Licence MIPI Juin 2021 Durée 2 heures
Examen fonctions de plusieurs variables, session 2
L’utilisation ou la consultation de téléphone est formellement interdite, les calculatrices et les téléphones doivent être rangés et éteints. Les documents sont interdits.
Barème indicatif : 4+5+7+4
Exercice 1 : Question de cours
Soitϕ:R2 →Rde classeC1, etM = (1,0).
1. Rappeler la définition des deux dérivées partielles deϕenM.
2. Rappeler la définition de :ϕpossède un maximum global enM. 3. Rappeler la définition de :M est un point critique deϕ.
4. Démontrer que siϕpossède un maximum global enM alorsM est un point critique deϕ.
Exercice 2 : FonctionC1
Soitϕdéfinie par∀x1, x2 ∈R, ϕ(x1, x2) = q
x41+x42
1. Calculer les dérivées partielles deϕen tout point deR2\ {(0,0)}.
2. Calculer les dérivées partielles deϕen(0,0).
3. Montrer que pour tout(x1, x2)∈R2, p
x41+x42 ≥x21, en déduire queϕest de classeC1. 4. La fonctionϕest-elle continue en(0,0)?
Exercice 3 : Extrema
Soitϕ:R2 →Rune fonction de classeC2, vérifiant
ϕ(0; 1) = 1; ∂ϕ
∂x1(0; 1) = 0; ∂ϕ
∂x2(0; 1) = 0; ∂2ϕ
∂x21(0; 1) = 1; ∂2ϕ
∂x22(0; 1) = 3et ∂2ϕ
∂x1∂x2(0; 1) = 2
1. Écrire un DL2deϕen (0 ;1).
2. Écrire la Hessienne deϕen (0 ;1), déterminer sa signature.
3. ϕpossède-t-elle un extremum local en (0 ;1) ?
4. On pose pour tout réelt,f(t) =ϕ(t, et), calculerf0(t), puisf00(t), en fonction des dérivées partielles deϕ.
5. Calculerf0(0)etf00(0), montrer quef possède un extremum local en 0.
Exercice 4 : Dérivée partielle
Soitf :R→R, une fonction de classeC1, admettant pour primitive la fonctionF, etϕla fonction définie surR2par
ϕ(x, y) = Z y2
x
f(t)−f(x)dt
1. Montrer queϕ(4,2) = 0.
2. Calculer les dérivées partielles deϕ, en fonction def etf0. 3. Montrer queϕest une fonction de classeC1.
4. Montrer que(1; 0)est un point critique deϕsi et seulement sif0(1) = 0.
