St. Joseph/ICAM Toulouse CB6 - 2018-2019 - Correction
CB n
◦6 - FONCTIONS A PLUSIEURS VARIABLES - Sujet 1
Exercice 1
On considère la fonction f définie sur R2 par :
f(x, y) =
x4
x2+y2 si (x, y)6= (0,0) 0 si (x, y) = (0,0)
.
1. Montrer que la fonction f est de classeC1 surR2.
D’après les théorèmes généraux, la fonction f est de classe C1 sur R2\ {(0,0)}, comme quotient de fonctions de classeC1, le dénominateur ne s’annulant pas.
Dérivées partielles d’ordre 1 def en (0,0):
t→0lim
f(t,0)−f(0,0)
t = lim
t→0
t2−0 t −−→t→0 0
f admet donc une dérivée partielle d’ordre 1 par rapport à sa première variable en(0,0)et∂f
∂x(0,0) = 0.
t→0lim
f(0, t)−f(0,0)
t = lim
t→0
0−0 t = 0
fadmet donc une dérivée partielle d’ordre 1 par rapport à sa deuxième variable en(0,0)et∂f
∂y(0,0) = 0.
Dérivées partielles d’ordre 1 def en (x, y)6= (0,0):
∂f
∂x(x, y) = 2x5+ 4x3y2
(x2+y2)2 et ∂f
∂y(x, y) = −2yx4 (x2+y2)2 Pour tout (x, y)∈R2\ {(0,0)}:
2x5+ 4x3y2 (x2+y2)2
6 2|x|5+ 4|x|3|y|2
(x2+y2)2 6 6k(x, y)k5
k(x, y)k4 66k(x, y)k −−−−−−−−→
(x,y)→(0,0) 0 = ∂f
∂x(0,0) La dérivée partielle d’ordre 1 par rapport à la première variable est donc continue en (0,0).
Pour tout (x, y)∈R2\ {(0,0)}:
−2yx4 (x2+y2)2
6 2|y||x|4
(x2+y2)2 6 2k(x, y)k5
k(x, y)k4 62k(x, y)k −−−−−−−−→
(x,y)→(0,0) 0 = ∂f
∂y(0,0) La dérivée partielle d’ordre 1 par rapport à la deuxième variable est donc continue en (0,0).
Finalement, f est de classeC1 surR2. 2. La fonction f est-elle de classeC2 surR2?
D’après les théorèmes généraux, f est de classeC2 surR2\ {(0,0)}.
On a
∂2f
∂x∂y(0,0) = lim
t→0
∂f
∂y(t,0)−∂f∂y(0,0)
t = lim
t→0
0−0 t = 0 Et, pour tout(x, y)∈R2\ {(0,0)} :
∂2f
∂x∂y(x, y) = −8x3y3 (x2+y2)3
Pour tout t6= 0, on a : ∂2f
∂x∂y(t, t) =−1 donc lim
t→0
∂2f
∂x∂y(t, t)6= ∂2f
∂x∂y(0,0).
La fonction f n’est donc pas de classeC2 surR2 car ∂2f
∂x∂y n’est pas continue en (0,0).
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Exercice 2
Etudier les extrema locaux des fonctions suivantes, définies sur R2 : 1. (x, y)7→y2−x2+x3+x2y+1
3y3
La fonction f est de classeC2 surR2, car elle est polynomiale.
Ses dérivées partielles d’ordre 1 surR2 sont définies par :
∂f
∂x(x, y) =−2x+ 3x2+ 2xy et ∂f
∂y(x, y) = 2y+x2+y2. On en déduit que les points critiques sont définis par :
x(−2 + 3x+ 2y) = 0 2y+x2+y2= 0 ⇔
x= 0 y= 0 ou
x= 0 y=−2 ou
( x= 2
3(1−y) 13y2+ 10y+ 4 = 0
.
On en conclut qu’il y a deux points critiques :
O(0,0) etA(0,−2).
On a : r= ∂2f
∂x2(x, y) =−2 + 6x+ 2y, s= ∂2f
∂x∂y(x, y) = 2x, t= ∂2f
∂y2(x, y) = 2 + 2y.
On en déduit :
Hf(0) =M =
−2 0 0 2
⇒det(M)<0,
donc (0,0)est un point col.
Hf(A) =N =
−6 0 0 −2
⇒det(N)>0,
de plus, tr(N)<0; on en déduit quef admet un maximum local enA.
2. (x, y)7→x4+y3−3y−2
La fonction f est de classeC2 surR2, car elle est polynomiale.
Ses dérivées partielles d’ordre 1 surR2 sont définies par :
∂f
∂x(x, y) = 4x3 et ∂f
∂y(x, y) = 3y2−3.
On en déduit que les points critiques sont définis par : x3 = 0
y2−1 = 0 . On en conclut qu’il y a deux points critiques :
A(0,1), etB(0,−1).
Remarque : Le déterminant de la matrice hessienne est nul pour chaque point critique.
Etude en (0,1): Pour tout(h, k)∈R2, on a :f(h,1 +k)−f(0,1) =h4+k3+ 3k2 =h4+k2(k+ 3).
Ainsi, pour(h, k) au voisinage de(0,0)(il suffit d’avoirk+ 3≥0), f(h,1 +k)−f(0,1)≥0.
On en déduit que f admet un minimum local en(0,1).
Etude en (0,−1): Pour tout (h, k)∈R2, on a :f(h,−1 +k)−f(0,−1) =h4+k3−3k2. Pour tout h6= 0, on a :f(h,−1)−f(0,−1) =h4>0,
et pour0< k <3, f(0,−1 +k)−f(0,−1) =k2(k−3)<0.
On en déduit que (0,−1)est un point col.
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St. Joseph/ICAM Toulouse CB6 - 2018-2019 - Correction
CB n
◦6 - FONCTIONS A PLUSIEURS VARIABLES - sujet 2
Exercice 1
On considère la fonction f définie sur R2 par :
f(x, y) =
y4
x2+y2 si (x, y)6= (0,0) 0 si (x, y) = (0,0)
.
1. Montrer que la fonction f est de classeC1 surR2. 2. La fonction f est-elle de classeC2 surR2?
Exercice 2
Etudier les extrema locaux des fonctions suivantes, définies sur R2 : 1. (x, y)7→x2−y2+y3+y2x+1
3x3 2. (x, y)7→y4+x3−3x−2
Pour obtenir le corrigé de ce sujet, il suffit d’intervertir x ety dans tous les exercices du sujet 1 !
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