St. Joseph/ICAM Toulouse CB7 - 2016-2017 - Correction
CB n
◦7 - FONCTIONS A PLUSIEURS VARIABLES - Sujet 1
Exercice 1
On considère la fonction f définie sur R2 par :
f(x, y) =
x3siny
x2+y2 si (x, y)6= (0,0) 0 si (x, y) = (0,0)
.
1. Montrer que la fonctionf est continue surR2.
La fonctionf est clairement continue surR2\ {(0,0)}.
Elle l’est également en(0,0)car :
x3siny x2+y2
6 |x|3|y|
x2+y2 6 k(x, y)k42
k(x, y)k22 6k(x, y)k22 −−−−−−−−→
(x,y)→(0,0) 0 =f(0,0)
2. Déterminer, en tout point deR2 où elles existent, les dérivées partielles d’ordre un def.
Dérivées partielles d’ordre un de f en (0,0):
t→0lim
f(t,0)−f(0,0)
t = lim
t→0
0−0
t = 0 = ∂f
∂x(0,0)
t→0lim
f(0, t)−f(0,0)
t = lim
t→0
0−0
t = 0 = ∂f
∂y(0,0) Dérivées partielles d’ordre un de f en (x, y)6= (0,0):
∂f
∂x(x, y) = siny
x4+ 3x2y2 (x2+y2)2
et ∂f
∂y(x, y) =x3
(x2+y2) cosy−2ysiny (x2+y2)2
.
3. La fonctionf est-elle de classeC2 sur R2?
La fonction f n’est pas de classeC2 sur R2 car elle ne l’est pas en (0,0), d’après le théorème de Schwarz, car on trouve :
∂2f
∂y∂x(0,0) = lim
t→0
∂f
∂x(0, t)−∂f∂x(0,0)
t = lim
t→0
0−0 t = 0
∂2f
∂x∂y(0,0) = lim
t→0
∂f
∂y(t,0)−∂f∂y(0,0)
t = lim
t→0 t5 t4 −0
t = 1
Spé PT B Page 1 sur 4
St. Joseph/ICAM Toulouse CB7 - 2016-2017 - Correction
Exercice 2
Etudier les extrema locaux de la fonction f définie sur R2 par : f(x, y) =x4+y4−2(x−y)2
1. La fonctionf admet des dérivées partielles d’ordre 1 sur R2, définies par :
∂f
∂x(x, y) = 4x3−4(x−y) et ∂f
∂y(x, y) = 4y3+ 4(x−y).
On en déduit que les points critiques sont définis par : x3−(x−y) = 0
y3+ (x−y) = 0 ⇔
x3+y3 = 0
y3+ (x−y) = 0 ⇔
x=−y
y(y2−2) = 0 . On en conclut qu’il y a trois points critiques :
O(0,0), A
√ 2,−√
2
etB
−√ 2,
√ 2
.
2. la fonction f est de classeC2 et on a : r= ∂2f
∂x2(x, y) = 12x2−4, s= ∂2f
∂x∂y(x, y) = 4 et t= ∂2f
∂y2(x, y) = 12y2−4,
• Etude des points AetB :
Hf(A) =Hf(B) =M =
20 4 4 20
⇒det(M)>0,
de plus, tr(Hf(A))>0; on en déduit quef admet un minimum local enA et enB qui vaut m=f(A) =f(B) =−8.
• Etude du pointO(0,0):
f(x, y)−f(0,0) =x4+y4−2(x−y)2 ⇒
( f(x, x) = 2x4 >0
f(x,−x) = 2x4−8x2 ∼
x→0−8x2 60 , donc (0,0)est un point col.
Spé PT B Page 2 sur 4
St. Joseph/ICAM Toulouse CB7 - 2016-2017 - Correction
CB n
◦7 - FONCTIONS A PLUSIEURS VARIABLES - sujet 2
Exercice 1
On considère la fonction f définie sur R2 par :
f(x, y) =
y3sinx
x2+y2 si (x, y)6= (0,0) 0 si (x, y) = (0,0)
.
1. Montrer que la fonctionf est continue surR2.
La fonctionf est clairement continue surR2\ {(0,0)}.
Elle l’est également en(0,0)car :
y3sinx x2+y2
6 |y|3|x|
x2+y2 6 k(x, y)k42
k(x, y)k22 6k(x, y)k22 −−−−−−−−→
(x,y)→(0,0) 0 =f(0,0)
2. Déterminer, en tout point deR2 où elles existent, les dérivées partielles d’ordre un def.
Dérivées partielles d’ordre un de f en (0,0):
t→0lim
f(t,0)−f(0,0)
t = lim
t→0
0−0
t = 0 = ∂f
∂x(0,0)
t→0lim
f(0, t)−f(0,0)
t = lim
t→0
0−0
t = 0 = ∂f
∂y(0,0) Dérivées partielles d’ordre un de f en (x, y)6= (0,0):
∂f
∂x(x, y) =y3
(x2+y2) cosx−2xsinx (x2+y2)2
et ∂f
∂y(x, y) = sinx
y4+ 3x2y2 (x2+y2)2
.
3. La fonctionf est-elle de classeC2 sur R2?
La fonction f n’est pas de classeC2 sur R2 car elle ne l’est pas en (0,0), d’après le théorème de Schwarz, car on trouve :
∂2f
∂y∂x(0,0) = lim
t→0
∂f
∂x(0, t)−∂f∂x(0,0)
t = lim
t→0 t5 t4 −0
t = 1
∂2f
∂x∂y(0,0) = lim
t→0
∂f
∂y(t,0)−∂f∂y(0,0)
t = lim
t→0
0−0 t = 0
Spé PT B Page 3 sur 4
St. Joseph/ICAM Toulouse CB7 - 2016-2017 - Correction
Exercice 2
Etudier les extrema locaux de la fonction f définie sur R2 par : f(x, y) =x3+y3−6(x2−y2)2
1. La fonctionf admet des dérivées partielles d’ordre 1 sur R2, définies par :
∂f
∂x(x, y) = 3x2−24x(x2−y2) et ∂f
∂y(x, y) = 3y2+ 24y(x2−y2).
On en déduit que les points critiques sont définis par : 3x(x−8(x2−y2)) = 0
3y(y+ 8(x2−y2)) = 0 ⇔
x= 0 ou x−8(x2−y2) = 0 y= 0 ou y+ 8(x2−y2) = 0
⇔
x= 0 y= 0 ou
x= 0
y(1−8y) = 0 ou
x(1−8x) = 0
y= 0 ou
x−8(x2−y2) = 0 y+ 8(x2−y2) = 0 On en conclut qu’il y a trois points critiques :O(0,0),A
0,1
8
etB 1
8,0
qui sont les points critiques def.
2. La fonctionf est de classeC2, et on a :
∂2f
∂x2(x, y) = 6x−72x2+ 24y2, ∂2f
∂x∂y(x, y) = 48xy, ∂2
∂y2(x, y) = 6y+ 24x2−72y2.
• Etude des points AetB :
det(Hf(A)) =det(Hf(B)) = −9 64 <0, et on en déduit que AetB sont des points cols.
• Etude du pointO :
On a f(x, x)−f(0,0) = 2x3 qui n’est pas de signe constant.(0,0)est donc un point col.
f n’admet pas d’extremum local.
Spé PT B Page 4 sur 4
