St. Joseph/ICAM Toulouse CB8 - 2019-2020 - Correction
CB n
◦8 - FONCTIONS A PLUSIEURS VARIABLES - Sujet 1
Exercice 1
On considère la fonction f définie sur R2+ par :
f(x, y) =
x3y2
x3+y2 si (x, y)6= (0,0) 0 si (x, y) = (0,0)
.
1. Montrer que la fonction f est de classeC1 surR2+.
D’après les théorèmes généraux, f est de classeC1 surR2+\ {(0,0)}, et pour(x, y)6= (0,0)on a :
∂f
∂x(x, y) = 3x2y4
(x3+y2)2 et ∂f
∂y(x, y) = 2yx6 (x3+y2)2 En (0,0), on a : f(t,0)−f(0,0)
t = 0−→
t→0 0 et f(0, t)−f(0,0)
t = 0−→
t→0 0
On en déduit que f admet des dérivées partielles par rapport à ses deux variables en (0,0) qui sont nulles.
On a de plus, pour (x, y)∈R2+\ {(0,0)} :
∂f
∂x(x, y)−∂f
∂x(0,0)
= 3
x3243 y4
x322
+y2
2 ≤3
x32, y
4
3 −→
(x,y)→(0,0)0
∂f
∂y(x, y)−∂f
∂x(0,0)
= 2
x32
4|y|
x32
2
+y2
2 ≤2
x32, y
−→
(x,y)→(0,0)0 On en déduit que f est de classeC1 surR2+.
2. La fonction f est-elle de classeC2 surR2+? On a :
∂f
∂y(0, t)−∂f∂y(0,0)
t = 0−→
t→0 0 . On en déduit que ∂2f
∂y2(0,0)existe et vaut 0.
D’autre part, pour (x, y)∈R2+\ {(0,0)},∂2f
∂y2(x, y) = 2x9−6x6y2 (x3+y2)3 ; Ainsi, pourt6= 0,∂2f
∂y2(t,0) = 2−→
t→0 26= ∂2f
∂y2(0,0) On en déduit que f n’est pas de classeC2 sur R2+. Exercice 2
Etudier les extrema locaux de la fonctionf définie surR2 parf(x, y) =x3+1
3y3+ 3x2y+y2x−x−y, et préciser si les éventuels extrema sont globaux.
f est de classe C2 surR2 comme fonction polynomiale en ses variables.
Ses points critiques sont : A1= (0,1), A2= (0,−1), A3 = 1
√3,0
, A4 = −1
√3,0
. On a, pour tout (x, y)∈R2:Hf(x, y) =
6x+ 6y 6x+ 2y 6x+ 2y 2x+ 2y
.
det(Hf(A1))>0 et tr(Hf(A1))>0donc f admet un minimum local enA1; det(Hf(A2))>0 et tr(Hf(A2))<0donc f admet un maximum local en A2; det(Hf(A3))<0 doncA3 est un point col ;
det(Hf(A4))<0 doncA4 est un point col ;
x→±∞lim f(x,0) =±∞ donc les extrema ne sont pas globaux.
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Exercice 3
Résoudre surU ⊂R2 (que l’on n’explicitera pas) l’équation aux dérivées partielles :
x∂f
∂x−y∂f
∂y =x2−y2, à l’aide du changement de variable (u=xy, v =x−y).
On pose f(x, y) =g(u, v); on a : ∂f
∂x =y∂g
∂u+∂g
∂v et ∂f
∂y =x∂g
∂u −∂g
∂v. Ainsi, après changement de variable l’équation devient :
∂g
∂v =v On en déduit les solutions surU :(x, y)7→ (x−y)2
2 +K(xy), oùK est une fonction de classeC1 sur son domaine.
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CB n
◦8 - FONCTIONS A PLUSIEURS VARIABLES - sujet 2
Exercice 1
On considère la fonction f définie sur R2+ par :
f(x, y) =
x2y3
x2+y3 si (x, y)6= (0,0) 0 si (x, y) = (0,0)
.
1. Montrer que la fonction f est de classeC1 surR2+. 2. La fonction f est-elle de classeC2 surR2+?
On obtient les réponses en échangeant x ety dans l’exercice 1 du sujet 1.
Exercice 2
Etudier les extrema locaux de la fonctionf définie surR2parf(x, y) =x3−y3+ 3xy2−2x2y−3x+ 3y, et préciser si les éventuels extrema sont globaux.
f est de classe C2 surR2 comme fonction polynomiale en ses variables.
Ses points critiques sont : A1= (0,1), A2= (0,−1), A3 = 2 r 3
23,− r 3
23
!
, A4 = −2 r 3
23, r 3
23
! . On a, pour tout (x, y)∈R2:Hf(x, y) =
6x−4y −4x+ 6y
−4x+ 6y 6x−6y
. det(Hf(A1))<0 doncA1 est un point col ;
det(Hf(A2))<0 doncA2 est un point col ;
det(Hf(A3))>0 et tr(Hf(A3))>0donc f admet un minimum local enA3; det(Hf(A4))>0 et tr(Hf(A4))<0donc f admet un maximum local en A4;
x→±∞lim f(x,0) =±∞ donc les extrema ne sont pas globaux.
Exercice 3
Résoudre surU ⊂R2 (que l’on n’explicitera pas) l’équation aux dérivées partielles :
x∂f
∂x −y∂f
∂y =x2,
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à l’aide du changement de variable (u=xy, v =x).
On pose f(x, y) =g(u, v); on a : ∂f
∂x =y∂g
∂u+∂g
∂v et ∂f
∂y =x∂g
∂u. Ainsi, après changement de variable l’équation devient :
∂g
∂v =v On en déduit les solutions sur U : (x, y) 7→ x2
2 +K(xy), où K est une fonction de classe C1 sur son domaine.
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