L3SPI
9 Novembre 2012 Durée 2 heures
Examen de Mathématiques : contrôle 1
L’utilisation ou la consultation de téléphone est formellement interdite, les calculatrices et les téléphones doivent être rangés et éteints. Les documents sont interdits. Seule une feuille A5 manuscrite au choix de l’étudiant est autorisée.
Barème indicatif : 5+4+4+7
Exercice 1 : Nombres complexes SoitZ = 1+i√
2
1. Calculer sous forme algébrique (partie réelle et partie imaginaire) les racines carréesz1etz2deZdansC.
2. MettreZ sous forme exponentielle complexe puis déterminerz1 etz2 ses racines carrées sous forme exponen- tielle complexe.
3. En déduire quecos(π8) = 12p 2 +√
2et donner une expression similaire poursin(π8)
Exercice 2 : Polynôme
SoitP le polynôme défini parP(x) =x4−5x3+ 6x2−5x+ 1 1. Montrer quezest une racine deP si et seulement si :
z2−5z+ 6−5 z + 1
z2 = 0 2. En posantw=z+ 1
z, montrer quezest une racine dePsi et seulement siw2−5w+ 4 = 0.
3. Résoudrew2−5w+ 4 = 0.
4. FactoriserP dansR.
Exercice 3 : Fraction Rationnelle
Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle
F(X) = X4+ 2 X3+X
Exercice 4 : Étude de fonction
Soit f la fonction définie parf(x) = √
x2+ 2x+ 5. On noteC sa courbe représentative, dans un repère ortho- normé.
1. Vérifier quef est définie surR.
2. Étudier les variation def. 3. Étudier la convexité def.
4. Déterminer un DL2 de la fonction définie parg(x) =√
1 + 2x+ 5x2 au voisinage de 0.
5. En déduire queCpossède deux asymptotes que l’on déterminera, on précisera aussi la position deCpar rapport à ces asymptotes.
6. Représenter rapidementC.
