Chapitre 6 Modélisation en logique propositionnelle Cours 2 Contraintes de Comptage

Chapitre 6

Modélisation en logique propositionnelle Cours 2

Contraintes de Comptage

Contraintes comptage

Pour un sous-ensemble Y ⊆X de variables et un entier n une des trois formes :

1. au moins n des variables dans Y sont vraies;

2. au plus n des variables dans Y sont vraies;

3. exactement n des variables dans Y sont vraies.

Exemple : Coloration de la carte d'Australie Précisément 2 des régions sont colorées en rouges.

On a n=2 et

Y ={[WA,r],[NT,r],[SA,r],[QLD,r],[NSW,r],[VIC,r],[TAS,r]}

Contraintes comptage

Pour un sous-ensemble Y ⊆X de variables et un entier n une des trois formes :

1. au moins n des variables dans Y sont vraies;

2. au plus n des variables dans Y sont vraies;

3. exactement n des variables dans Y sont vraies.

Exemple : Coloration de la carte d'Australie Précisément 2 des régions sont colorées en rouges.

On a n=2 et

Y ={[WA,r],[NT,r],[SA,r],[QLD,r],[NSW,r],[VIC,r],[TAS,r]}

Comment coder les contraintes de comptage ?

La contrainte exactement n parmi les variables de Y sont vraies est équivalente à la conjonction de

I au moins n parmi les variables de Y sont vraies;

I au plus n parmi les variables de Y sont vraies.

Supposons que Y ={y₁, . . . ,y_m}.

Au moins n parmi les variables de Y sont vraies

Cas n=1

y₁∨y₂∨. . .∨y_m Cas n=2

engendrer toutes les paires de deux variables diérentes de Y , et exprimer le fait qu'au moins une de ces paires est entièrement colorée en rouge :

(y1∧y2)∨. . .∨(y1∧ym)∨(y2∧y3)∨. . .∨(y2∧ym)∨. . .∨(ym−1∧ym) Plus précisément :

_

i1=1,...,m−1 i2=i1+1,...,m

(yi1 ∧yi2) i.e. _

i1,i2=1,...,m i1<i2

^

j=1,2

yij

Au moins n parmi les variables de Y sont vraies

Cas n=1

y₁∨y₂∨. . .∨y_m Cas n=2

engendrer toutes les paires de deux variables diérentes de Y , et exprimer le fait qu'au moins une de ces paires est entièrement colorée en rouge :

(y1∧y2)∨. . .∨(y1∧ym)∨(y2∧y3)∨. . .∨(y2∧ym)∨. . .∨(ym−1∧ym) Plus précisément :

_

i1=1,...,m−1 i2=i1+1,...,m

(yi1 ∧yi2) i.e. _

i1,i2=1,...,m i1<i2

^

j=1,2

yij

Comment coder les contraintes de comptage ?

Cette construction se généralise à un nombre n quelconque : _

i1,...,in=1,...,m i1<...<in

^

j=1,...,n

y_ij

Comment construire une formule équivalente en forme CNF ? Considérons par exemple le cas n=2:

Au moins 2 variable de Y sont vraies si et seulement si pour n'importe quelle sélection de m−1 variables de Y , au moins une dans cette sélection est vraie.

^

i1,...,im−1=1,...,m i1<...<im−1

_

j=1,...,m−1

y_ij

Comment coder les contraintes de comptage ?

Cette construction se généralise à un nombre n quelconque : _

i1,...,in=1,...,m i1<...<in

^

j=1,...,n

y_ij

Comment construire une formule équivalente en forme CNF ? Considérons par exemple le cas n=2:

Au moins 2 variable de Y sont vraies si et seulement si pour n'importe quelle sélection de m−1 variables de Y , au moins une dans cette sélection est vraie.

^

i1,...,im−1=1,...,m i1<...<im−1

_

j=1,...,m−1

y_ij

Construction directe de la CNF équivalente

Plus généralement, sont équivalents :

I au moins n parmi les variables de Y sont vraies

I pour n'importe quelle sélection de m−n+1 variables de Y , au moins une dans cette sélection est vraie.

La formule :

^

i1,...,im−n+1=1,...,m i1<...<im−n+1

_

j=1,...,m−n+1

yij

Construction directe de la CNF équivalente

Plus généralement, sont équivalents :

I au moins n parmi les variables de Y sont vraies

I pour n'importe quelle sélection de m−n+1 variables de Y , au moins une dans cette sélection est vraie.

La formule :

^

i1,...,im−n+1=1,...,m i1<...<im−n+1

_

j=1,...,m−n+1

yij

Au moins deux régions de l'Australie sont rouges :

Nous avons m=7 et n =2.

[WA,r]∨[NT,r]∨[SA,r]∨[QLD,r]∨[NSW,r]∨[VIC,r]

∧ [WA,r]∨[NT,r]∨[SA,r]∨[QLD,r]∨[NSW,r]∨[TAS,r]

∧ [WA,r]∨[NT,r]∨[SA,r]∨[QLD,r]∨[VIC,r]∨[TAS,r]

∧ [WA,r]∨[NT,r]∨[SA,r]∨[NSW,r]∨[VIC,r]∨[TAS,r]

∧ [WA,r]∨[NT,r]∨[QLD,r]∨[NSW,r]∨[VIC,r]∨[TAS,r]

∧ [WA,r]∨[SA,r]∨[QLD,r]∨[NSW,r]∨[VIC,r]∨[TAS,r]

∧ [NT,r]∨[SA,r]∨[QLD,r]∨[NSW,r]∨[VIC,r]∨[TAS,r]

Au plus n des variables dans Y sont vraies

Équivalent à :

I au moins m−n des variables dans Y sont fausses

I Dans toute sélection de m−(m−n) +1=n+1 variables de Y il y a une qui est fausse

La formule

^

i1,...,in+1=1,...,m i1<...<in+1

_

j=1,...,n+1

¬yij

Au plus n des variables dans Y sont vraies

Équivalent à :

I au moins m−n des variables dans Y sont fausses

I Dans toute sélection de m−(m−n) +1=n+1 variables de Y il y a une qui est fausse

La formule

^

i1,...,in+1=1,...,m i1<...<in+1

_

j=1,...,n+1

¬yij

Au plus n des variables dans Y sont vraies

Équivalent à :

I au moins m−n des variables dans Y sont fausses

I Dans toute sélection de m−(m−n) +1=n+1 variables de Y il y a une qui est fausse

La formule

^

i1,...,in+1=1,...,m i1<...<in+1

_

j=1,...,n+1

¬yij

Au plus deux régions de l'Australie sont rouges :

¬[WA,r]∨ ¬[NT,r]∨ ¬[SA,r]

∧ ¬[WA,r]∨ ¬[NT,r]∨ ¬[QLD,r]

∧ ¬[WA,r]∨ ¬[NT,r]∨ ¬[NSW,r]

... ...

∧ ¬[NSW,r]∨ ¬[VIC,r]∨ ¬[TAS,r]

Remarques nales

I En logique propositionnelle, les variables ne peuvent prendre que deux valeurs diérentes.

I D'où le besoin d'encodages avec plusieurs variables.

I Il y a aussi une technique utilisant des variables qui peuvent prendre plusieurs valeurs diérentes (appelées des variables à domaine ni).

I Résolution de contraintes avec des variables de domaine ni : Voir les cours de programmation logique (et par contrainte) en M1 et M2.

Remarques nales

I En logique propositionnelle, les variables ne peuvent prendre que deux valeurs diérentes.

I D'où le besoin d'encodages avec plusieurs variables.

I Il y a aussi une technique utilisant des variables qui peuvent prendre plusieurs valeurs diérentes (appelées des variables à domaine ni).

I Résolution de contraintes avec des variables de domaine ni : Voir les cours de programmation logique (et par contrainte) en M1 et M2.

Remarques nales

I En logique propositionnelle, les variables ne peuvent prendre que deux valeurs diérentes.

I D'où le besoin d'encodages avec plusieurs variables.

I Il y a aussi une technique utilisant des variables qui peuvent prendre plusieurs valeurs diérentes (appelées des variables à domaine ni).

I Résolution de contraintes avec des variables de domaine ni : Voir les cours de programmation logique (et par contrainte) en M1 et M2.

Remarques nales

I En logique propositionnelle, les variables ne peuvent prendre que deux valeurs diérentes.

I D'où le besoin d'encodages avec plusieurs variables.

I Il y a aussi une technique utilisant des variables qui peuvent prendre plusieurs valeurs diérentes (appelées des variables à domaine ni).

I Résolution de contraintes avec des variables de domaine ni : Voir les cours de programmation logique (et par contrainte) en M1 et M2.