Fonctions numériques de plusieurs variables.

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ÉCS2

Fonctions numériques de plusieurs variables.

1 Un peu de topologie de R R R

ⁿⁿⁿ

Définition

Soitϕune fonction continue surRⁿ etaun réel. Alors

• les ensembles {x∈Rⁿ/ϕ(x)< a} et{x∈Rⁿ/ϕ(x)> a}

sont desparties ouvertesdeRⁿ;

• les ensembles {x∈Rⁿ/ϕ(x)6a} et{x∈Rⁿ/ϕ(x)>a}

sont desparties ferméesdeRⁿ;

• l’ensemble {x∈Rⁿ/ϕ(x) =a}

est appelé frontièredes ensembles précédents.

Remarque

On emploie souvent le substantifun ouvert à la place de « une partie ouverte » et le substantifun ferméà la place de « une partie fermée ».

Exemples et propriétés

¬ L’ensembleBo(A, r)^déf.= {M∈Rⁿ/AM< r}, appeléboule ouvertede centreA∈Rⁿ et de rayon r∈] 0 ; +∞[, est un ouvert de Rⁿ.

De même, l’ensemble Bf(A, r) ^déf.= {M ∈ Rⁿ/AM 6 r}, appelé boule fermée de centre A∈Rⁿ et de rayon r∈] 0 ; +∞[, est un fermé deRⁿ.

Toute réunion ou intersection d’un nombre fini d’ouverts (respectivement de fermés) est un ouvert (respectivement un fermé).

® Le complémentaire d’un ouvert est un fermé, et celui d’un fermé est un ouvert.

¯ Si (I1, . . . ,In)sontnintervalles ouverts deR, alorsI1× · · · ×Inest un ouvert deRⁿ. Et si(I1, . . . ,In)sontnintervalles fermés deR, alorsI1× · · · ×Inest un fermé deRⁿ.

° Rⁿ et ∅sont les seules parties à la fois ouvertes et fermées de Rⁿ.

± Oest une partie ouverte si, et seulement si, ∀X∈O, ∃r >0, Bo(X, r)⊂O.

² Une partieVdeRⁿ est unvoisinage du point AdeRⁿs’il existe une boule ouverte de centre A contenue dansV: ∃r >0, ∀M∈Rⁿ, AM< r⇒MM∈V.

Autrement dit,A n’est pas sur la frontière deV. Représentation dans le cas n=2

Pour représenter une partie deR²définie par{(x, y)∈R²/ϕ(x, y)6a}(ouϕ(x, y)< a, ouϕ(x, y)>a, ou enfinϕ(x, y)> a),

¶ Je représente sa frontière d’équation ϕ(x, y) = a : elle partage le plan en plusieurs zones (au moins deux) ;

· Pour chaque zone, je choisis un point Mhors de la frontière et je calculeϕ(M) : + Si ϕ(M) < a, alors M et toute la zone à laquelle il appartient font partie de {(x, y)∈R²/ϕ(x, y)< a};

+ Si ϕ(M) > a, alors M et toute la zone à laquelle il appartient font partie de {(x, y)∈R²/ϕ(x, y)> a};

L’idée essentielle de cette méthode est que pour passer d’un pointMtel queϕ(M)< aà un pointNtel queϕ(N)> a, il faut nécessairement passer par un pointPtel queϕ(P) =a, i.e. il faut traverser la frontière (en vertu du théorème des valeurs intermédiaires, puisque ϕest continue).

Définition

Une partieUdeRⁿ est ditebornées’il existe un réelm >0tel que

∀X∈U, ||X||6m.

On notera que le majorantmestindépendant de X.

Exemples

Bo(A, r)et Bf(A, r)sont des parties bornées deRⁿ.

En effet, ∀M∈Bo(A, r),||M||= OM6OA + AM6OA +r.

2 Fonctions numériques définies sur une partie de R

ⁿ

2.1 Graphes et ensembles de niveau

Soitf :O⊂Rⁿ −→R, (x1, . . . , xn)7−→f(x1, . . . , xn). Legraphede f est l’ensemble deRⁿ⁺¹ :Γ_f ={(x1, . . . , x_n, f(x₁, . . . , x_n))∈O×R}.

Pourk∈R, l’ensemble de niveauk(ouligne de niveauk sin= 2) est l’ensemble des points vérifiantf(x₁, . . . , x_n) =k.

/Il s’agit donc de l’ensemble des solutions de l’équationf(x₁, . . . , x_n) =k.

2.2 Pour justifier une limite, j’utilise...

¬ ∀X = (x₁, . . . , x_n)∈Rⁿ, sup

i∈[[1 ;n]]

x_i

6||X||6√ n sup

i∈[[1 ;n]]

x_i ;

lethéorème de domination:

SI f, g:O→RavecA∈Ovérifient :∀X∈O, f(X)

6g(X)et lim

X→Ag(X) = 0, ALORS lim

X→Af(X) = 0;

® lethéorème d’encadrement:

SI f, g, h : O → R avec A ∈ O vérifient : ∀X ∈ O, f(X) 6 g(X) 6 h(X) et

X→Alim f(X) = lim

X→Ah(X) =`, ALORS lim

X→Ag(X) =`;

¯ les propriétés decontinuité.

3 Continuité

¬ f est continue enAsi lim

X→Af(X) =f(A).

la norme, les projectionsp_i: (x₁, . . . , x_n)7→x_i, les polynômes et les fractions ration- nelles (là où elles sont définies) sont continues ;

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® La somme, le produit par un réel, le produit et le quotient (à dénominateur ne s’an- nulant pas) de fonctions continues sont continues ;

¯ Sif :O→Retg: I→Rsont continues avecf(O)⊂I, alorsg◦f est continue surO. /La continuité des applications partielles n’entraîne pas celle de l’application.

4 Calcul différentiel : premier ordre et classe C C C

¹¹¹

Une fonction denvariablesf :O⊂Rⁿ→Rest susceptible d’être dérivable par rapport à chacune de sesnvariables. Lorsque c’est le cas, il convient de distinguer chacune de ces ndérivées partielles premièresoudu premier ordrenotées∂i(f).

Pour calculer∂i(f) (anciennement notée ∂f

∂x_i),

1. en A = (a₁, . . . , a_n), on dérive par rapport à x la i^ème application partielle f_A,i : R → R, x 7→ (a₁, . . . , a_i−1, x, a_i+1, . . . , a_n), c’est-à-dire l’application obtenue en considérant toutes les variables sauf lai^ème comme constantes ;

2. plus généralement, on peut dériver l’application obtenue en considérant toutes les variables sauf lai^ème comme constantes.

Quelques définitions :

¬ Legradientdef enAest 5f(A) =5fA= (∂1f(A), . . . , ∂nf(A));

f est de classe C¹ surOsi toutes ses dérivées partielles sont continues surO. Propriétés :

¬ La somme, le produit par un réel, le produit et le quotient (à dénominateur ne s’an- nulant pas) de fonctions de classeC¹ sont de classeC¹;

f :O→Ret g: I→Rde classeC¹ avecf(O)⊂I entraîneg◦f de classeC¹ surO.

5 Condition nécessaire d’extremum

¬ SoitOun ouvert deRⁿetf :O→R.f admet unmaximum local(resp.minimum local) enA∈Os’il exister >0 tel que

∀X∈Otel que||X−A||< r, f(X)6f(A)(resp.f(X)>f(A)).

/La condition « ||X−A||< r » signifie que Xn’est pas loin de A : la distance de Aà Xest inférieure àr. On emploie souvent l’expression « au voisinage deA» pour d’écrire cette situation.

Il revient au même de dire : il existeα1>0,α2>0, . . .,αn>0tels que

∀H = (h₁, h₂, . . . , h_n)∈Rⁿ,

|h₁|< α₁,|h₂|< α₂, . . . ,|h_n|< α_n

⇒f(A + H)6f(A)(resp.f(A + H)>f(A)).

® Condition nécessaire.Pour quef de classeC¹ admette un extremum local en A, il est nécessaire que5f(A) = 0.

¯ Un point tel que5f(A) = 0s’appelle unpoint critique.

6 Calcul différentiel : second ordre et classe C C C

²²²

Définition

Soit O un ouvert de Rⁿ, (i, j) ∈ [[1 ;n]]² et f : O → R une fonction admettant une dérivée partielle d’ordre1 par rapport à lai^ème variable∂_i(f).

SoitAun point deO.

On dit quef admet une dérivée partielle secondeoud’ordre 2 enA par rapport à la i^ème variable puis par rapport à la j^ème variable en A si ∂i(f) admet une dérivée partielle par rapport à laj^ème variable. On la note alors∂_j,i² (f)(A). Ainsi

∂_j,i² (f) =∂_j(∂_i(f)).

/Notations de l’ancien programme, ∂²f

∂xi∂xj

pour∂_i,j² (f)et ∂²f

∂xi2 pour∂_i,i² (f) Fonctions de classeCCC²²²

f est de classe CCC²²² sur l’ouvert OOO si f admet des dérivées partielles d’ordre 2 par rapport à tout couple de variables(xi, xj)continues.

Il revient au même de dire quef estC¹ et que toutes ses dérivées partielles premières sont elles aussiC¹.

Propriétés

¬ La somme, le produit par un réel, le produit et le quotient (à dénominateur ne s’an- nulant pas) de fonctions de classeC²sont de classeC²;

f :O→Retg: I→Rde classeC²avecf(O)⊂Ientrapineg◦f de classeC² surO. Propriété : le théorème de Schwarz

Sif est de classeC² sur l’ouvertOdeRⁿ, alors

∀X∈O, ∀(i, j)∈[[1 ;n]]², ∂_j,i² (f)(X) =∂_i,j² (f)(X).

Définition : la matrice hessienne

Si f admet des dérivées partielles d’ordre 2 suivant tous les couples de variables enX, alors la matrice hessienne def enXest

5²(f)(X) = ∂_i,j² (f)(X)

16i,j6n ∈ Mn(R).

Corollaire du théorème de Schwarz

Sif est de classeC²sur l’ouvertO, alors en tout pointxdeO,5²(f)(x)est une matrice symétrique.

Forme quadratique associée à la hessienne

Si f est de classeC² sur l’ouvertOdeRⁿ, on note, en tout pointA deO,q_Ala forme quadratique associé à la matrice hessienne def enA, définie par

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Fonctions numériques de plusieurs variables.

∀X∈Rⁿ, qA(X) ^déf.= ^tX5²(f)(A)X

=

n

X

i=1

∂_i,i² (f)(A)x²_i + 2 X

16i<j6n

∂_i,j² (f)(A)x_ix_j

7 Développements limités et dérivées directionnelles

Propriété : développements limités d’ordre 1 & 2

¬ Si f est C¹ au voisinage deA, alorsf admet undéveloppement limité à l’ordre 1enAdonné par :

f(A + H) =f(A) +h5f(A),Hi+||H||ε(H)où lim

H→0ε(H) = 0.

Si f une fonction de classe C² au voisinage A, alors f admet un développement limité à l’ordre 2enA donnée par :

f(A + H) =f(A) +h5f(A),Hi+1

2qA(H) +||H||²ε(h) avec lim

H→0ε(H) = 0et qA forme quadratique associée à5²f(A).

/On notera que, si A est un point critique def C²au voisinage deA, f(A + H)−f(A) =1

2qA(H) +||H||²ε(h) ... donc le signe de f(A + H)−f(A)esten généralcelui deqA(H).

Dérivées directionnelles

Uneparamétrisation de la droitepassant parA∈Rⁿet de vecteur directeur−→u ∈Rⁿ est :DA,−→u ={A +t−→u , t∈R}.

SoitOun ouvert deRⁿ,f :O→R,Aun point deRⁿ et−→u un vecteur deRⁿ.

Soit Iun intervalle ouvert de Rcontenant0 et tel que, pour tout t deI,A +t−→u ∈O. On pose :

∀t∈I, g(t)^déf.= f(A +t−→u)

Ainsi,g est une restriction def au voisinage deAdans la direction de−→u. Alors

¬ sif est continue surO, alorsg est continue surI;

sif est de classeC¹ surO, alorsg est de classeC¹ surI, avec

∀t∈I, g⁰(t) =h5(f)(A +t−→u),−→ui= ^t 5(f)(A +t−→u) U.

En particulier, g⁰(0) =h5(f)(A),−→ui= ^t 5(f)(A) U

s’appelle ladérivée directionnelle premièredef enAdans la direction de−→u;

® sif est de classeC² surO, alorsg est de classeC² surI, avec

∀t∈I, g⁰⁰(t) =q_A+t−→u(−→u) = ^tU 5²(f)(A +t−→u) U.

En particulier, g⁰⁰(0) =q_A(−→u) = ^tU 5²(f)(A) U

s’appelle ladérivée directionnelle secondedef enAdans la direction de−→u. /En un point critique, toutes les dérivées directionnelles sont nulles.

8 Condition suffisante d’extremum

Théorème (fondamental !)

Soit O un ouvert de Rⁿ. Soit f : O → R une fonction de classe CCC²²² et A un point critiquedef.

¬ Si toutes les valeurs propres de5²f(A)sontstrictement positives, alorsf admet unminimum local enA;

Si toutes les valeurs propres de5²f(A)sontstrictement négatives, alorsf admet unmaximum localenA;

® Si5²f(A)possède (au moins) une valeur proprestrictement positive et(au moins) une valeur proprestrictement négative, alorsf n’admet pas d’extremum local en Aet présente unpoint selle(oucol).

/Pour chacun des cas précédents, on peut identifier la nature de forme quadratique qAassociée à la matrice hessienne :

qqq_AA_Aest ¬définie positive ; définie négative ; ® de signe variable.

9 Bilan quant à la recherche d’extrema

Il faudra toujours avoir à l’esprit que, comme pour les fonctions d’une seule variable, la recherche des points critiques et la condition suffisante (§8) ne fournissent que des extrema locaux, non nécessairement globaux.

9.1 Recherche sur un ouvert

SoitOun ouvert deRⁿ etf :O→Rde classeC².

¶ On cherche lespoints critiquesdef, i.e. les points où le gradient def s’annule.

/Sif n’a aucun point critique, elle n’a a fortiori aucun extremum local, ni global.

· En chaque point critiqueA, on étudie sile signe des valeurs propresde la hessienne oule signe de la forme quadratiqueqApermettent de conclure quant à la nature du point critique.

/Si la condition suffisante ne s’applique pas (les v.p. sont de même signe et0est v.p.), en appelantAle point critique, on calculef(A)et on étudie le signe def(X)−f(A) pourXau voisinage deAouf(A + H)−f(A)pourH au voisinage de0.

¸ Pour savoir si les extrema trouvés sont globaux⁽¹⁾, on peut étudier le signe de f(X)−f(A) (où A désigne le point présentant un extremum local) notamment à l’aide d’identités remarquables. Il arrive aussi qu’on puisse se ramener à l’étude une fonction d’une variable⁽²⁾.

(1). Si l’énoncé demande les extrema globaux uniquement !

(2). Par exemple, si∀(x, y), f(x, y) =g(x+y), l’étude degsur{x+y/(x, y)∈Df}permet de conclure.

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9.2 Recherche sur un fermé borné

Comme pour une fonction d’une variable, nous avons le Théorème

SoitFun fermé borné deRⁿ etf :F→Rcontinue. Alorsf est bornée surFet atteint ses bornes, i.e. ∃A,B∈F, ∀X∈F, F(A)6F(X)6F(B).

¶ On commence par déterminer les extrema locaux sur l’ouvert « intérieur deF

», souvent noté˚FFF, comme en 9.1¶&·.

· On paramètre chaque morceau de la frontière B de F à l’aide de fonctions p_i : [a_i; b_i] → B d’une variable et on étudie les extrema des fonctions d’une variable t: [a_i;b_i]→R, t7→f(p_i(t)).

¸ On compare les extrema locaux obtenus à l’intérieur et sur la frontière à l’issue des points¶&·.

10 Extrema sous contrainte

10.1 Généralités

Soitϕune fonction de classeC¹ sur un ouvertOdeRⁿ. Soitc∈Ret C^déf.= {X∈O/ϕ(X) =c}.

Soitf :O→R.

¬ L’ensemble C est appelé contrainte. L’équation « ϕ(X) = c » est aussi appelée contrainte.

Cest unecontrainte non critiquesi ∀X∈C,5ϕ(X)6= 0.

® f admet unmaximum local sous la contrainte CCC(resp. minimum local sous ...) enA∈Cs’il exister >0 tel que

∀X∈Ctel que||X−A||< r,f(X)6f(A)(resp.f(X)>f(A)).

¯ f admet unmaximum global sous la contrainteCCC(resp.minimum global sous ...) enA∈Csi ∀X∈C,f(X)6f(A)(resp.f(X)>f(A)).

Condition nécessaire d’ordre 1

Si f de classeC¹ et A∈Cet sif admet enAun extremum sous la contrainteC, alors ϕ(A) =c et ∃λ∈R/5f(A) =λ5ϕ(A).

Un point vérifiant les conditions précédentes s’appelle un point critique pour l’optimisation sous contrainte.

Application aux formes quadratiques

Soitqune forme quadratique associée à une matrice symétriqueM(∀X, q(X) =^tXMX).

Le maximum (resp. minimum) global deq sur la sphère unitéS^déf.= {X∈Rⁿ/||X||= 1}

est égale à la plus grande valeur propre deM(resp. la plus petite) et atteint en un vecteur propre (unitaire) associé à cette valeur propre.

10.2 Cas des contraintes linéaires

SoitCl’ensemble des solutions d’un système linéaire(S)











g1(x) =b1

... ... ... gp(x) =bp

,

Hl’ensemble des solutions du système homogène associé











g1(x) = 0 ... ... ... gp(x) = 0 où chaqueg_iest une forme linéaire surRⁿ :

g_i:Rⁿ→R,(x₁, . . . , x_n)7→a_i,1x₁+· · ·+a_i,nx_n.

En notantM = (ai,j)∈ Mn(R),X = (xj)∈ Mn,1(R)etB = (bi)∈ Mp,1(R), C={X∈Rⁿ/MX = B} etH={X∈Rⁿ/MX = 0}.

Rappels essentiels d’algèbre (bi)linéaire

¬ Hest un espace vectoriel, sous-espace de Rⁿ et, siA∈C,

X∈C⇔X−A∈H, ou encore H∈H⇔A + H∈C.

H^⊥=Vect











 a1,1

... a_1,n





 , , . . . ,





 ap,1

... a_p,n













=Vect(5g1, . . . ,5gp).

/On notera que les applications5gi sont constantes.

Condition nécessaire d’ordre 1

Sif estC¹sur l’ouvertOetf admet un extremum local enAsous la contrainteCalors A∈C et 5(f)(A)∈H^⊥=Vect(5g1, . . . ,5gp).

/Au passage,

• pour tout−→

h deH, la dérivée de f enA dans la direction−→

h est nulle ;

• H=Vect(5g1, . . . ,5gp)^⊥.

• On parle depoint critique pour l’optimisation sous contrainte linéaire.

Condition suffisante d’ordre 2 À savoir expliquer ! ! ! !

Si f est C² sur l’ouvert O et si A est un point critique pour l’optimisation sous la contrainteC, alors le développement limité à l’ordre 2 donne

∀Htel queA + H∈C, f(A + H) =f(A) +h5f(A),Hi+1

2qA(H) +o(||H||²) Or :A + H∈C⇔H∈Het 5f(A)∈H^⊥. On peut écrire alors :

∀Htel queA + H∈C, f(A + H)−f(A) =1

2qA(H) +o(||H||²).

On peut donc dire que f admet un extremum en A sous la contrainte C si q_A est de signe constant et ne s’annule pas queH\ {0}.

Le signe deqAdétermine la nature de l’extremum.

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