ENSIIE Logique
PAL Feuille de TD 3
Logique propositionnelle (2/2)
Exercice 1 Logique propositionnelle : mod´elisation
Question 1 :Formaliser en logique propositionnelle le probl`eme suivant :
• Si Frodon ne va pas au Mordor, Sauron prend le pouvoir ;
• Si Sauron prend le pouvoir, Frodon est triste ;
• Si Frodon va au Mordor, il ne poss`ede pas l’anneau ;
• Si Frodon ne poss`ede pas l’anneau, il est triste ;
Question 2 :Montrer que Frodon est triste en utilisant un raisonnement s´emantique puis en utilisant la d´eduction naturelle.
Exercice 2 Logique propositionnelle : d´eduction naturelle
Donner une d´emonstration en d´eduction naturelle de chacun des s´equents suivants : 1. `A⇒(A⇒B)⇒B
2. `((A∨B)⇒C)⇒((A⇒C)∧(B ⇒C)) 3. `((A⇒C)∧(B ⇒C))⇒((A∨B)⇒C) 4. `(A∨B)⇒((A⇒B)⇒B)
5. `((A⇒B)⇒B)⇒(A∨B)(Attention : difficile. preuve assez haute)
Exercice 3
Montrer que la r`egle suivante est d´erivable :
Γ`A
Γ,Σ`A (Af fgen)
o`uΣest un ensemble fini de for- mules.
Exercice 4
Montrer que les r`egles suivantes sont d´erivables : Γ,¬A`A
Γ`A (P ierce)
Γ, A,¬A` ⊥ (¬g)
Γ` ¬B ⇒ ¬A
Γ`A⇒B (contr)
Exercice 5
Donner une preuve formelle du probl`eme du club ´ecossais.
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