La m´ethode des arbres
Cours d’introduction `a la logique et la philosophie du langage au semestre d’hiver 2003-2004
Feuille d’accompagnement pour le cours du 25 novembre 2003
Points ` a retenir du dernier cours
1. A part la m´ethode s´emantique des tables de v´erit´e, il existe une m´ethode syntaxique, qui ne fait abstraction non seulement des significations des propositions, mais aussi de leurs valeurs de v´erit´e.
2. Il est possible de d´efinir la syntaxe de la langueLde la logique propositionnelle d’une mani`ere rigoureuse.
3. Tous les connecteurs de la logique propositionnelle sont d´efinissable par un seul, la barre de Sheffer.
4. La logique moderne a commenc´e avec les travaux de Frege (Id´eographie, 1879) et les travaux de Russell et Whitehead (Principia Mathematica, 1910).
5. Cette r´evolution en logique a rendu possible des progr`es importants en math´ematiques (axio- matisation de l’arithm´etique et de la g´eom´etrie) et leurs a rajout´e deux nouvelles branches, les m´eta-math´ematiques (´etude des calculs formels, Hilbert) et la th´eorie des ensembles (Cantor, Zermelo).
6. Les trois grands courants dans la philosophie des math´ematiques dans la premi`ere moiti´e du 20`eme si`ecle ´etaient le logicisme de Frege (les math´ematiques comme partie de la lo- gique), le formalisme de Hilbert (les math´ematiques comme manipulations des symboles) et l’intuitionnisme de Brouwer et Heyting (constructivisme, rejet du tiers exclu).
7. Un calcul consiste en des axiomes et des r`egles d’inf´erences ; ces deux permettent de d´eduire des th´eor`emes des axiomes.
8. Il est possible de d´efinir d’une mani`ere purement syntaxique ce qu’est une preuve (dans un certain calcul).
9. La logique propositionnelle peut ˆetre axiomatis´ee de diff´erentes mani`eres.
10. Il faut distinguer les preuves dans le calcul (qui se font par les r`egles d’inf´erences et des substitutions dans des axiomes) et les preuves sur le calcul (qui parlent, par exemple, en g´en´eral de l’existence de certaines preuves) qui se font par les m´ethodes math´ematiques
‘ordinaires’.
La s´ emantique de la logique propositionnelle
D´efinition 1. Une interpr´etation propositionnelle atomique I∗ est une fonction qui assigne `a toute proposition atomiquepi, i∈N, une des valeurs de v´erit´ev ouf :I∗:{pi|i∈N} → {v,f}.
D´efinition 2. Donn´e une interpr´etation propositionnelle atomique I∗, nous d´efinissions une in- terpr´etation propositionnelle I:Fml(L)→ {v,f}par les clauses r´ecursives suivantes :
I1 I(p) :=I∗(p) I2 I(¬p) :=
v I(p) =f f I(p) =v I3 I(p∧q) :=
v I(p) =v etI(q) =v f I(p) =f ouI(q) =f I4 I(p∨q) :=
v I(p) =v ouI(q) =v f I(p) =f etI(q) =f
1
I5 I(p→q) :=
v I(p) =f ouI(q) =v f I(p) =v etI(q) =f I16 I(p↔q) :=
v I(p) =I(q) f I(p)6=I(q)
D´efinition 3. Une formule propositionnelle φest unetautologie si et seulement si elle est vraie sous toutes les interpr´etations.φest unecontradictionsi et seulement si elle n’est vraie sous aucune interpr´etation (et donc fausse sous toutes les interpr´etations).
φest une tautologie :⇐⇒ ∀I (I(φ) =v) φest une contradiction :⇐⇒ ∀I (I(φ) =f)
D´efinition 4. Une th´eorieThest consistantesi et seulement s’il y a une interpr´etation qui rend vraies toutes les formules propositionnellesφ∈Th. Autrement, elle estinconsistante(c’est-`a-dire si et seulement si aucune interpr´etation ne rende vraies toutes les formules propositionnellesφ∈Th).
D´efinition 5. Une formule propositionnelle φ est une cons´equence (s´emantique) d’une th´eorie Th (´ecrit : “Th|=φ”) si et seulement si toute interpr´etation qui rend vraies toutes les formules propositionelles dansTh rend vraieφ.
Th|=φ :⇐⇒ ∀I ∀ψ∈Th (I(ψ) =v → I(φ) =v)
φest une cons´equence s´emantique de Thsi et seulement siTh∪ {¬φ} est inconsistant (s’il n’y a pas d’interpr´etation qui ne rend vraies toutes les formules dansThet rend fausseφ).
Les relations entre cons´ equence s´ emantique et d´ eductibilit´ e
Quelle est la relation entre|= (cons´equence s´emantique) et `(d´eductibilit´e) ? correction : HCest correct : tout th´eor`eme est une tautologie.
compl´etude : HCest complet : toute tautologie est un th´eor`eme.
Th´eor`eme 6. SoitThune th´eorie et φune formule propositionnelle : HC∪Th ` φ ⇐⇒ HC∪Th|=φ
‘=⇒’ (correction) : HCne prouve pas trop, ne prouve pas plus que les v´erit´es logiques
‘⇐=’ (compl´etude) : HCprouve assez, il n’y a pas de v´erit´es logiques qui ne sont pas prouvable dansHC
La nature de la logique
La logique peut ˆetre consid´er´ee comme
– l’´etude des v´erit´es logiques (des th´eor`emes et des tautologies) – l’´etude des inf´erences logiques
M´ethodes syntaxiques issus du deuxi`eme paradigme : – la m´ethode des arbres (des ‘tableaux analytiques’) – la m´ethode de la d´eduction naturelle
Leur avantage : il ne faut plus chercher des substitutions dans des axiomes.
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La m´ ethode des arbres
F1 Si une n´egation p¬φqest fausse, alorsφest vraie.
F2 Si une conjonctionpφ∧ψq est vraie, alorsφetψ sont vraies.
F3 Si une conjonctionpφ∧ψq est fausse, alors ou bienφou bienψest fausse.
F4 Si une disjonctionpφ∨ψq est vraie, alorsφouψest vraie.
F5 Si une disjonctionpφ∨ψq est fausse, alorsφetψsont fausse.
F6 Si une implicationpφ→ψqest vraie, alors ou bien φest fausse ou bienψest vraie.
F7 Si une implicationpφ→ψqest fausse, alorsφest vraie etψest fausse.
F8 Si une ´equivalencepφ↔ψq est vraie, alors ou bienφ etψ sont vraies ou bien φet ψsont fausses.
F9 Si une ´equivalence pφ↔ ψq est fausse, alors ou bien φest vraie et ψ fausse ou bien φest fausse et ψvraie.
Les r`egles de construction d’arbres : p¬¬φq
φ
pφ∧ψq
φ ψ
p¬(φ∧ψ)q
p¬φq p¬ψq A
A A
A
pφ∨ψq
φ ψ
A A
A A
p¬(φ∨ψ)q
p¬φq p¬ψq pφ→ψq
p¬φq ψ A
A A
A
p¬(φ→ψ)q
φ p¬ψq pφ↔ψq
φ
ψ p¬φq p¬ψq A
A A
A
p¬(φ↔ψ)q
φ
p¬ψq p¬φq ψ A
A A
A
Une branche se ferme si et seulement si le ‘chemin de v´erit´e’ correspondant contient une proposition simple et sa n´egation. Apr`es avoir appliqu´e une r`egle `a une formule dans une branche, nous la marquons par le signe “X”. Apr`es chaque application d’une r`egle, nous d´eterminons si nous pouvons d´ej`a fermer une branche. Il est avantageux de toujours traiter d’abord les propositions qui n’ouvrent pas d’embranchements.
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Quelques exemples
(p→q)∧(p∨r)∧(s∧ ¬q)
X p→q X p∨r X s∧ ¬q
p s
¬q
r s
¬q A
A AA
B B
B B
¬p q
B B
B B
¬p q
` ` `
X ¬(p∨(q∧ ¬r))
¬p X ¬(q∧ ¬r)
A A
AA
¬q X ¬¬r r
X ¬(¬(p∧q)∨(p∧q))
X ¬¬(p∧q) X ¬(p∧q)
X p∧q
p q A
A AA
¬p ¬q
` `
X p→q X q→p X ¬(p→r)
p
¬r
A A
AA
¬q r
` B
B B
B
¬p q
` `
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