St. Joseph/ICAM Toulouse CB8 - 2017-2018 - Correction
CB n
◦8 - FONCTIONS A PLUSIEURS VARIABLES - Sujet 1
Exercice 1
On considère la fonction f définie sur R2 par :
f(x, y) =
x2sin(xy)
x2+y2 si (x, y)6= (0,0) 0 si (x, y) = (0,0)
.
1. Montrer que la fonction f est continue surR2.
D’après les théorèmes généraux, la fonction f est de classe C1 sur R2\ {(0,0)}, comme quotient de fonctions de classeC1, le dénominateur ne s’annulant pas.
Elle l’est également en(0,0)car pour tout (x, y)∈R2\ {(0,0)}:
x2sin(xy) x2+y2
6 |x|3|y|
x2+y2 6 k(x, y)k4
k(x, y)k2 6k(x, y)k2 −−−−−−−−→
(x,y)→(0,0) 0 =f(0,0)
2. Déterminer, en tout point deR2 où elles existent, les dérivées partielles d’ordre un def.
Dérivées partielles d’ordre un de f en (0,0): limt→0
f(t,0)−f(0,0)
t = lim
t→0
0−0
t = 0 = ∂f
∂x(0,0) limt→0
f(0, t)−f(0,0)
t = lim
t→0
0−0
t = 0 = ∂f
∂y(0,0) Dérivées partielles d’ordre un de f en (x, y)6= (0,0):
∂f
∂x(x, y) = x2ycos(xy)
x2+y2 +2xy2sin(xy)
(x2+y2)2 et ∂f
∂y(x, y) = x3cos(xy)
x2+y2 −2x2ysin(xy) (x2+y2)2 .
3. La fonction f est-elle de classeC2 surR2?
∂2f
∂y∂x(0,0) = lim
t→0
∂f
∂x(0, t)− ∂f∂x(0,0)
t = lim
t→0
0−0 t = 0
∂2f
∂x∂y(0,0) = lim
t→0
∂f
∂y(t,0)− ∂f∂y(0,0)
t = lim
t→0 t3 t2 −0
t = 1
La fonction f n’est donc pas de classeC2 sur R2 car elle ne l’est pas en(0,0), d’après le théorème de Schwarz.
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Exercice 2
Etudier les extrema locaux de la fonction f définie sur R2 par : f(x, y) =x4+y4−2x2+ 2y2
La fonction f est de classeC2 surR2, car elle est polynomiale.
Ses dérivées partielles d’ordre 1 surR2 sont définies par :
∂f
∂x(x, y) = 4x3−4x et ∂f
∂y(x, y) = 4y3+ 4y.
On en déduit que les points critiques sont définis par :
x3−x= 0
y3+y= 0 ⇔
x(x2−1) = 0 y(y2+ 1) = 0 . On en conclut qu’il y a trois points critiques :
O(0,0), A(1,0) etB(−1,0).
On a :
r= ∂2f
∂x2(x, y) = 12x2−4, s= ∂2f
∂x∂y(x, y) = 0 et t= ∂2f
∂y2(x, y) = 12y2+ 4, On en déduit :
Hf(A) =Hf(B) =M =
8 0
0 4
⇒det(M)>0,
de plus, tr(M)>0; on en déduit que f admet un minimum local enA et enB qui vaut m=f(A) =f(B) =−1.
Hf(0) =N =
−4 0
0 4
⇒det(N)<0, donc (0,0)est un point col.
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CB n
◦8 - FONCTIONS A PLUSIEURS VARIABLES - sujet 2
Exercice 1
On considère la fonction f définie sur R2 par :
f(x, y) =
y2sin(xy)
x2+y2 si (x, y)6= (0,0) 0 si (x, y) = (0,0)
.
1. Montrer que la fonction f est continue surR2.
D’après les théorèmes généraux, la fonction f est de classe C1 sur R2\ {(0,0)}, comme quotient de fonctions de classeC1, le dénominateur ne s’annulant pas.
Elle l’est également en(0,0)car pour tout (x, y)∈R2\ {(0,0)}:
y2sin(xy) x2+y2
6 |y|3|x|
x2+y2 6 k(x, y)k4
k(x, y)k2 6k(x, y)k2 −−−−−−−−→
(x,y)→(0,0) 0 =f(0,0)
2. Déterminer, en tout point deR2 où elles existent, les dérivées partielles d’ordre un def.
Dérivées partielles d’ordre un de f en (0,0): limt→0
f(t,0)−f(0,0)
t = lim
t→0
0−0
t = 0 = ∂f
∂x(0,0) limt→0
f(0, t)−f(0,0)
t = lim
t→0
0−0
t = 0 = ∂f
∂y(0,0) Dérivées partielles d’ordre un de f en (x, y)6= (0,0):
∂f
∂x(x, y) = y3cos(xy)
x2+y2 −2xy2sin(xy)
(x2+y2)2 et ∂f
∂y(x, y) = xy2cos(xy)
x2+y2 +2x2ysin(xy) (x2+y2)2 .
3. La fonction f est-elle de classeC2 surR2?
∂2f
∂y∂x(0,0) = lim
t→0
∂f
∂x(0, t)− ∂f∂x(0,0)
t = lim
t→0 t3 t2 −0
t = 1
∂2f
∂x∂y(0,0) = lim
t→0
∂f
∂y(t,0)− ∂f∂y(0,0)
t = lim
t→0
0−0 t = 0
La fonction f n’est donc pas de classeC2 sur R2 car elle ne l’est pas en(0,0), d’après le théorème de Schwarz.
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Exercice 2
Etudier les extrema locaux de la fonction f définie sur R2 par : f(x, y) =x4+y4+ 2x2−2y2
La fonction f est de classeC2 surR2, car elle est polynomiale.
Ses dérivées partielles d’ordre 1 surR2 sont définies par :
∂f
∂x(x, y) = 4x3+ 4x et ∂f
∂y(x, y) = 4y3−4y.
On en déduit que les points critiques sont définis par :
x3+x= 0
y3−y= 0 ⇔
x(x2+ 1) = 0 y(y2−1) = 0 . On en conclut qu’il y a trois points critiques :
O(0,0), A(0,1) etB(0,−1).
On a :
r= ∂2f
∂x2(x, y) = 12x2+ 4, s= ∂2f
∂x∂y(x, y) = 0 et t= ∂2f
∂y2(x, y) = 12y2−4, On en déduit :
Hf(A) =Hf(B) =M =
4 0
0 8
⇒det(M)>0,
de plus, tr(M)>0; on en déduit que f admet un minimum local enA et enB qui vaut m=f(A) =f(B) =−1.
Hf(0) =N =
4 0
0 −4
⇒det(N)<0, donc (0,0)est un point col.
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