Fonctions de plusieurs variables
1. (33) On posef(x, y) = xy
px2+y2 etf(0,0) = 0. (a) Démontrer quef est continue surR2.
(b)Démontrer quef admet des dérivées partielles en tout point de R2. (c)f est-elle de classeC1 surR2? Justier.
2. (52) (a)Prouver que∀(x, y)∈R2, x2+y2−xy>1
2(x2+y2). (b) Soientα∈Retf : R2 −→ R
(x, y) 7−→
y4
x2+y2−xy si (x, y)6= (0,0) α si (x, y) = (0,0).
i. Quel est le domaine de dénition def? Déterminer αpour quef soit continue surR2. ii. Justier l'existence et calculer ∂f
∂x et ∂f
∂y surR2\ (0,0) . iii. Justier l'existence et donner la valeur de ∂f
∂x(0,0)et ∂f
∂y(0,0). iv. f est-elle de classeC1surR2?
3. (57) (a) Soitf une fonction deR2dansR.
i.Donner, en utilisant des quanticateurs, la dénition de la continuité def en(0,0). ii. Donner la dénition de "f diérentiable en(0,0)".
(b) On considère l'application dénie surR2 parf(x, y) =
xyx2−y2
x2+y2 si(x, y)6= (0,0) 0 si(x, y) = (0,0) i. Montrer quef est continue surR2.
ii. Montrer quef est de classeC1 surR2.
4. (58) (a) SoitE etF deuxR-espaces vectoriels normés de dimension nie.
Soita∈E et soitf :E−→F une application. Donner la dénition de "f diérentiable ena".
(b) Soitn∈N∗. SoitE unR-espace vectoriel de dimension nienet soite= (e1, e2, . . . , en)une base deE. On pose : ∀x∈E, kxk∞= max
16i6n|xi|, oùx=
n
X
i=1
xiei et ∀(x, y)∈E×E, k(x, y)k= max(kxk∞,kyk∞). On admet quek.k∞ est une norme surE et quek.kest une norme sur E×E.
SoitB:E×E−→Rune forme bilinéaire surE.
i. Prouver que∃C∈R+/∀(x, y)∈E×E, |B(x, y)|6Ckxk∞kyk∞.
ii. Montrer queB est diérentiable surE×E et déterminer sa diérentielle en tout(u0, v0)∈E×E.
5. Soitϕ:R→Rune fonction de classe C1. Déterminer les dérivées partielles d'ordre 1 des fonctions suivantes dénies surR2 par :
(a) f(x, y) =ϕ(x+y) (b) f(x, y) =ϕ(x2+ 3xy)
(c) f(x, y) =ϕ(cos(x) + sin(y))
6. Étudier si les fonctions suivantes sont continues, diérentiables, de classeC1 (a) f : (x, y)→
( xsiny
x si x6= 0 0six= 0 (b) f : (x, y)→
xαyβ sixet ysont dans]0,+∞[
0 sinon avecαetβ réels.
(c) f : (x, y)→
ϕ(x)−ϕ(y)
x−y six6=y ϕ0(x) six=y
oùϕ:R→Rest de classeC2 surR.
On pourra montrer quef(x, y) =R1
0 ϕ0(x+t(y−x))dt (d) f : (x, y)→Max(x, y)
7. Soitα∈Ret fα:R2−→Rl'application dénie parfα(x, y) =
xy
(x2+y2)α si (x, y)6= (0,0) 0 si (x, y) = (0,0). A quelle conditionfαest-elle de classe C1 surR2 ?
8. SoitE =Mn(R)montrer que les applications suivantes sont diérentiables sur E et donner leur diérentielle en tout point :
(a) f :X →Xp oùp∈N∗. (b) f :E→R, X→det(X)
9. Étudier la diérentiablilité sur GLn(R)de l'aplicationf :X→X−1. 10. Soit Eun espace vectoriel euclidien.
(a) Montrer queϕ:E−→Rx7→ kxk2 est de classeC1 surE et, en tout pointxdeE et pour tout hdeE, exprimerdxϕ(h)en fonction dexet deh.
(b) Montrer queN :E−→Rx7→ kxk est de classeC1 surE\{0}et, en tout point xde E et pour touthde E, exprimerdxN(h)en fonction dexet deh.
11. Soit f :Rn→Rune application diérentiable en 0 telle que∀x∈Rn(x6= 0), ∀t∈R∗+, f(tx) =tf(x). Montrer quef est linéaire.
12. Montrer que les applications suivantes sont bijectives de R2 sur R2, qu'elles sont diérentiables et que leurs diérentielles sont inversibles.
(a)f(x, y) = (ex−ey, x+y) (b)f(x, y) = (x3+ 3xey, y−x2) 13. Soit aun paramètre réel.
Quels sont les extrema locaux de la fonctionf dénie sur R2 parf(x, y) =x2+y2+ 2axy? 14. Soit f :R2−→R(x, y)7→f(x, y) = (x2−y)(3x2−y).
Montrer que la restriction de f à toute droite passant par O admet un minimum enO, mais quef ne possède pas d'extremum enO.
15. Soit f : R∗+ −→Rune application de classe C2 sur R. Soit U = (R2∪ {(0,0)})×R∗. Pour (x, y, z)∈U, on poseF(x, y, z) =f(x2+y2
z2 ). Exprimer le laplacien∆F deF à l'aide des dérivées partielles def et déterminer les applicationsf de classeC2 surR∗+ telles que∆F = 0.
16. (a) Déterminer les fonctionsf de classeC1 de]0,+∞[×RdansRtelles que
∀(x, y)∈]0,+∞[×R, x∂f
∂y(x, y)−y∂f
∂x(x, y) =kf(x, y)(on pourra passer en polaires).
(b) On noteU ={(x, y)∈R2/x >2y}. Déterminer les fonctionsf de classeC1 surU telles que
∀(x, y)∈U, x∂f
∂x −y∂f
∂y =x2−4y2 (on pourra poseru=x+ 2y etv=xy)
17. (a) Montrer que l'application(u, v)→(uev, e−v)est bijective deR2 surR×]0,+∞[. (b) Déterminer les fonctionsf :R×]0,+∞[→Rde classeC1telles que x∂f
∂x −y∂f
∂y = 0.
(c) Soientaet bdeux réels. Déterminer une fonction linéaire deR2dansRsolution de l'équation x∂f
∂x −y∂f
∂y =ax+by (E).
(d) Déterminer toutes les fonctionsf ∈ C1(R×]0,+∞[,R)solutions de(E) 18. Déterminer les extremums éventuels des fonctions dénies sur R2par :
(a) f(x, y) =x2(1 +y) +y3 (b) f(x, y) =xey+yex
(c) f(x, y) =x3+ 3xy2+ 2y3+ 3x2
19. Soit S ={x∈Rn/ ||x||= 1}. Soitf :Rn →Rune fonction diérentiable telle que la restriction def à S est constante. Montrer qu'il existex0∈Rn tel quedfx0= 0.
20. Déterminer les fonctions deC1(]0,+∞[×R,R)telles quex2∂2f
∂x2+ 2xy ∂2f
∂x∂y+y2∂2f
∂y2 = 0à l'aide du changement de variablesx=u, y=uv
