O UTILS MATHÉMATIQUES : F ONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES 1 Systèmes de coordonnées
1.1 Coordonnées cartésiennes
O
#»x
#»y
#»z
•P z
x
y dx dy
dz
1.2 Coordonnées cylindriques
O
#»x
#»y
#»z
•P z
ρ
#»er
#»ez
#»eθ
θ
#»er
#»ez
#»eθ ρ.dθ
dρ dz
1.3 Coordonnées sphériques
O
#»x
#»y
#»z
ρ P•
ρ.sinθ φ
θ #»er
#»eφ
#»eθ
Coordonnées Cartésiennes Cylindriques Sphériques
Vecteur position # »
OP= x.#»x +y.#»y +z.#»z # »
OP=ρ.#»er+z.#»z # »
OP=ρ.#»er
Surface élémentaire
dSx = dy.dz dSy = dx.dz dSz = dx.dy
dSρ = ρ.dθ.dz dSθ = dρ.dz dSz = ρ.dρ.dθ
dSρ = ρ2.dθ.sinθ.dϕ dSθ = ρ.dρ.sinθ.dϕ dSφ = ρ.dρ.dθ Volume élémentaire dV=dx.dy.dz dV =ρ.dρ.dθ.dz dV=ρ2.dρ.dθ.sinθ.dϕ
Projection x = ρ.cosθ
y = ρ.sinθ
x = ρ.sinθ.cosϕ y = ρ.sinθ.sinϕ z = ρ.cosθ
2 Fonctions de plusieurs variables
2.1 Définition de la fonction
Soit #»
f une fonction deRndansRm: Rn → Rm
#»f :
x1
... xn
7→
f1(x1, . . . ,xn) ... fm(x1, . . . ,xn)
2.2 Matrice jacobienne On appelle matrice jacobienne ∇h#»
fi
, la matrice de dérivées partielles, définie par :
∇h#»
fi
=
∂f1
∂x1 . . . ∂f1
∂xn ... . .. ...
∂fm
∂x1 . . . ∂fm
∂xn
On note alors J son détermi- nant que l’on appelle jaco- bien de #»
f :
J=
∂f1
∂x1 . . . ∂f1
∂xn ... . .. ...
∂fm
∂x1 . . . ∂fm
∂xn
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2.3 Applications aux systèmes de coordonnées
2.3.1 Coordonnées cylindriques
R3 → R3
#»X :
ρ θ z
7→
x(ρ, θ,z) y(ρ, θ,z) z(ρ, θ,z)
#»X (ρ, θ,z) =
x(ρ, θ,z) = ρ.cos(θ) y(ρ, θ,z) = ρ.sin(θ) z(ρ, θ,z) = z
∇hX (ρ, θ,#» z)i
=
∂x
∂ρ ∂x
∂θ ∂x
∂z
∂y
∂ρ
∂y
∂θ
∂y
∂z
∂z
∂ρ ∂z
∂θ ∂z
∂z
=
cos(θ) −ρ.sin(θ) 0 sin(θ) ρ.cos(θ) 0
0 0 1
d’où J=ρ. Ainsi dx.dy.dz= ρ
|{z}
J
.dρ.dθ.dz
2.3.2 Coordonnées sphériques
R3 → R3
#»X :
ρ ϕ θ
7→
x(ρ, ϕ, θ) y(ρ, ϕ, θ) z(ρ, ϕ, θ)
#»X (ρ, ϕ, θ) =
x(ρ, ϕ, θ) = ρ.sin(θ).cos(ϕ) y(ρ, ϕ, θ) = ρ.sin(θ).sin(ϕ) z(ρ, ϕ, θ) = ρ.cos(θ)
∇hX (ρ, ϕ, θ)#» i
=
∂x
∂ρ ∂x
∂ϕ ∂x
∂θ
∂y
∂ρ
∂y
∂ϕ
∂y
∂θ
∂z
∂ρ ∂z
∂ϕ ∂z
∂θ
=
sin(θ).cos(ϕ) −ρ.sin(θ).sin(ϕ) ρ.cos(θ).cos(ϕ) sin(θ).sin(ϕ) ρ.sin(θ).cos(ϕ) ρ.cos(θ).sin(ϕ)
cos(θ) 0 −ρ.sin(θ)
d’où J=ρ2.sin(θ). Ainsi dx.dy.dz=ρ2.sin(θ)
| {z }
J
.dρ.dϕ.dθ
3 Intégration
Dans le cas de l’intégration avec plusieurs variables, il est possible de procéder par étape en choisissant une variable et les autres comme paramètres :
I =
$
f (x,y,z).dx.dy.dz= Z
z
"Z
y
Z
x
f (x,y,z).dx
! .dy
# .dz=
Z
z
"Z
y
g(y,z).dy
# .dz=
Z
z
h(z).dz
ATTENTION!L’ordre d’intégration peut faire varier les bornes d’intégration.
EXEMPLE:Calculer l’aire du triangle suivant en intégrant d’abord sur x puis sur y.
#»y
#»x (0,h)
(0,0) (L,0)
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