E439 – Croisements interdits sur autoroute enneigée [*** à la main]
Solution proposée par Xavier Chanet
Supposons pour l’instant que le triangle possède en son intérieur n points tels que trois points quelconques parmi les n+3 points (en comptant A, B et C) ne soient jamais alignés.
Quelque soit le nombre n de points tracés à l’intérieur du triangle ABC, à la fin de la partie on obtient obligatoirement une triangulation du triangle ABC. En effet, si tel n’était pas le cas, alors il y aurait à la fin de la partie au moins un polygone (non nécessairement convexe) sans aucune diagonale tracée et dont les sommets (qui seraient des points de la figure parmi les n+3) seraient au moins au nombre de 4. Ceci est impossible puisqu’on pourrait alors tracer au moins une diagonale de ce polygone et que la partie doit être terminée.
Montrons par récurrence sur n la proposition suivante :
« Si un triangle ABC est triangulé par n points en son intérieur alors on a 3n segments à l’intérieur de celui-ci»
Pour n= 1, c’est trivial.
Soit n>1. Supposons la proposition vraie au rang n. Montrons qu’elle l’est aussi au rang n+1.
Supposons donc que le triangle possède n+1 points dans son intérieur. Supprimons alors un point de l’intérieur de ABC et les segments dont ce point est une extrémité.
On obtient alors un « trou » dans la figure qui est un polygone à p sommets (p ≥3). On réobtiendrait une triangulation de ABC en traçant p-3 diagonales de ce polygone (si p=3 on a donc aucun autre segment à tracer).
Puisque la nouvelle triangulation de ABC admet n points en son intérieur, d’après l’hypothèse de récurrence, celle-ci admet 3n segments en son intérieur. En rétablissant la triangulation d’origine de ABC on a alors 3n-(p-3)+p = 3(n+1) segments à
l’intérieur du triangle ABC avec sa triangulation d’origine. D’où le résultat.
Pour 2007 points non alignés à l’intérieur de ABC on a alors 3X2007 = 6021 segments tracés à la fin de la partie entre Zig et Puce. Puisque 6021 est impair et que c’est Zig qui a
commencé , c’est aussi Zig qui tracera le dernier segment et qui gagnera donc la partie.
