L3SPI
26 octobre 2018 Durée 2 heures
Examen de Mathématiques : contrôle 3
L’utilisation ou la consultation de téléphone est formellement interdite, les calculatrices et les téléphones doivent être rangés et éteints. Les documents sont interdits. Seule une feuille A5 manuscrite au choix de l’étudiant est autorisée.
Barème indicatif : 6+4+7+3
Exercice 1 :
Soit le polynômeP(x) =x4−17x2+ 34x−30 1. Montrer quez0 = 1 +iest racine deP.
2. Montrer quez0est racine deP.
3. DévelopperQ(x) = (x−z0)(x−z0), effectuer la division euclidienne deP(x)parQ(x).
4. FactoriserP(x)dansRet dansC.
Exercice 2 :
Décomposer la fraction rationnelleF suivante en éléments simples.
F = 8
x3(x−2)
Exercice 3 :
Soitf(x) = ln(x2−2x+ 2)
1. Montrer quef est bien définie surR. 2. Étudier les variations def.
3. Étudier les limites en+∞et en−∞. 4. Étudier les branches infinies def.
5. Étudier le convexité def. 6. Donner l’allure du graphe def.
Exercice 4 : Soitf(x) =ex√
1 + 2x, déterminer un DL3defen 0.
