3- Les fonctions de plusieurs variables

(1)

Solutionnaire du chapitre 3

1.1    

2 2

5

5 1 3 1 3 15 9

24 z x y xy

   

 



1.2  

^{1 1 2}

 

^{1 1 1 2}

2 1 2 1

f xyz xy yz 

        

   

 

1.3       

2 2

3 4 1 2

5 2 3

y u v wx

    

 



1.4

Comme on ne veut pas de division par 0, on a la restriction suivante.

0 x y

y x

 



Le domaine est donc tout le plan xy, sauf la droite y = x.

1.5

Comme on ne veut pas de logarithme de nombre négatif ou d’un nombre nul, on a la restriction suivante.

(2)

2 2

1 0 1 x y

x y

  

 

C’est l’équation d’un cercle de rayon 1. On doit donc se situer à l’extérieur d’un cercle de rayon 1 et le cercle lui-même n’est pas inclus.

Le domaine est donc

1.6

Comme on ne veut pas de racine de nombre négatif, on a la restriction suivante.

2 2

9 9 0

9 9

9 1

x y

  

 

 

C’est l’équation d’une ellipse allant de -3 à 3 sur l’axe des x et de -1 à 1 sur l’axe des y. On doit donc se situer à l’intérieur de cette ellipse et l’ellipse elle-même est incluse.

Le domaine est donc

2.1

Au point (1,4) la fonction vaut

(3)

Luc Tremblay Collège Mérici, Québec

arctan 4arctan1 4 4

z y x





 

 L’équation de la courbe de niveau est donc

arctan arctan

y x





2.2

Au point (0,2) la fonction vaut

 

   

 

2

2 0 2

2 2 0 2 0 4 1 4

z x y exy

e^

 

  

  



L’équation de la courbe de niveau est donc



²



4 2x y e ^xy

2.3

La commande est (si with(plots) a déjà été écrit au moins 1 fois depuis le démarrage de Maple)

contourplot(x–y+4, x =-2..2, y =-2..2,contours=[0,1,2,3,4,5,6,7,8]) On a alors

(4)

2.4

contourplot(3x^2+18*x*y+6y^2, x =-1..1, y =-1..1,contours=[-5,0,5,10,15,20,25]) On a alors

2.5

contourplot(0.6*x+0.4*y-0.8, x =-5..5, y =-5..5,contours=[-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5]) On a alors

(5)

2.6

On a alors

Ce qui est dommage, c’est que les échelles des axes sont différentes. Pour corriger cela, on ajoute

(6)

On a alors

La courbe de niveau z = 0 est mal tracée. Pour l’améliorer, faites-la tracer avec plus de points avec l’option numpoints. (Par défaut, cette valeur est 200.) On obtient une belle courbe avec 3000.

(Le view permet de voir un peu plus grand que de -3 à 3 en x et de -1 à 1 en y.). On a alors

2.7

On a alors

(7)

3.1

La commande est

plot3d(x-y+4,x=-2..2,y=-2..2,axes=normal)

On a alors

3.2

La commande est

plot3d(3*x^ 2+18*x*y+6y^2,x=-1..1,y=-1..1,axes=normal)

On a alors

(8)

3.3

La commande est

plot3d(0.6*x+0.4*y-0.8,x=-5..5,y=-5..5,axes=normal)

On a alors

3.4

On a alors

(9)

3.5

On a alors

(10)

5.1

   

2

, 0,0

2 2

lim 3 3

x y

x xy



  



5.2

   

4 4

2 2

, 0,0

lim 0

0

x y

x y x y



 

 On va poser y = mx

   

 

4 4

2

2 2 2

, 0,0 0

4 4 4

2 2 2

0

4 4

2 2

0

4 2 0 2

lim lim

lim lim 1

1 lim 1

1 0

x y x

x

x mx x y

x y x mx

x m x x m x m x m x m x m

 



  

 

 



 



 





Il y a peut-être un problème si m = ¥. Pour voir ce qu’on obtient dans cette direction, posons y x. On a alors

   

4 4 4 2

2 2

0 2 0

3 0

lim lim

4 2

lim 2 1 0

1 0

x x

x

x x x x

x x

x x x

 



  

 

 





 La limite est donc 0.

(11)

5.3

   

2 2

, 0,0

2 0

lim 2 0

x y

x y



 



On va poser y = mx

 

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 0

2 2

0

2 0 2

2 2

lim lim

2 2

lim 2 1 2 lim 2

1 2 2 1 2

x o x

x

x mx x m x

x m x

x mx

m x m x m

m m

m

 



  

 

 



 



 



Comme la valeur de la limite dépend de m, la limite n’existe pas.

5.4

   ^, ^1,2 ²

2 2 0

lim 2 2 1 1 4 4 0

x y

xy y x x xy y



   

      Pour trouver la limite, on peut simplifier un peu la fonction.

       

 

   

, 1,2 2 , 1,2

, 1,2

lim lim 1

2 2 1 2 1

lim 2

x y x y

x y

xy y y x

x x xy y x x y x

y x y

 



 

      

 

La limite est alors

   ^, ^1,2

lim 2

2 5

x y

y x y

 



Évidemment, il y a la version plus longue si on n’a pas vu la simplification.

(12)

On pose alors y – 2 = m(x - 1). On a alors

 

2 1

2

y m x

y mx m

  

   La limite devient donc

       

 

  

   

 

2 2

, 1,2 , 1,2

1 2

2

2 2

1

2 1 2

lim lim 1

2 2 2 2

2 1

lim 2 2 2

2 2

lim 2 2 2 2

2 2

lim 2 2 4 2 2 4

2 2 2

lim 1 2 3

x y x y

x

xy y y x

x x xy y x x x y

mx m x

x x x mx m

x mx m mx m

x x x mx m mx m

mx mx x mx m

x x mx xm x mx m

mx m x m

m x

 



  

     

  

     

    

       

    

       

   

   



⁴^{m x}



^²^m^⁴

On a toujours 0/0. Si on applique la règle de l’Hospital, on a

   

 

   

 

   

, 1,2 2 1

2 2 2

lim lim

2 2 2 1 2 3 4

2 2 2

2 1 2 3 4 2 2 2 2 4 3 4 2

5

x y x

mx m

xy y

x x xy y m x m

m m

 

  

      

  

  

  

  



5.5

   

2 3

5 5

, 0,0

3 0

lim 2 2 0

x y

y x

 

 On va poser y = mx

(13)

   

 

2 3 2 3

5 5 5 5

, 0,0 0

3 5

5 5 5

0

3 5

5 5

0 3 0 5

3 5

3 3

lim lim

2 2 2 2

lim 3

2 2

lim 3

2 2

lim 3

2 2

3

2 2

x y x

x

x y x mx

y x mx x

m x m x x

m x

m x

m m m m

 



  

 

Comme la valeur de la limite dépend de m, la limite n’existe pas.

5.6

   

3 2 2 3

2 2

, 0,0

lim 0

0

x y

x x y xy y x y



   

   

     

 

2 3

3 2

3 2 2 3

2

2 2 2

, 0,0 0

3 3 2 3 3 3

2 2 2

0

3 2 3

2 2

0

2 3

0 2

lim lim

lim lim 1

1 lim 1

1 0

x y x

x

x x mx x mx mx

x x y xy y

x y x mx

x mx m x m x x m x

x m m m

x m

m m m

x m

 



  

   

 

  

 

  

 

  

 



(14)

   

 

2 3

3 2 2 3 3 2

2 2 2

, 0,0 0 2

3 5/2 2 3/2

0 2

2 3/2 1/2

0

2 3/2 1/2

0

lim lim

lim

lim 1

0 1 0

x y x

x

x x y xy y x x x x x x

x y x x

x x x x

x x x x x x x

x x

x x x x

x

 



      

 

  

 

  

 

  

 



5.7

   , 2,1

4 6

lim 6

2 1

x y

x y



  



5.8

   ^, ^0,0 ⁴ ⁴

3 0

lim 5 2 0

x y

xy

x y

 

(15)

   

 

4

4 4 4

, 0,0 0

2

4 4 4

0

2

4 4

0

4 2

0

4 0 2

4

3 3

lim lim

5 2 5 2

lim 3

5 2

lim 3 5 2 lim 3

5 2

3 1

5 2 lim 3 5 2

x y x

x

xy x mx

x y x mx

mx x m x

mx m x m m x m

m x

m m

 



  

 

 



Il n’y a pas de limite, car la valeur peut changer selon la valeur de m. Si m est positif, la limite est +¥ et si m est négatif, la limite est -¥.

Donc, la limite n’existe pas.

5.9

   ^,^lim^0,0 ^ln



²



⁰⁰

x x y

xe y y x



 

   

 

, 0,0 0

0

lim lim

ln 2 ln 2

lim ln 2

1 ln 2

x x

x y x

x x

xe y xe mx

y x mx x

e m x mx x

e m

m x

m m

 



  

 

 



 



 

Comme la valeur dépend de m, la limite n’existe pas.

(16)

5.10

   



²



, 0,0

1 sin 0

lim 0

x y

y x

x



 

On va poser y = mx

   



²

  ^{ }

²



, 0,0 0

2 2 0

1 sin

lim lim

sin sin

lim

x y x

x

mx x

y x

x x

x m x x x

 



 



 

Comme on a 0/0, on applique la règle de l’Hospital. On a alors

2 2 2 2 2

0 0

sin sin cos cos 2 sin

lim lim

1 1

x x

x m x x x m x m x x

x

 

   



   



²

 

²



, 0,0 0

0

1 sin

lim lim

sin sin lim

cos sin cos

lim 1

1 1

x y x

x

x x

y x

x x

x x x x

x x x x

 



 



 

 



 La limite est donc 1

5.11

   

2 , 0,0 2

2 0

lim 2 0

x y

xy

x y

 



(17)

On va poser y = mx

   

 

²

2

2 2

, 0,0 0

2 3 0 2

2 2 0

2 2

lim lim

2 2

lim 2 2 lim2

2 0 2 0

x y x

x

xy x mx

x y x mx

m x x mx

m x

x m

m

 



  

 





Il y a peut-être un problème si m = 0. Pour voir ce qu’on obtient dans cette direction, posons y x ². On a alors

   

 

² ²

2

2 2 2

, 0,0 0

5 0 2

3 0

2 2

lim lim

2 2

lim2 lim2

1 0

x y x

x

xy x x

x y x x

x x x

 



  

 