L2 licence de mathématiques 12 mai 2021
Durée 3 heures
Examen de compléments d’analyse
L’utilisation ou la consultation de téléphone est formellement interdite, les calculatrices et les téléphones doivent être rangés et éteints. Les documents sont interdits. La rédaction doit mettre en valeur une grande rigueur mathématiques.
Barème indicatif sur 30 : 7+3+6+4+10
Exercice 1 : Question de cours
1. Rappeler la définition d’un ouvert deR, d’un fermé deR.
2. Démontrer à l’aide de ces définitions que[0; 1[n’est ni un ouvert, ni un fermé deR.
3. On va redémontrer le résultat de cours suivant :F est un fermé deRsi et seulement si toute suite d’éléments deF qui converge dansRa sa limite dansF.
(a) SoitF un fermé deRet(un)une suite d’éléments deF qui converge versl∈R, montrer quel /∈R\F. (b) Supposons queF ne soit pas un fermé deR, que peut on dire deR\F, montrer qu’il existe une suite d’élément
deFqui converge vers un élément deR\F.
(c) Conclure.
Exercice 2 :
On considère la partieA = n
−1
n;n∈N∗ o
∪]5; 6[∪]6; +∞[
Déterminer sans justificationA,A,˚ ˚A,A0, etA00.
Exercice 3 :
Résoudre le système différentiel :
x0(t) = 5x(t) + 3y(t) +t y0(t) =−4x(t)−2y(t) Exercice 4 :
Montrer que la somme de la série
∞
X
n=1
(−1)n
√n+x2 est continue surR.
Exercice 5 :
1. Soit(fn)et(gn)deux suites de fonctions définies surRpar : fn(x) = n+ 1
n+nx2 etgn(x) = cos(x+ 1 n) (a) Étudier la convergence simple des suites de fonctions(fn)et(gn)surR.
(b) Montrer la convergence uniforme des suites de fonctions(fn) et(gn) surR, on pourra si nécessaire utiliser la formule :cosa−cosb=−2 sina+b2 sina−b2
2. Soit(un)et(vn)deux suites de fonctions définies surRqui convergent uniformément surRvers les fonctionsuet v.
(a) Montrer que siuest bornée alors :
∃M ∈R,∃N ∈N,∀n∈N,∀x∈R, n≥N ⇒ |un(x)| ≤M
(b) Montrer que siuetvsont bornées alors la suite de fonctions(unvn)converge uniformément vers la fonctionuv surR.
(c) Donner un exemple où(un)et(vn) convergent uniformément versu etv surRmais(unvn) ne converge pas uniformément surR.
3. Montrer que la suite de fonctions(hn)définie parhn(x) = (n+ 1) cos(x+n1)
n+nx2 converge uniformément surR.
