= 3n + 1, alors

Première – spécialité mathématiques – 2020 / 2021 A₄ – cours

1) Sens de variation d'une suite Exemple 1

Si u

= 3n + 1, alors



  ^u _u

⁼¹

1

=4

u

=7 u

=10

donc les termes de la suite augmentent : elle semble croissante.

Définition Soit u une suite.

• u est dite croissante si pour tout n ∈ N , u

à u

;

• u est dite décroissante si pour tout n ∈ N , u

 u

;

• u est dite stationnaire si pour tout n ∈ N , u

= u

;

• u est dite monotone si elle est croissante, décroissante ou stationnaire.

Exemple 1 (suite)

Pour démontrer que la suite (u

) est croissante il faut donc comparer u

et u

. Or on sait que a à b ñ a− b à 0.

Donc il va suffire d'étudier le signe de u

− u

. Mais u

= 3n +1 et donc u

= 3( n+1)+1 = 3 n +4.

Ainsi u

−u

= (3 n+4)−(3 n +1) = 3n +4−3n −1 = 3 > 0.

On a donc bien démontré que u

à u

: la suite est bien croissante !

Méthode 1

Si pour tout entier n, u

− u

? 0, alors la suite (u

) est croissante.

Si pour tout entier n, u

− u

; 0, alors la suite (u

) est décroissante.

Exemple 2

Si u

= 1

n , alors



 

u

=1 u

=

2

=0,5 u

=

3

=0,33 u

=

4

=0,25

et (u

) semble décroissante.

u

− u

= 1

n + 1 − 1

n = n

n( n+1) − n+1 n( n+1) =

) 1 (

) 1 (

+ +

− n n

n

n = n−n −1 n (n+1) =

) 1 (

1 +

− n

n < 0

La suite (u

) est donc décroissante.

Exemple 3

v

= 5 et pour tout n à 0 on pose v

= v

− n

.

On a alors :

 

 ^v _v

⁼⁵ _=v

₋₀

₌₅

v

=v

−1

=4 v

=v

−2

=0 v

=v

−3

=-9

et la suite (v

) semble décroissante.

Mais v

−v

= v

−n

−v

= -n

 0.

Ainsi (v

) est décroissante.

Exemple 4 z

= 2

n pour n à 1.

On a :



 

  ^z

⁼

2¹ 1

=2 z

=

2

=2 z

=

3

=

z

=

4

=

=4 z

=

5

=

=6,4

donc la suite (z

) semble croissante.

z

−z

= 2

n +1 − 2

n = n 2

−(n +1)2

n (n +1) … mais l'étude su signe semble difficile.

Essayons autre chose.

Il faut prouver que z

à z

.

Mais puisque z

est positif, il revient au même, en divisant par z

, de prouver que z

z

à 1.

z

z

=

n

= 2

n +1 × n

2

= 2

2

× n

n +1 = 2n

n+1 = n+ n

n +1 Ã n +1

n +1 = 1 car n à 1.

Ainsi z

z

à 1, et donc z

à z

et la suite (z

) est croissante.

Méthode 2

Si tous les termes de la suite u sont positifs (c’est à dire u

> 0 pour tout entier n), alors : Si pour tout entier n, u

u

? 1, alors la suite (u

) est croissante.

Si pour tout entier n, u

u

; 1, alors la suite (u

) est décroissante.

Exemple 5

On reprend la suite u définie par u

= 1

n pour n à 1.

On a vu que u est décroissante avec le premier critère puisque u

− u

< 0 pour tout entier n à 1.

La suite u étant à termes positifs ( 1

n > 0 pour tout n à 1), on peut aussi appliquer le deuxième critère en calculant u

u

= 1 n + 1

1 n

= 1 n+1 × n

1 = n

n +1 < 1 car 0 < n < n + 1 pour tout n à 1, et donc u est bien décroissante.

Mais dans le cas de cette suite il y a encore plus simple.

Considérons la fonction ƒ(x ) = 1

x telle que u

= 1

n = ƒ(n).

Il est immédiat que, ƒ étant décroissante sur [1 ; + o [ (résultat de seconde), la suite u l’est aussi.

Méthode 3

Si u

= f(n) où f est une fonction définie sur [0 ; + o [ alors :

Si ƒ est croissante sur [0 ; + o [, alors la suite (u

) est croissante.

Si ƒ est décroissante sur [0 ; + o [, alors la suite (u

) est décroissante.

u₁

u₂

u₃ u₄ u₅

Remarque

La démonstration de ce troisième critère est évidente.

Supposons ƒ croissante sur [0 ; + o [.

Pour tout n ? 0, on a : n + 1 ? n et donc ƒ(n + 1) ? ƒ(n) c’est à dire u

à u

Si ƒ est décroissante sur [0 ; + o [,

Pour tout n ? 0, on a : n + 1 ? n et donc ƒ(n + 1) ; ƒ(n) c’est à dire u

 u

Exemple 6

On considère la suite (u

) définie par u

= n

+ n+1.

On a :



  ^u _u

⁼¹

1

=3

u

=7 u

=13

donc (u

) semble croissante.

Mais u

= f ( n) avec f( x) = x

+ x+1.

f est un trinôme du second degré avec a = 1 > 0 donc sa parabole a les branches orientées vers le haut et ainsi f admet un minimum en x = - b

2a = - 1 2 . Donc f est croissante sur

 



  - 1 

2 ;+ õ et en particulier sur [0;+ õ [ donc (u

) est croissante.

Exemple 7

w

= (−1)

pour n à 0.

On a :



  ^w

=1 w

=-1 w

=1 w

=-1 w

=1 w

=-1

(w

) n’est pas monotone.

En effet, w

= w

= w

= … = 1 et w

= w

= w

= … = −1.

Une telle suite est dite alternée.

C'est facile a prouver :

• si n est pair, n = 2 k donc u

= (-1)

= (-1)

= [ (-1)

]

= 1

= 1

• si n est impair, n = 2 k+1 donc u

= (-1)

= (-1)

= (-1)

×(-1)

= 1×(-1) = -1

2) Cas des suites arithmétiques et géométriques Sens de variations d'une suite arithmétique

Une suite arithmétique (u

) de raison r est croissante si r > 0, et décroissante si r < 0.

 Soit une suite arithmétique (u

) de raison r.

(u

) est croissante si pour tout rang n ? 0, u

− u

? 0.

Or pour tout n ? 0, u

− u

= r Donc (u

) est croissante si r ? 0.

Cas décroissante ASDL.

Remarque : suites géométriques

Faisons quelques tests selon différentes valeurs de u

et de la raison q.

u

u

u

u

u

u

sens de

variation

q = 3

u

= 2 6 18 54 162 486 1458 Croiss.

u

= -2 -6 -18 -54 -162 -486 -1458 Décroiss.

q = 1 2

u

= 8 4 2 1 1

2

1 4

1

8 Décroiss.

u

= -8 -4 -2 -1 - 1

2 - 1

4 - 1

8 Croiss.

q = -2

u

= 1 -2 4 -8 16 -32 64 Alternée

u

= -1 2 -4 8 -16 32 -64 Alternée

Sens de variations d'une suite géométrique

Soit (u

) une suite géométrique de raison q et de premier terme u

> 0

• si q > 1, alors (u

) est croissante ;

• si q = 1, alors (u

) est constante ;

• si 0 < q < 1, alors (u

) est décroissante ;

• si q = 0, alors (u

) est nulle à partir du rang 1 ;

• si q < 0, alors (u

) est alternée.

 Soit (u

) géométrique avec u

> 0

• Supposons q > 1

(u

) est donc croissante si pour tout rang n ? 0, u

u

? 1.

Or pour tout rang n ? 0, u

u

= q > 1 Donc (u

) est croissante.

• Si q = 1, alors pour n ? 0, u

= qu

= u

et (u

) est stationnaire.

• Supposons que 0 < q < 1

u

> 0 donc u

= qu

> 0, car q > 0, et ainsi de suite, u

> 0 (u

) est décroissante si pour tout rang n ? 0, u

u

; 1.

Or pour tout rang n ? 0, u

u

= q < 1 Donc (u

) est décroissante.

• Si q = 0, alors pour tout n ? 1, u

qu

= 0.

• Si q < 0, alors u

> 0 donc u

= qu

< 0, puis u

= qu

> 0, de même u

= qu

< 0, etc...

Remarque

Le sens de variations d’une suite géométrique (u

) en fonction de sa raison q et de son premier terme u

est donné par le tableau suivant :

q < 0 0 < q < 1 q > 1

u

> 0 alternée décroissante croissante

u

< 0 alternée croissante décroissante