1. Rappeler ce qu’est la forme polaire d’une forme quadratique Φ.

L2 Alg` ebre bilin´ eaire et G´ eom´ etrie Epreuve du 3 Novembre 2009 ´

1. Rappeler ce qu’est la forme polaire d’une forme quadratique Φ.

La forme polaire ϕ est la forme bilin´ eaire sym´ etrique d´ efinie par la formule ϕ(x, y) = Φ(x + y) − Φ(x) − Φ(y)

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Soit E un espace vectoriel muni d’une forme bilin´ eaire sym´ etrique ϕ. Soient x et y deux vecteurs isotropes pour la forme quadratique associ´ ee Φ. Montrer que x + y est isotrope si, et seulement si, x et y sont orthogonaux.

Si Φ(x) = Φ(y) = 0 on a par la formule ci dessus ϕ(x, y) = ^Φ(x+y) ₂ , donc ϕ(x, y) = 0 est

´

equivalent ` a Φ(x + y) = 0.

2. D´ eterminer une d´ ecomposition de Gauss (c’est ` a dire d´ ecomposition en somme de carr´ es lin´ eairement ind´ ependants) et en d´ eduire noyau, rang, signature pour la forme quadratique :

– q : R ³ → R : (x, y, z) 7→ x ² + 2y ² + 2z ² + 2xy − 4xz − 6yz . On ´ ecrit

– x ² +2y ² +2z ² +2xy−4xz−6yz = (x ² +2x(y −2z)+(y−2z) ² )−(y−2z) ² +2y ² +2z ² −6yz, – posant x ⁰ = x + y − 2z on a :

– (x ² +2x(y−2z)+(y−2z) ² )−(y −2z) ² )+2z ² −6yz = x ⁰² −y ² +4yz −4z ² +2y ² +2z ² −6yz, – soit · · · = x ⁰ 2 + (y ² − 2yz + z ² ) − z ² − 2z ² ,

– posant y ⁰ = y − z et z ⁰ = z on obtient : – · · · = x ⁰² + y ⁰² − 3z ⁰² .

Le rang est donc 3 (il y a 3 carr´ es lin´ eairement ind´ ependants avec des coefficients non nuls. La signature (2, 1). Le noyau est r´ eduit au vecteur nul puis que que l’on sait que c’est un sous-espace de dimension ´ egale ` a la diff´ erence de la dimension de l’espaces (3 ici) et du rang (3 aussi).

3. Pour la forme quadratique suivante, o` u a est un param` etre r´ eel, d´ eterminer une d´ ecomposition de Gauss. En d´ eduire noyau, rang, signature en fonction de a :

– q : R ³ → R : (x, y, z, t) 7→ x ² + a ² y ² + 2axz + 2yz On ´ ecrit

– x ² + a ² y ² + 2axz + 2yz = (x ² + 2axz + a ² z ² ) + a ² y ² + 2yz − a ² z ² , – posant x ⁰ = x + az on a :,

– · · · = x ⁰² + a ² (y ² + 2 ^yz _a

+ ^z _a

) − ^z _a

− a ² z ² il faudra ´ evidemment distinguer le cas a = 0 des autres,

– posant y ⁰ = y + ^z _a z et z ⁰ = z on obtient – · · · = x ⁰ 2 + a ² y ⁰ 2 − (a ² + _a ¹

z ⁰² .

So a 6= 0 la forme est de rang 3 et signature (2, 1). Si a = 0 x ² + 2yz on pose x ⁰ = x, y = y ⁰ + z ⁰ , z = y ⁰ − z ⁰ et la forme devient x ⁰ 2 + 2y ⁰ 2 − 2z ⁰² . Le rang est encore 3 et la signature (2, 1).

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4. Soient x ₀ , x ₁ , x ₂ 3 ´ el´ ements de R deux ` a deux distincts. Montrer que la famille L = (L _i ) 0≤i≤2 de polynˆ omes d´ efinis par :

L _i (X) =

2

Y

j=0

j6=i

X − x _j x i − x j

est une base de P ₂ [X] (les polynˆ omes de degr´ e inf´ erieur ou ´ egal ` a 2).

L’espace des polynˆ omes de degr´ e inf´ erieur ou ´ egal ` a 2 est de dimension 3. Il suffit donc de montrer que les 3 polynˆ omes L <sub>0</sub> , L <sub>1</sub> , L <sub>2</sub> sont lin´ eairement ind´ ependants. On consid` ere une combinaison lin´ eaire P = αL ₀ + βL ₁ + γL ₂ . Supposons P nul. Il faut montrer que α; β, γ sont nuls. Calculons la valeur de la combinaison lin´ eaire en x 0 . On calcule L 0 (x 0 ) = 1 et L ₁ (x ₀ ) = L ₂ (x ₀ ) = 0. Il suit que α = P (x ₀ ) = 0. En calculant en x ₁ on trouve β = 0, avec x ₂ on a γ = 0. Le r´ esultat suit.

En fait on vient d’observer que L i (x j ) = δ i,j Ceci montre par d´ efinition de la base duale la question suivante.

Montrer que la base duale de L est d´ efinie par les formes lin´ eaires L ^∗ _i (P ) = P (x _i ) (i = 0, 1, 2).

On consid` ere l’application ∆ qui ` a un ´ el´ ement de P ₂ [X] associe la valeur de sa d´ eriv´ ee seconde en 0. Montrer que c’est une forme lin´ eaire.

Il suffit d’observer que (P + Q) ^” (0) = P ^” (0) + Q ^” (0) et (aP ) ^” (0) = aP ^” (0).

L’´ ecrire comme combinaison lin´ eaire des L ^∗ _j .

Les L ^∗ _j formant une base du dual on peut d´ ecomposer la forme lin´ eaire ci dessus sur cette base :

∆ = αL ^∗ ₀ + βL ^∗ ₁ + γL ^∗ ₂

On calcule avec cette formule en l’appliquant sur les polynˆ omes s1, X, X ² , les deux premierrs plynˆ omes on une d´ eriv´ ee seconde nulle, le troisi` eme a la d´ eriv´ ee seconde ´ egale

`

a 2, on obtient donc – 0 = α + β + γ pour 1,

– 0 = αx ₀ + βx ₁ + γx ₂ pour X, – 2 = αx ² ₀ + βx ² ₁ + γx ² ₂ pour X ² .

Ce syst` eme se r´ esoud facilement mais on peut aussi calculer avec les polynˆ omes L ₀ , L ₁ , L ₂ . On obtient alors (compte tenu du calcul des d´ eriv´ ees secondes) directement :

– _(x ¹

0

−x

)(x

−x

) = α pour L 0 , – _(x ¹

1

−x

)(x

−x

) = β pour L ₁ , – _(x ¹

2

−x

)(x

−x

) = γ pour L ₂ . 5.

Soit ϕ la forme bilin´ eaire sym´ etrique sur R ² dont la matrice dans la base canonique est : A =

0 1 1 0

Soit Φ la forme quadratique associ´ ee.

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1. Quel est le rang de Φ et son noyau ?

Lev rang de la matrice associ´ ee est 2, donc le rang est 2. Cela r´ esulte aussi de la question suivante.

2. D´ eterminer une d´ ecomposition de Gauss de Φ. Quelle est la signature de Φ ? On pose x = x ⁰ + y ⁰ , y = x ⁰ − y ⁰ . On obtient donc 2xy = 2x ⁰² − 2y ⁰² . La signature est (1, 1).

3. D´ eterminer une matrice P telle que ^t P AP diagonale.

La matrice P est donn´ ee par la formule X = P X ⁰ , soit P =

1 1 1 −1

4. Quels sont les vecteurs isotropes de Φ ? Ce sont les vecteurs de la forme (a, 0) ou (0, a).

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