3-Rang et noyau d’une forme quadratique

(1)

170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalit´ e, isotropie. Applications

Cadre : Kcorps de caract´eristique diff´erente de 2,EunK - espace vectoriel de dimension finien.

I-Formes bilin´ eaires sym´ etriques et formes quadratiques

1-Formes bilin´ eaires sym´ etriques versus formes quadratiques

Définition 1. Une forme bilinéaire surEest une applicationf:E×E→Klinéaire en ses deux variables. Un forme bilinéairefest dite symétrique si pour tous

x, y∈E, f(x, y) =f(y, x)

Exemple 2. Le produit scalaire est une forme bilin´eaire.

Définition 3. Soitfune forme bilinéaire surE. L’applicationfy:x∈Eassocie f(x, y)∈Kest une forme linéaire surE (De même pourfx).

Définition 4. Une applicationq:E→Kest dite forme quadratique surE s’il existe une forme bilinéaire symétriquef:E×E→Ktelle quef(x, x) =q(x).

Exemple 5. • E=R³,q(x) = 2x²1−3x²2+ 3x²3+ 2x1x2−3x1x3+ 5x2x3 est une forme quadratique.

• L’application d´eterminant : det:M2(R)→Rest une forme quadratique.

• q:Mn(R)→R,A7→T r(^tAA)

Proposition 6. Réciproquement, siq:E→Kune forme quadratique surE, alors il existe une unique forme bilinéaire symétiquef:E×E→Ktelle quef(x, x) =q(x) pour toutx∈E,f est donnée par : f(x, y) = ¹₂(q(x+y)−q(x)−q(y)). f est appelé forme polaire deq.

Exemple 7.

• q1:R²→R, q1(x1, x2) =x²1+x²2+x1x2admet pour forme polaire f(x, y) =x1y1+x2y2+¹₂x1y2+¹₂x2y1

• q2:Mn(R)→R, A7→T r(^tAA) admet pour forme polairef(A, B) =T r(^tAB)

2-Expression matricielle

D´efinition 8. Soitfune forme bilin´eaire surE et (ei) une base deE. On appelle matrice def dans la baseB= (ei)ila matrice :

M atB(f) =







f(e1, e1) f(e1, e2) . . . f(e1, en) f(e2, e1) f(e2, e2) . . . f(e2, en)

..

. ... . .. ... f(en, e1) f(en, e2) ... f(en, en)







Remarque 9. f forme bilinéaire symétrique⇔La matrice def (dans une base quelconque) est symétrique.

D´efinition 10. Soitf une forme bilin´eaire surE,x,y∈E,B= (ei)i une base deEet A=M atB(f),X=M atB(x),Y =M atB(y). On a : f(x, y) =^tXAY.

Remarque 11. On appelle matrice deqla matrice de sa forme polaire.

Exemple 12. Soitq(x, y, z) = 3x²+y²+ 2xy−3xz . Alors :

M at(q) =





3 1 −3/2

1 1 0

−3/2 0 0





Remarque 13. L’application qui `af associe sa matrice dans une base fix´ee deEest un isomorphisme.

Définition 14. (matrices congruentes ou équivalentes) Deux matrices carréesAetB d’ordrensont dites congruentes s’il existeP ∈ GLn(R) telle queA=^tP BP.

Proposition 15. (Avec les notations précédentes) Deux matrices sont congruentes de rangr⇔Elles représentent la même forme quadratique dans deux basesBetB⁰ deE, P matrice de passage deBàB⁰,r=rg(q).

Définition 16. Soitf une forme bilinéaire surE. On appelle rang def le rang de la matrice qui représentefdans une base (quelconque) deE.

Remarque 17. f est dite non dégénérée⇔son rang est maximal⇔sa matrice associée est inversible.

Proposition 18. Soitf:E×E→KUne forme bilin´eaire,j:E→E^∗, y7→j(y) =fy, o`ufy:E→K,x7→f(x, y). On a :

• j(y)(x) =fy(x) :=f(x, y)

• fynon dégénérée⇔fy est un isomorphisme

Exemple 19. Sifest un produit scalaire, alorsfyest un isomorphisme d’espaces vectoriels.

3-Rang et noyau d’une forme quadratique

Définition 20. On appelle noyau et on noteN(q) (respectivement rang, notérg(q)) d’une forme quadratiqueqle noyau (respectivement le rang) de la forme polaire associée àq.

Proposition 21. Soitf la forme bilinéaire surEassociée à la forme quadratiqueq.

1. Le rang deqest le rang de l’applicationj:E→E^∗,y7→f(., y) =fy. 2. Le noyau de qest le noyau de l’applicationj, c’est-`a-dire

N(q) :={y∈E|f(x, y) = 0,∀x∈E}

(2)

3. qest dite non dégénérée sijest injective, c’est-à-dire siN(q) ={0}, ou encore si f(x, y) = 0,∀x∈E⇒y= 0.

Définition 22. Soitqune forme quadratique à valeurs réelles. qest dite positive si q(x)≥0 pour toutx.

qest dite d´efinie positive si elle est positive et siq(x) = 0⇔x= 0.

Proposition 23. Une forme quadratique définie est non dégénéréee.

Exemple 24. pourx∈R³,q(x) = 4x²1+ 3x²2+ 5x1x2−3x1x3+ 8x2x3 est non définie et non dégénérée.

Proposition 25. dim(E) = dim(N(q)) +rg(q)

II-Orthogonalit´ e et isotropie

1-Orthogonalit´ e

Soitq une forme quadratique etbsa forme polaire associ´ee.

D´efinition 26. • Deux vecteursxetysont dits orthogonaux selonq(ou selonb) sib(x, y) = 0.

• SoitA⊂E. On appelle orthogonal deAselonq(ou selonb) l’ensemble A^⊥={y∈E|∀x∈A, b(x, y) = 0}.

• Deux sous-ensemblesAetBdeEsont dit orthogonaux selonq (ou selonb) si

∀x∈A,∀y∈B,b(x, y) = 0. On note alorsA⊥B.

Proposition 27.

• A^⊥est un sev deE.

• {0}^⊥=E

• E^⊥=N(q)

• ∀A⊂E:N(q)⊂A^⊥

Proposition 28. SoitF un sev deEalors

• dim(E) =dim(F) +dim(F^⊥)−dim(F∩N(q))

• F^⊥⊥=F+N(q)

Remarque 29. En particulier siqest non dégénérée alors :

• dim(E) =dim(F) +dim(F^⊥)

• F^⊥⊥=F

Contre-exemple 30. E=R²,q(x) =x²₁−x²₂. F=V ect 1

1

. AlorsF =F^⊥. q est non dégénérée, maisE6=F⊕F^⊥.

2-Isotropie

D´efinition 31. Un vecteurx∈E est dit isotrope pourq ( ou pourb) sib(x, x) = 0 (autrement dit siq(x) = 0).

D´efinition 32. On appelle cˆone isotrope l’ensembleI(q) ={x∈E|q(x) = 0}

Remarque 33. I(q) n’est pas un espace vectoriel mais un sous-ensemble de vecteurs V, avecV={x∈ V|∀λ∈K,λx∈ V}.

Exemple 34.

• SiE=R² etq(x) =x²₁−x²₂, on aI(q) ={(x1, x2)∈R²|x1=±x2}(voir figure 1)

• SiE=R³etq(x) =x²1+x²2−x²3, on a I(q) ={(x1, x2, x3)∈R³|x3=±p

x²₁+x²₂}(voir figure 2) Proposition 35. N(q)⊂ I(q)

Contre-exemple 36. Dans les exemples précédents,N(q)6={0}donc on n’a pas l’inclusion réciproque.

D´efinition 37. Un sous-espace vectorielF deEest dit isotrope si : F∩F^⊥6={0}

Remarque 38. Eadmet des sous espaces isotropes⇔ I(q)6={0}

Proposition 39. SoitF un sous-espace vectoriel deE alors : E=F⊕F^⊥⇐⇒F est non isotrope (i.e. F∩F^⊥={0}).

Exemple 40. q:R⁴ →R,q(x) =x²₁+ 2x1x2+ 2x1x3+ 2x1x4+ 4x2x3+ 4x3x4. Tout hyperplan d’´equationax1+x2+bx3+x4= 0 est isotrope.

Exemple 41. q:M2(R)→R,A7→det(A). F={A∈ M2(R|T r(A) = 0}

F^⊥={A∈ M2(R)|A= a 0

0 a

,a∈R}. F est non isotrope etM2(R) =F⊕F^⊥.

3-Groupe orthogonal

Proposition 42. Soitqune forme quadratique non degénérée surEetf ∈End(E).

Soitf^∗l’unique endomorphisme deE tel que∀(x, y)∈E²,b(f(x), y) =b(x, f^∗(y)). Les propriétés suivantes sont équivalentes :

1. q(f(x)) =q(x) ∀x∈E

2. b(f(x), f(y)) =b(x, y) ∀x, y∈E

3. f^∗◦f=Id(ou de mani`ere ´equivalentef◦f^∗=Id).

Un tel endomorphisme est dit orthogonal relativement `aq. On note

O(q) ={f∈End(E)|f◦q=f}. O(q) est un groupe, appel´e groupe orthogonal deq.

Proposition 43. SoitBune base deE,S=M atB(q) etA=M atB(f), on a : f∈O(q)⇐⇒^tASA=A

Exemple 44. Soitq:R²→Rd´efinie dans la base canonique parq(x) = 2x1x2. On a O(q) =

a 0 0 1/a

, a∈R\{0}

∪

0 b 1/b 0

, b∈R\{0}

(3)

4-Bases orthogonales et r´ eduction simultan´ ee

Définition 45. Une baseB={ei}deEest dite orthogonale pour la forme bilinéaire symétriquebouq-orthogonale si∀j6=i,b(ei, ej) = 0. Elle est dite orthonormale si b(ei, ej) =δe_i,e_j.

Proposition 46. SoitE6={0}. Il existeB= (e1, ..en) base deE telle que∀x∈Kⁿ, si x=Pn

i=1xiei, q(x) =Pr

i=1aix²i, avecai∈K, etr=rg(q). La baseB est dite q-orthogonale.

Remarque 47. Chercher une base orthogonale revient donc `a chercher une base dans laquelle la matrice deqest diagonale.

Théorème 48. (Méthode de Gauss) Pour toute forme quadratiqueq il exister=rg(q) formes linéaires indépendantesl1, .., lr telles queq(x) =P

λili(x)²,λi∈K.

Exemple 49. SiE=R³ etq(x) = 5x1x2+ 6x1x3+ 3x2x3la m´ethode de Gauss nous donne (q) =₂₀¹(5x1+ 5x2+ 9x3)²−₂₀¹(5x1+ 5x2−3x3)²−¹⁸₅x²3.

Th´eor`eme 50. Soit (E, <, >) un espace euclidien etqune forme quadratique surE alors il existe des bases qui sont orthogonales pour<, >etq.

Application 51. (Convexité logarithmique du déterminant) SoientA,Bdans S_n⁺⁺(R) ={matrices symétriques définies positives}etα,β∈Rtels queα+β= 1.

Alors det(αA+βB)>(det(A))^α(det(B))^β.

Application 52. (Ellipso¨ıde de John Loewner) SoitKun compact non vide deRⁿ. Alors il existe un unique ellipso¨ıde centr´e en 0 de volume minimal qui contientK.

III-Classification des formes quadratiques

Définition 53. Soientbetb⁰deux formes bilinéaires symétriques surE. On dit queb etb⁰ sont équivalentes s’il existeu∈GLn(E) tel que∀x,y∈E,b⁰(x, y) =b(u(x), u(y)).

Autrement dit si∃P ∈ GLn(K) telle queM atB(q⁰) =^tP(M atB(q⁰))P

1-Sur un espace vectoriel complexe

Dans cette partieE designe unC-ev de dimensionn(E est donc isomorphe `aCⁿ moyennant le choix d’une base),qforme quadratique surE .

Théorème 54. Il existe une base (ei)ideEtelle que six=P xiei, q(x) =x²₁+...+x²_r oùr=rg(q), c’est-à-dire : M ate_i(q) =

Ir 0

0 0

Corollaire 55. Il existe une base q-orthonormée⇔rg(q) =n⇔qest non dégénérée.

Proposition 56. Il existe une unique classe d’équivalence des formes quadratiques non dégénérées.

2-Sur un espace vectoriel r´ eel

Dans cette partieE designe unR-ev de dimensionn(Eest donc isomorphe `aRⁿ moyennant le choix d’une base),q forme quadratique surE.

Th´eor`eme 57. (Sylvester) Soitqune forme quadratique surE. Il existe une base (ei)i

deEtelle que six=P

xieion a : q(x) =x²₁+...+x²_p−x²_p+1−...−x²_r oùr=rg(q) et pun entier qui ne dépend que deq(et non pas de la base). On a donc : , c’est-à-dire : M ate_i(q) =





Ip 0 0

0 −Ir−p 0

0 0 0





Le couple (p, r−p) not´esgn(q) est appel´e signature deq.

Remarque 58. On peut déterminer la signature d’une forme quadratiqueq à l’aide des valeurs propres de sa matrice associéeA. Son rang est égal aux nombre de valeurs propres non nulles etr−pest le nombre de valeurs propres deAstrictement négatives.

Exemple 59. SurM2(R) le d´eterminant est une forme quadratique de signature (2,2).

Exemple 60. SurR³, par la m´ethode de Gauss, on trouve que la signature de q(x) =x²1+ 2x²2+ 15x²3−4x1x2+ 6x1x3−8x2x3 est (2,1)

Corollaire 61. Soitqune forme quadratique surE alors :

• q definie positive (ieEeuclidien)⇐⇒sgn(q) = (n,0)⇐⇒il existe des bases orthonorm´ees.

• q d´efinie n´egative⇐⇒sgn(q) = (0, n)

• q est non dégénérée (ieN(q) ={0})⇐⇒sgn(q) = (p, n−p)

Proposition 62. Il y an+ 1 classes d’équivalence de formes quadratiques non dégénérées.

3-Sur un corps fini

Dans ce paragrapheK=Fq est un corps fini de caract´eristique diff´erente de 2 etE est unK-espace vectoriel de dimensionn.

Théorème 63. Soitα∈Fq^∗,α /∈Fq^∗2. Il y a deux classes d’équivalences de formes quadratiques non dégénérées surE, de matrices,

q1=







1 0

. ..

0 1





 ouq2=







1 0

. .. 1

0 α







Une forme quadratiqueqest de l’un ou l’autre type selon son d´eterminant modulo les carr´es du corps de base.

Lemme 64. L’´equation enx, y,ax²+by²= 1, aveca, b∈Fq^∗, a des solutions dansFq.

(4)

Application 65. (Loi de réciprocité quadratique) On définit le symbole de Legendre par pour toutn∈Fp(ⁿ_p) =







1 si n est un carr´e modulop 0 si p divise n

−1 sinon Soitp, q deux nombres premiers impairs alors :

p q

= q

p

(−1)(p−1)(q−1)/4

IV-Applications

1-Recherche de minimum

Théorème 66. Soitf:U ⊂Rⁿ→Rune fonction de classeC² telle quedfa= 0 pour una∈U de sorte quef(a+h) =f(a) +¹₂q(h) +◦(||h||²), oùqest la forme quadratique définie parq(h) =P

i

h²i∂²f

∂x²_i(a) + 2P

i<j

hihj ∂²f

∂xi∂xj(a) alors :

1. Sif admet un minimun (resp. maximum) relatif enaalorsqest une forme quadratique positive (resp. n´egative).

2. Siqest une forme quadratique définie positive (resp. définie négative) alorsf admet un minimum (resp. maximum) relatif ena.

Exemple 67. (en dimension 2) Soitf:U ⊂R²→Rde classeC² telle quedfa= 0 poura∈U. On noter=^∂_∂x²^f2(a),s=_∂x∂y^∂²^f (a) ett=^∂_∂y²^f2(a) alors :

• sirt−s²>0 etr >0,f admet un minimum relatif ena.

• sirt−s²>0 etr <0,f admet un maximum relatif ena.

• sirt−s²<0,f n’admet pas d’extremum ena.

• sirt−s²= 0, on ne peut pas conclure.

2-Racines distinctes d’un polynˆ ome

Application 68. (Comptage des racines d’un polynôme par les formes quadratiques.) SoitP ∈R[X] de degréneta1, ..., anles racines deP ( dansC) comptées avec multiplicité. Pouri∈N, on notesi=Pn

k=1aⁱ_k, lai-ème somme de Newton. Soitq la forme quadratique réelle définie surRⁿ par :

q(x) =q(x0, ..., xn−1) = X

0≤i,j≤n−1

si+jxixj

Notons (s, t) la signature deq, on a :

1. le nombre de racines complexes distinctes deP ests+t=rg(q) 2. le nombre de racines r´eelles distinctes deP ests−t

3-Classification des coniques

D´efinition 69. Soientq une forme quadratique non nulle etϕune forme lin´eaire sur l’espace euclidien (R², <, >). On appelle conique l’ensemble :

C={v∈R²|q(v) +ϕ(v) =k}o`uk∈R.

Exemple 70. L’équationx²+y²−1 = 0 décrit une conique constituée du cercle de centre 0 et de rayon 1.

Théorème 71. (voir figure 3) SoitC une conique définie comme précédemment. On supposeC 6= 0 et non réduit à un point.

1. Si sgn(q) = (2,0) : Cest une ellipse.

2. Si sgn(q) = (1,1) : Cest une hyperbole qui eventuellement dégénère en deux droites non parallèles.

3. Si sgn(q) = (1,0) : Cest une parabole, qui dégénère en une droite, ou en deux droites parallèles si la direction principale isotrope est contenu dansKer(ϕ).

Proposition 72. Par cinq points distinctsA, B, C, DetE d’un plan affine réel passe une conique. Elle est unique ssi 4 points quelconques parmis ces 5 sont non alignés. Elle est non dégénrée ssi 3 points quelconques parmis ces 5 sont non alignés.

D´ eveloppements possibles

• Classification des formes quadratiques surFq.

• Comptage des racines d’un polynˆome via les formes quadratiques.

• Loi de r´eciprocit´e quadratique.

• Ellipsoide de John Loewner.

• Lemme de Morse.

• Par 5 points distincts passe une connique

R´ ef´ erences

• Grifone

• Gourdon

• Perrin

(5)

3-Rang et noyau d’une forme quadratique

170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalit´ e, isotropie. Applications

I-Formes bilin´ eaires sym´ etriques et formes quadratiques

1-Formes bilin´ eaires sym´ etriques versus formes quadratiques

2-Expression matricielle

3-Rang et noyau d’une forme quadratique

II-Orthogonalit´ e et isotropie

1-Orthogonalit´ e

2-Isotropie

3-Groupe orthogonal

4-Bases orthogonales et r´ eduction simultan´ ee

III-Classification des formes quadratiques

1-Sur un espace vectoriel complexe

2-Sur un espace vectoriel r´ eel

3-Sur un corps fini

IV-Applications

1-Recherche de minimum

2-Racines distinctes d’un polynˆ ome

3-Classification des coniques

D´ eveloppements possibles

R´ ef´ erences

ANNEXES :

Figure 3