Si au moins 2, alors au moins 3
Problème D261 de Diophante
On suppose que l’aire de n’importe quel triangle formé avec trois points choisis parmi cinq points situés dans un même plan est au moins égale à 2.
Démontrer qu’il existe un triangle dont l’aire est au moins égale à 3.
Solution
Soit cinq points du plan, ils déterminent dix triangles. Notons R le rapport entre le maximum et le minimum des aires de ces triangles. Il est évident que R n'est pas borné supérieurement. Nous allons montrer qu'il est borné inférieurement par 3/2 (ce qui répond à la question posée) et, plus précisément, que la borne stricte est égale au nombre d'or et est atteinte lorsque les cinq points sont les sommets d'un pentagone image affine d'un pentagone régulier
Notons ABC un triangle d'aire 3 et UVW le triangle obtenu en menant par chaque sommet la parallèle au côté opposé.
Essayons d'ajouter deux points D et E tels que les triangles DAB, DBC, DCA, EAB, EBC, ECA aient tous une aire : au plus égale à 3 et au moins égale à 2.
La première contrainte est satisfaite à condition que D et E soient à l'intérieur du triangle UVW et, de manière supplémentaire, la seconde contrainte est satisfaite à condition que D et E soient dans un des triangles UU'U", VV'V", WW'W", où les segments U'U", V'V", W'W" sont respectivement homothétiques de BC, AC, AB dans des homothéties de centres U, V et W de même rapport 1/3.
A partir de là, il n'est pas possible que les aires des trois triangles ADE, BDE, CDE satisfassent aussi ces deux mêmes contraintes.
En effet, supposons D et E dans le même triangle UU'U" alors le triangle BDE a une aire inférieure à 2 (et les deux autres aussi). A contrario, supposons D dans le triangle UU'U" et E dans le triangle VV'V" alors le triangle ADE (et aussi BDE) a une aire supérieure à 3.
Remplaçons 3/2 par un nombre ß légèrement supérieur et reprenons les mêmes notations. La position limite où D est en u' et E est en v' de telle sorte que tous les triangles aient une aire inférieure ou égale à 3 et supérieure ou égale à 3/ß se produit lors que les cinq triangles ABC, BCD, ACD, ACE et ADE ont même aire 3 et les cinq autres même aire 3/ß. Alors, comme à l'évidence dans un pentagone régulier, ß est le nombre d'or
Encore bien caché, comme d'habitude !
