Soit E un espace de Banach et φ : E → R une forme lin´eaire

Ecole Normale Sup´erieure 2007-2008 Premi`ere ann´ee de Master FIMFA

Partiel d’Analyse Fonctionnelle et EDP 10h45 `a 12h45 - aucun document n’est autoris´e

Exercice 1. Soit E un espace de Banach r´eflexif et strictement convexe, cela signifie que k(x+ y)/2k<1 pour toutx, y∈B_E,x6=y. SoitK⊂E un convexe ferm´e non vide deE. Montrer qu’il existe une applicationpK:E→K telle pour toutu∈E

ku−p_Kuk= min

y∈Kku−yk.

Exercice 2. Soit E un espace de Banach et φ : E → R une forme lin´eaire. Montrer qu’il y a

´equivalence entre (i) φest continue;

(ii)φest s´equentiellement continue;

(iii) φest faiblement σ(E, E^′) continue;

(iv)φ est s´equentiellement continue pour la convergence faibleσ(E, E^′) .

Exhiber un espace de BanachEtel queId: (E, σ(E, E^′))→(E,k.kE) est s´equentiellement continue mais pas continue (On pourra accepter sans avoir `a le red´emontrer un r´esultat pr´esent´e en TD).

Exercice 3. Soient p ∈ [1,∞], et α = (α_n) une suite de r´eels. Montrer que si P

nα_nx_n < ∞, pour tout x= (xn)∈ℓ^p, alorsα∈ℓ^p′, avec 1/p^′+ 1/p= 1. En d´eduire que (ℓ^p)^′ =ℓ^p′ si p∈]1,∞[.

Exercice 4. On consid`ere l’´equation aux d´eriv´ees partielles (1) −∆u+u=f dans R^N.

a) - Montrer que pour toutf ∈ S(R^N) il existe une unique solution u∈ S(R^N) `a (1).

b) - Montrer que siu, f ∈ S(R^N) satisfont (1) alorskuk_L^p ≤ kfk_L^p pour toutp∈[1,∞].

c) - Pourp∈[1,∞), en d´eduire pour toutf ∈L^p(R^N) l’existence d’une solutionu∈L^p(R^N) `a (1).

Probl`eme 5. Soient T ∈ D^′(R^N), λ > 0 et R ∈ SO(R^N) une rotation de R^N. On d´efinit la distribution dilatat´ee δ_λT par hδ_λT, ϕi = λ^NhT, δ_λ−1ϕi ∀ϕ ∈ D(R^N), avec (δ_λϕ)(x) = ϕ(x/λ).

On dit que T est positivement homog`ene de degr´e α ∈ R si ∀λ > 0 δλT = λ^−αT. On d´efinit la distributionρRT parhρRT, ϕi =hT, ρ_R−1ϕi ∀ϕ∈ D(R^N), avec (ρRϕ)(x) =ϕ(R⁻¹x). On dit que T est invariant par rotation si ∀R∈SO(R^N) on a ρ_RT =T.

1) Le but de cette question est de d´emontrer que si f ∈ L¹_loc(R^N) est telle que la distribution {f} associ´ee est homog`ene de degr´e β > −N et invariante par rotation, alors il existe C tel que f(x) =C|x|^β p.p. x∈R^N.

1

a) - Faire la preuve dans le cas f ∈C(R^N).

b) - Montrer que la fonction d´efinie sur R^N par G(x) :=

Z

B(0,|x|)

f(y)dy = Z _|x|

0

Z

S^N−1

f(r σ)dσ r^N−1dr

est homog`ene de degr´eβ+N et conclure [On pourra utiliser que la mesuredσ est invariante par rotation].

2) Pourα∈]0, N[ on noteφ_α(x) =|x|^−α. PourquoiF(φ_α) est-elle bien d´efinie? Montrer queF(φ_α) est invariante par rotation et homog`ene de degr´eα−N.

3) Montrer queF(φ_α)∈L²+L^∞ siα∈]N/2, N[. En d´eduire (`a la d´etermination d’une constante pr`es) la transform´ee de Fourier de|x|^−α pour toutα∈]N/2, N[,α∈]0, N/2[, puisα =N/2.

Probl`eme 6 (Th´eor`eme ergodique de Von Neumann). SoitX un espace de Banach r´eflexif et soitT :X→X un op´erateur lin´eaire tel quekTk ≤1. Pour toutn≥1 on pose

Sn:= Id+T +...+Tⁿ⁻¹

n .

1) - Soit (un) une suite d’´el´ements deE qui converge faiblement versu∈E. Montrer que pour tout n∈N, il existe une suite (v_n) dans l’enveloppe convexe de {u_k}_k≥n qui converge versu fortement.

2) - Montrer que∀x∈X, il existe une sous-suite (Sn_k) telle que la suite (Sn_kx)_kconverge faiblement dans X vers une limite not´ee y. Montrer que lim_k→∞(T S_nkx−S_nkx) = 0. En d´eduire que la limite faible de la suite (Snkx) est un point fixe deT.

3) - Montrer que ∀m ≥ 1, ∀x ∈ X, lim_n→∞(S_nT^mx−S_nx) = 0, et en d´eduire que ∀x ∈ X,

∀A∈Conv(Id, T, ..., Tⁿ, ...) on a lim_n→∞(SnA x−Snx) = 0.

4) - Montrer que ∀x ∈ X, ∀k ≥ 1, ∃Ak ∈ Conv(Snk, Snk+1, ...) telle que la suite (Akx) converge fortement dans X vers y d´efini au 2).

5) - En d´eduire que pour toutx∈X, la suite (Snx) est convergente dans X fort.

6) - Pour tout x ∈ X, on pose P(x) = limn→∞Snx. Montrer que P est une projection lin´eaire continue et d´eterminer son image.

7) - Soit E=L²([0,1[, dx). Pourθirrationnel etf ∈E, on pose (T_θf)(x) =T f(x) :=f(x+θ(mod 1)).

V´erifier queT satisfait les hypoth`eses de l’´enonc´e.

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