction de l’inf´ erence du premier ordre ` a l’inf´ erence propositionnelle

Unification Skolemisation

Modus Ponens g´ en´ eralis´ e Chaˆınage avant

Chaˆınage arri` ere

R´ esolution

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R´ esolution

l

₁

∨ . . . ∨ l

_k

, m

₁

∨ . . . ∨ m

_n

(l

1

∨ . . . ∨ l

i−1

∨ l

i+1

∨ . . . l

k

∨ m

1

∨ . . . ∨ m

j−1

∨ m

j+1

∨ . . . m

n

)θ

avec Unify(l

_i

, ¬m

j

) = θ

Les deux clauses sont suppos´ ees ˆ etre normalis´ ees s´ epar´ ement

→ ne partagent aucune variable

Exemple :

(Animal(x) ∨ Aimer (G (x ), x )), (¬Aimer (u, v ) ∨ ¬Tuer (u, v )) Animal(x) ∨ ¬Tuer (G(x), x)

avec θ = {u/G (x ), v /x}

R´ esolution appliqu´ ee sur CNF(BC ∧ ¬α) : compl` ete pour la logique du

1er ordre

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“Toute personne qui aime tous les animaux est aim´ ee par quelqu’un”

∀x (∀y Animal (y) ⇒ Aimer (x, y)) ⇒ (∃y Aimer(y , x))

1. Elimination des implications :

∀x ¬(∀y ¬Animal(y ) ∨ Aimer (x , y )) ∨ (∃y Aimer(y , x )) 2. D´ eplacement des ¬ vers l’int´ erieur :

¬∀x p≡ ∃x¬p

¬∃x p≡ ∀x¬p

∀x (∃y ¬(¬Animal(y ) ∨ Aimer(x, y ))) ∨ (∃y Aimer(y , x ))

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Conversion en CNF

3. Normalisation des variables : chaque quantifieur doit utiliser une variable diff´ erente

∀x (∃yAnimal(y ) ∧ ¬Aimer(x, y )) ∨ (∃z Aimer (z , x)) 4. Skol´ emisation :

(Animal(f (x )) ∧ ¬Aimer (x , f (x))) ∨ Aimer (g(x), x) 5. Distribution de ∨ sur ∧

(Animal(F (x )) ∨ Aimer(G (x ), x )) ∧ (¬Aimer (x, F (x )) ∨ Aimer (G (x ), x))

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