St. Joseph/ICAM Toulouse
CB n
◦8 - FONCTIONS A PLUSIEURS VARIABLES - Sujet 1
Exercice 1
On considère la fonction f définie sur R2+ par :
f(x, y) =
x3y2
x3+y2 si (x, y)6= (0,0) 0 si (x, y) = (0,0)
.
1. Montrer que la fonction f est de classeC1 surR2+. 2. La fonction f est-elle de classeC2 surR2+?
Exercice 2
Etudier les extrema locaux de la fonctionf définie surR2 parf(x, y) =x3+1
3y3+ 3x2y+y2x−x−y, et préciser si les éventuels extrema sont globaux.
Exercice 3
Résoudre surU ⊂R2 (que l’on n’explicitera pas) l’équation aux dérivées partielles :
x∂f
∂x−y∂f
∂y =x2−y2, à l’aide du changement de variable (u=xy, v =x−y).
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CB n
◦8 - FONCTIONS A PLUSIEURS VARIABLES - sujet 2
Exercice 1
On considère la fonction f définie sur R2+ par :
f(x, y) =
x2y3
x2+y3 si (x, y)6= (0,0) 0 si (x, y) = (0,0)
.
1. Montrer que la fonction f est de classeC1 surR2+. 2. La fonction f est-elle de classeC2 surR2+?
Exercice 2
Etudier les extrema locaux de la fonctionf définie surR2parf(x, y) =x3−y3+ 3xy2−2x2y−3x+ 3y, et préciser si les éventuels extrema sont globaux.
Exercice 3
Résoudre surU ⊂R2 (que l’on n’explicitera pas) l’équation aux dérivées partielles :
x∂f
∂x −y∂f
∂y =x2, à l’aide du changement de variable (u=xy, v =x).
Spé PT B CB8 - 2019-2020
