Signe d’une expression quadratique

Signe d’une expression quadratique

Le terme de forme quadratique n’est pas au programme, mais les formes quadratiques sont présentes dans de nombreux domaines, équations cartésiennes de courbes (coniques), de surfaces (quadriques) et apparaissent aussi au moment de l’étude locale d’une fonction de plusieurs variables au voisinage d’un point critique !

Nous complétons ici le dernier paragraphe du chapitre 8, hors programme mais qui fournit des idées générales pour traiter des cas particuliers non triviaux.

Nous nous limiterons à la dimension 2 dans un premier temps, puis esquisserons une généralisation à la dimension 3. Les acharné·e·s pourront aller plus loin !

1) Expression d’une forme quadratique dans la base canonique de

La notion générale de forme quadratique est hors programme.

Nous nous contenterons ici de définir une forme quadratique q par son expression analytique dans la base canonique B= i, j ,(a, b, c) étant fixé dansR³ :

∀u= (x, y)∈R² q(u) =ax²+bxy+cy². On vérifie immédiatement que

q(u) =^tXAX où X= x

y et A= a b/2

b/2 c .

Attention ! Ne pas oublier que c’estb/2 en dehors de la diagonale deA : le calcul fait apparaître b

2(xy+yx) =bxy.

2) Changement de base

Soit B^′ = i^′, j^′ une autre base de R² etP la matrice de passage de Bà B^′.

Les vecteurs colonnes X et X^′ des coordonnées du vecteur u dans B et B^′ sont liés par la relation X =P X^′.

Par conséquent

q(u) =^tX^{′ t}P AP X^′.

3) Réduction grâce au théorème spectral

Comme la matrice A est symétrique réelle, je peux choisir pour B^′ une base orthonormale formée de vecteurs propres deA, de sorte queP est une matrice orthogonale et^tP AP =P⁻¹AP est une matrice diagonale λ 0

0 µ .

Alors, si u=x^′.i^′+y^′.j^′, nous avons

q(u) =λx^′2+µy^′2.

Quitte à réordonner les vecteurs de B^′, on peut supposerλ≤µ, de sorte que λ x^′2+y^′2 ≤λx^′2+µy^′2≤µ x^′2+y^′2

Dans ce contexte, il est intéressant de choisir pour · la norme euclidienne canonique sur R² : en effet,B etB^′ étant toutes deux orthonormales, j’ai

u ²=x²+y²=x^′2+y^′2 et donc

λ u ²≤q(u)≤µ u ².

Cet encadrement ne dépend pas du choix de la base, il permet notamment d’encadrer l’expression initiale :

λ u ²≤ax²+bxy+cy² ≤µ u ².

Signe d’une expression quadratique Page 2

4) Application aux études locales de signe

Nous avons vu apparaître lors des recherches d’extremums des expressions “quadratiques” comme celle étudiée ci-dessus, et c’est normal au voisinage d’un point critique puisque les termes de degré 1 sont nuls par principe !

On obtient en général un développement au voisinage d’un point critique (x0, y0) sous la forme

∆ (h, k) =f(x0+h, y0+k)−f(x0, y0) =q(h, k) + (h, k) ²ε(h, k) où ε(h, k) −→

(h,k)→(0,0)0.

avecq(h, k) =ah²+bhk+ck². Notons comme ci-dessus A= a b/2

b/2 c etλ≤µses valeurs propres.

a) Cas où A admet deux valeurs propres strictement positives Dans ce cas 0< λ≤µet j’ai (avec la norme euclidienne !)

q(h, k)≥λ (h, k) ² et ε(h, k)≥ − |ε(h, k)|

d’où ∆ (h, k)≥ (h, k) ² λ− |ε(h, k)|

ce qui permet de conclure à un minimum localpuisque λ >0.

b) Cas où A admet deux valeurs propres strictement négatives Dans ce cas λ≤µ <0et j’ai (toujours avec la norme euclidienne !)

q(h, k)≤µ (h, k) ² et ε(h, k)≤ |ε(h, k)|

d’où ∆ (h, k)≤ (h, k) ² µ+|ε(h, k)|

ce qui permet de conclure à un maximum local puisque µ <0.

c) Cas où A admet deux valeurs propres non nulles de signes contraires

Dans ce casλ <0< µ etil n’y a pas d’extremum local: pour éviter de tâtonner à la recherche de valeurs positives ou négatives, il suffit d’utiliser les vecteurs propresi^′ etj^′ évoqués au3).

• ∀t >0 ∆ t.i^′ =λt²+t²ε t.i^′ =t² λ+ε t.i^′ <0pour tsuffisamment petit.

• ∀t >0 ∆ t.j^′ =µt²+t²ε t.j^′ =t² µ+ε t.j^′ >0 pour tsuffisamment petit.

d) Cas où A admet zéro pour valeur propre

Dans ce cas, tout peut arriver. . . Il faut regarder de plus près et improviser ! e) Conclusion

Il n’est pas question d’apprendre par cœur ce qui précède, mais ces idées peuvent (sauf dans le dernier cas !) permettre d’anticiper la nature du point critique. D’autant mieux que le polynôme caractéristique deA est

X²−(a+c)X+ ac−b²

4 et λ+µ=a+c , λµ=ac− b² 4. Le cas gênant est donc b² = 4ac.

Sinon j’ai λµ <0 (pas d’extremum) ouλµ >0 (minimum sia+c >0, maximum sia+c <0).

5) Cas de la dimension 3

Les mêmes principes s’appliquent pour une fonction de 3 variables, l’expression quadratique qui apparaît étant alors de la forme

a1x²+a2y²+a3z²+b3xy+b1yz+b2xz, à laquelle on associe la matrice symétrique

A=





a1 b3/2 b2/2 b3/2 a2 b1/2 b2/2 b1/2 a3



.

La réduction de la forme quadratique et la discussion selon les signes des valeurs propres se déroulent alors tout comme en dimension 2.