I.1 Convergence simple d’une suite de fonctions

(1)

aux espaces vectoriels normés)

I Convergence simple, convergence uniforme d’une suite de fonctions

On considère une suite (f_n) de fonctions définies sur une partie Ad’un espace vectorielE de dimension finie, à valeurs dans un espaceF de dimension finie.

On choisit de se placer sur des espaces de dimension finie afin que toutes les normes y soient équivalentes.

I.1 Convergence simple d’une suite de fonctions

a. Définition

On dit que la suite (fn) converge simplement vers la fonction f sur Alorsque, pour tout élémentxdeA,

fn(x) −→

n→+∞f(x) c’est-à-dire lorsque

∀x∈A ∀²>0 ∃N∈N ∀n≥N kf_n(x)−f(x)kF ≤².

Etudier la convergence simple de la suite (f_n), c’est donc étudier, pour chaque x∈A, la suite¡

f_n(x)¢

n∈N. On fixe x, qui joue le rôle d’un paramètre, et on re- garde ce qui se passe quandn→ +∞.

(2)

I.2 Convergence uniforme

a. Définition

On dit que la suite (f_n) converge uniformément vers f surAlorsque, pour tout réel strictement positif², il existe un rangNtel que,

∀n≥N∀x∈A kf_n(x)−f(x)kF ≤². b. Proposition

La convergence uniforme vers f implique la convergence simple vers f. c. Définition

On définit, si

g : A⊂E→F est bornée sur A,

N_∞(g)=Sup¡©

kg(x)kF ; x∈Aª¢

=sup

x∈A

¡kg(x)kF

¢

Bien entendu, si on change de norme surF, on change de norme surB(A,F).

Mais on garde une norme équivalente, non queB(A,F) soit de dimension finie, maisF, lui, l’est. . .

d. Etude pratique

En général, pour montrer la convergence uniforme, on commence par la convergence simple (pour trouver, si elle existe, la limite simple f).

Si, à partir d’un certain rang, fn−f est bornée, et si on sait calculerN_∞(fn−f), on n’a plus qu’à vérifier queN_∞(fn−f)−−−−−→

n→+∞ 0.

Mais, parfois, ce calcul est inabordable ; on peut essayer alors de majorer kfn(x)−f(x)kindépendamment dex:

∀x∈A kf_n(x)−f(x)k ≤αn

Si la suite (αn) converge vers 0, la convergence est bien uniforme.

Pour montrer que la convergence n’est pas uniforme, plusieurs méthodes sont envisageables.

(3)

– S’il n’existe pas de rang à partir duquel fn−f est bornée, la convergence ne peut pas être uniforme. Si les fnsont continues et pas f, même conclusion (voir plus loin).

– Plus technique, si aucune des deux méthodes précédentes ne marche : on peut par exemple essayer de trouver une suite (xn) telle que la suite

¡f(xn)−fn(xn)¢

ne converge pas vers 0. On choisira une suitexnqui tend vers

« là où est le problème ».

– La représentation graphique des fonctions fn (lorsqu’elle est possible) est souvent utile.

I.3 Cas particulier des fonctions bornées

Lemme Si la suite (f_n) converge uniformément versf surA, et si chaquef_nest bornée, f l’est.

On a vu plus haut qu’on munissait comme d’habitude l’espace vectorielB(A,F) des applications bornées surAà valeurs dansF de la normeN_∞:

N_∞(g)=sup

x∈A

kg(x)kF

Alors la convergence uniforme est la convergence pourN_∞:

³

f_n ^C.U.−→

n→+∞f´

⇐⇒

³

N_∞(f_n−f) −→

n→+∞0´

Remarque Comme déjà évoqué plus haut, si on remplace la norme surk.ksur F par une normek.k⁰, N_∞ est remplacée par N_∞⁰ . MaisN_∞⁰ et N_∞ sont équivalentes surB(A,F), c’est une conséquence du fait quek.ketk.k⁰le sont surF. Si

F =R ou F =C, on n’a pas ce problème puisque la norme choisie est systématiquement|.|.

(4)

I.4 Convergence uniforme, convergence pour la norme N

_∞

La convergence pour N_∞ est appelée convergence uniforme, et d’ailleurs on a dit qu’on appelait « norme uniforme » la normeN_∞. . .oui, mais à condition de se situer sur un espace de fonctions bornées (sinon,N_∞n’est pas définie).

Or une suite de fonctions non bornées (exemple : la suite de fonctions (f_n), définies surR par f_n(x)=x+1/n) a le droit de converger uniformément. On n’est alors plus sur un espace de fonctions bornées, ce n’est donc plus de la convergence pourN_∞, mais c’est de la convergence uniforme.

Conclusion : la convergence pourN_∞est de la convergence uniforme, mais on peut aussi avoir convergence uniforme d’une suite de fonctions non bornées, qui n’ont donc pas deN_∞.

I.5 Convergence uniforme sur tout compact

On dit que la suite (f_n) de fonctions (définies sur une partie Ad’un evn de dimension finieE, à valeurs dans un evn de dimension finieF) converge unifor- mément vers f sur tout compact lorsque, pour tout compactK inclus dans A, la suite (f_n|K) converge uniformément surK vers f|K.

Dans la pratique, on est très souvent contraint de se contenter de la convergence uniforme sur tout compact ou sur tout segment.

Si l’ensemble de départ est un intervalle deR, la locution « sur tout compact » peut être remplacée par « sur tout segment ». Non que tout compact soit un segment, mais tout segment est un compact et tout compact est inclus dans un segment.

II Transmission de la continuité par convergence uni- forme

Théorème Si la suite (f_n) converge uniformément vers f surA(ou seulement sur un voisinage dea), et si chaquef_nest continue au pointadeA,f l’est aussi.

Démonstration Précisons les notations : lesf_n(n∈N) sont des fonctions défi- nies sur une partie Ad’un espace vectoriel norméE de dimension finie,

(5)

à valeurs dans un espace vectoriel norméF lui aussi de dimension finie.

Soit²>0 ; fixons un entier naturelNtel que

∀y∈A kfN(y)−f(y)kF ≤²/3

(l’existence d’un tel N est assurée par l’hypothèse de convergence uniforme). Pour toutx∈A, on peut alors majorer, grâce à l’inégalité triangu- laire :

kf(x)−f(a)kF≤ kf(x)−f_N(x)kF+ kf_N(x)−f_N(a)kF+ kf_N(a)−f(a)kF

≤ 2²/3+ kf_N(x)−f_N(a)kF

Par continuité def_N ena, il existeη>0 tel que

∀x∈A kx−akE≤η⇒ kf_N(x)−f_N(a)kF ≤²/3 et on aura alors

∀x∈A kx−akE ≤η⇒ kf(x)−f(a)kF ≤²/3 ce qui conclut.

Remarque : Ce théorème peut donc servir à démontrer qu’une convergence n’est pas uniforme, aussi bien qu’à établir une continuité. Si les f_nsont continues enaet pasf, la convergence ne peut pas être uniforme.

Théorème Si la suite (fn) converge uniformément vers f surA, et si chaque fn

est continue sur A, f l’est aussi.

Théorème Si la suite (f_n) converge uniformément vers f sur tout compact inclus dansA, et si chaquef_nest continue surA, f l’est aussi.

Théorème On suppose ici queAest un intervalle deR. Si la suite (f_n) converge uniformément vers f sur tout segment inclus dans A, et si chaque f_nest continue sur A,f l’est aussi.

Corollaire : SiAest compact,C(A,F) est une partie fermée de l’espace vectoriel normé (B(A,F),N_∞).

(6)

III Théorème de la double limite

Théorème Si la suite (fn) converge uniformément versf surA, siaest un point adhérent àA(éventuellementa= +∞oua= −∞siAest une partie non majorée ou non minorée deR) en lequel chaquefna une limitebn, alors

1. la suite (b_n) converge ; 2. f a une limite ena; 3. lim

x→af(x)= lim

n→+∞(b_n).

Utilisation :Surtout dans le cadre des séries de fonctions. On peut aussi l’utili- ser pour montrer qu’une convergence n’est pas uniforme.

Démonstration :Notons F l’espace d’arrivée,k.kF la norme sur F. Fixons un

²>0. L’hypothèse de convergence uniforme assure l’existence d’un rangNtel que

∀n≥N ∀x∈A kf_n(x)−f(x)k ≤²/2 Mais alors par inégalité triangulaire,

∀p,q≥N ∀x∈A kf_p(x)−f_q(x)k ≤²

et, en prenant les limites quandx→a, on obtient l’énoncé suivant :

∀²>0 ∃N∈N ∀p,q≥N kbp−b_qkF ≤²

On en déduit succesivement que (b_n) est bornée, qu’il existe une application strictement croissanteφdeNdansNtelle que la suite¡

b_φ(n)¢

converge, que la suite¡

b_n−b_φ(n)¢

converge, et donc en définitive que la suite (b_n) converge.

Notons`la limite de la suite (b_n).

Pour toutx∈A, pour toutn∈N, on écrit

kf(x)−`kF ≤ kf(x)−f_n(x)kF+ kf_n(x)−b_nkF+ kb_n−`kF

Soit²>0. Il existe un rangNtel que

∀x∈A kfN(x)−f(x)kF≤²/3 et kbN−`kF ≤²/3 On a alors

∀x∈A kf(x)−`kF ≤2²/3+ kf_N(x)−b_NkF

ce qui amène rapidement la conclusion.

(7)

IV Théorèmes d’approximation uniforme

IV.1 Approximation des fonctions continues par morceaux par des fonctions en escalier sur un segment

Définition Une application f définie sur un segment [a,b] à valeurs dans un espace vectoriel F est dite en escalier lorsqu’il existe une subdivision (x_i)_0≤i≤n de [a,b] telle que la restriction de f à chaque intervalle ouvert ]x_i,x_i+1[ soit constante. Une telle subdivision est dite subordonnée (ou adaptée) à f.

Définition Une application f définie sur un segment [a,b] à valeurs dans un espace vectoriel F de dimension finie est dite continue par morceaux lorsqu’il existe une subdivision (xi)0≤i≤n de [a,b] telle que la restriction de f à chaque intervalle ouvert ]xi,xi+1[ se prolonge en une fonction continue sur le segment [xi,xi+1], ce qui revient à dire que la restriction de f à chaque intervalle ouvert ]xi,xi+1[ est continue et admet une limite et que f admet une limite à gauche et une limite à droite en chacun des xi.

Définition On dit qu’une application est continue par morceaux sur un inter- valleIlorsque sa restriction à chaque segment inclus dansIest continue par morceaux.

Proposition Toute application continue par morceaux d’un segment deRdans un espace vectoriel de dimension finie est limite uniforme sur ce segment d’une suite d’applications en escalier sur ce segment.

Autre formulation Soitf continue par morceaux sur [a,b]. Pour tout réel strictement positif², il existeφen escalier sur [a,b] telle queN_∞¡

f −φ¢

≤². Démonstration

On suppose d’abord que f continue.

D’après le théorème de Heine, f est alors uniformément continue.

Soit²>0 ; il existeη>0 tel que

∀(x,y)∈[a,b]² |x−y| ≤η⇒ kf(x)−f(y)kF ≤² Soit N un entier naturel non nul tel que b−a

N ≤η. On considère alors

(8)

la subdivision ¡

a+kb−a N

¢

0≤k≤N régulière de pas constant b−a

N ≤ηet on considère la fonctionφen escalier définie de la manière suivante, en notantx_k=a+kb−a

N (0≤k≤N) :

∀k∈ 0,N−1 ∀x∈[x_k,x_k₊₁[ φ(x)=f(x_k) On a alors∀x∈[a,b] kf(x)−φ(x)k ≤²ce qui conclut.

Si f n’est que continue par morceaux :

Soit (yj)_0≤j≤p une subdivision de [a,b] adaptée à f. Pour tout j dans

0,p−1, soit fj continue sur [yj,yj+1] qui coïncide avec f sur ]yj,yj+1[.

Soit²>0 ; par le cas précédent, il existe pour chaque j dans0,p−1une fonctionφj en escalier sur [yj,yj+1] telle que

∀j∈ 0,p−1 ∀x∈[yj,yj+1] kfj(x)−φj(x)k ≤² Soit alorsφdéfinie sur [a,b] par

∀j∈ 0,p−1 ∀x∈]yj,y_j+1[ φ(x)=φj(x)

∀j∈ 0,p φ(x)=f(x)

Alorsφest en escalier sur [a,b], et∀x∈[a,b] kf(x)−φ(x)k ≤².

IV.2 Théorème de Weierstrass

Dans le cadre du programme, énoncés seulement pour les fonctions à valeurs réelles ou complexes. Une fonction continue sur un segment est limite uniforme sur ce segment d’une suite de fonctions polynomiales. . .

(9)

V Convergence simple, convergence uniforme des sé- ries de fonctions

V.1 Convergence simple

Soit (f_n)_n_≥₀une suite de fonctions définies sur une partieAd’un espace vectoriel de dimension finie (evndf )E, à valeurs dans un evndfF. On définit la suite de fonctions (S_n), définies surAet à valeurs dansF,

Sn= Xn k=0

f_k

On dira queS_nest la fonction somme partielle d’ordrende la série de fonctions X

n≥0

f_n.

Définition : On dit que la série de fonctionsP

f_n converge simplement sur A lorsque, pour toutx∈A, la sérieP

f_n(x) converge.

Autrement dit lorsque, pour tout x∈ A, lasérie de terme général f_n(x) converge.

Autrement dit lorsque, pour toutx∈A, lasuite¡ S_n(x)¢

n∈Nconverge.

Autrement dit lorsque la suite (Sn) converge simplement surA.

Lorsqu’il y a convergence simple, on peut définir la fonction S : x7−→

+∞X

n=0

f_n(x) que l’on nomme sommede la série de fonctionsP

fn. C’est la limite (pour la convergence simple) de la suite de fonctions (Sn). On peut alors définir la suite de fonctions (Rn) par

Rn=S−Sn

On a, pour toutx∈A,R_n(x)=

+∞X

k=n+1

f_k(x).

Pour tout x, la suite¡ R_n(x)¢

n∈N, comme toute suite de restes qui se respecte, converge vers 0_E. Autrement dit, la suite (R_n) converge simplement vers la fonction nulle (f0_E).

Conclusion :Etudier la convergence simple d’une série de fonctions, c’est étu- dier une série dont le terme général dépend d’un paramètre (x).

(10)

V.2 Convergence uniforme

a. Définition

On dit que la série de fonctionsP

f_n converge uniformément sur Alorsque la suite (S_n) converge uniformément surA.

b. Caractérisation de la convergence uniforme à l’aide des restes Proposition La série de fonctionsP

fnconverge uniformément surAsi et seulement lasuitede fonctions (Sn) converge simplement et lasuitede fonctions (Rn) converge uniformément (vers sa limite simple,f0E).

Utilisation On se sert de cette proposition pour établir le résultat sur la convergence normale (voir plus loin). On l’utilise aussi lorsque le théorème spé- cial sur les séries alternées s’applique à la série de fonctionsP

f_n(x).

V.3 Convergence normale

On rappelle que l’on peut définir, si f est une fonction bornée sur Aà valeurs dansF,

N_∞(f)=sup

x∈A

kf(x)kF =sup¡©

kf(x)kF ; x∈Aª¢

et que l’on définit ainsi une norme surB(A,F).

Définition Lorsque, au moins à partir d’un rangn₀, fn est bornée, et lorsque la série X

n≥n0

N_∞(fn) converge, on dit que la sérieP

fnest normalement convergente.

Remarque Pour une série à termes dans un espace vectoriel normé, la convergence absolue est la convergence d’une série de normes. Il faut donc être attentif à ne pas confondre la convergence normale et la convergence absolue. Et se souvenir que la norme à laquelle fait allusion l’adjectif « normale » est la norme∞.

Proposition SiP

f_nest normalement convergente, elle est uniformément convergente : la convergence normale implique la convergence uniforme.

(11)

V.4 Principes d’étude de la convergence d’une série de fonc- tions

– On commence par donner un nom aux fonctions dont on étudie la série ; on précise bien leur domaine de définition et leur ensemble d’arrivée. On doit donc étudier la convergence de la série de fonctionsP

fnsurA.

– Si lesfnsont bornées, au moins à partir d’un certain rang, et si on pense qu’il pourrait bien y avoir convergence normale, on essaye de montrer la convergence de P

N_∞(fn). Si on aboutit, c’est fini : la série de fonctions converge normalement, donc uniformément, surA. Mais cela ne se passe pas toujours aussi bien. . .

– Pour appliquer les théorèmes sur la continuité ou sur la classe d’une somme de série de fonctions, on n’a besoin que de la convergence uniforme sur tout compact. Supposons les fn continues. On dira : « soitK un compact inclus dans A» (si A est un intervalle, on peut remplacer par « soit K =[a,b] un segment inclus dans A», car tout compact est inclus dans un segment), fn

est continue donc bornée surK. On calcule alorsN_∞(fn|K) ou on la majore, pour essayer de montrer la convergence normale surK.

– Si on pense qu’il n’y a pas convergence normale, même sur tout compact, on commence alors par étudier la convergence simple : on fixe x, on étu- die une série (revoir chapitre sur les séries). Ce n’est qu’après avoir montré la convergence simple que l’on pourra parler de restes et de somme de la série. . .La convergence simple peut être démontrée grâce à un argument de convergence absolue, que l’on ne doit pas confondre avec la convergence normale (l’adjectif « normale » se rapporte à la normeN_∞).

Une fois montrée la convergence simple, on essaye de montrer la conver- gence uniforme de la suite des restes (vers la fonction nulle), au moins sur tout compact ou sur tout segment. Un argument souvent utilisé est la majo- ration du reste dans le Théorème Spécial sur les Séries Alternées.

– Si on a montré la convergence simple, et si on veut montrer qu’elle n’est pas uniforme(on est plutôt ici dans le cadre d’un exercice d’oral), on montre que la suite des restes ne converge pas uniformément vers la fonction nulle.

Si on montre que la suite (fn) ne converge pas uniformément vers la fonction nulle, c’est suffisant pour conclure. Sinon, on essaiera de trouver une suite

(12)

(xn) telle que la suite¡

Rn(xn)¢

ne converge pas vers zéro.

VI Etude de continuité et de limites

VI.1 Théorème de continuité

Théorème Si les f_n sont continues en a, si la sérieP

f_n converge uniformé- ment surA (ou seulement sur un voisinage dea), alors sa somme

+∞X

n=0

f_n est continue ena.

Théorème (bis) Si les fn sont continues sur A, si la sérieP

fn converge uni- formément sur Aou seulement sur tout compact inclus dans A, alors sa somme

+∞X

n=0

fnest continue surA.

Continuité de l’exponentielle exp est continue surC, surMn(K), surL(E) où Eest de dimension finie. . .

VI.2 Théorème de la double limite

Théorème : Si a est adhérent à A, si chaque f_n a une limite `n ena, si P f_n converge uniformément sur A, alors la série P`n converge, la somme

+∞X

n=0

f_na une limite ena, et cette limite est

+∞X

n=0

`n. Autrement dit,sous les hyptohèses précédentes,

xlim→a +∞X

n=0

f_n(x) =

+∞X

n=0

xlim→af_n(x)

(13)

VII Convergence uniforme et intégration sur un seg- ment

VII.1 Suites de fonctions

Proposition Soit (f_n)_n_∈_Nune suite de fonctions continues par morceaux sur un segment [a,b], à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finieE. On suppose que la suite (f_n) converge uniformément vers f, et que f est continue par morceaux. Alors la suite ³Z

[a,b]

f_n´

n∈N converge vers

Z

[a,b]

f.

VII.2 Séries de fonctions

Théorème : Si les f_nsont continues par morceaux sur le segment [a,b], siP f_n converge uniformément sur [a,b], et si la somme

+∞X

n=0

f_n est continue par morceaux sur [a,b], alors la série de terme général

Z

[a,b]

f_nconverge, et Z _b

a

³^+∞X

n=0

f_n(t)´ d t =

+∞X

n=0

³Z _b

a

f_n(t)´ d t

Remarque :Si les f_nsont continues (ce qui sera en général le cas), si la convergence est uniforme, alors

+∞X

n=0

f_nest continue sur [a,b], sans que l’on ait besoin de le vérifier.

Les autres théorèmes (convergence dominée, interversion série-intégrale avec la convergence deP

N₁(f_n)) sont au programme seulement pour des fonctions à valeurs réelles ou complexes, comme tout ce qui concerne l’intégration sur un intervalle quelconque).

(14)

VIII Primitivation de la somme d’une suite ou d’une série de fonctions, suites et séries de fonctions de classe C

¹

VIII.1 Convergence uniforme et primitivation d’une suite de fonctions

Proposition Soit (f_n)_n∈Nune suite de fonctions continues sur un intervalleI, à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finieE. On suppose que la suite (f_n) convergeuniformément sur tout segment inclus dansI vers une fonctionf (qui est donc continue). Soita∈I,F la primitive de f qui s’annule ena, et, pourn∈N,F_nla primitive de f_nqui s’annule en a. Alors la suite (F_n) converge uniformément sur tout segment inclus dansI versF.

Autrement dit, la convergence uniforme sur tout segment se transmet par primitivation (à condition de prendre les primitives s’annulant toutes en un même point donné).

VIII.2 Convergence uniforme et primitivation d’une série de fonctions

Proposition Soit (fn) une suite de fonctions continues sur un intervalle I de R, à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finieE. On suppose que la série de fonctionsP

fnconverge uniformément sur tout segment inclus dansI. Soitaun point deIet, pour toutn,Fnla primitive de fnqui s’annule ena. Alors la série de fonctionsP

Fnconverge unifor- mément sur tout segment, et sa somme (

+∞X

n=0

F_n) est la primitive de

+∞X

n=0

f_n qui s’annule ena.

(15)

VIII.3 Suite de fonctions de classe C

¹

Proposition Soit (f_n)n∈Nune suite de fonctions définies sur un intervalle I, à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie E. On suppose :

1. Les fonctions fnsont de classeC¹surI 2. La suite (f_n)_n∈Nconverge simplement surI

3. La suite (f_n⁰)_n_∈_N converge uniformément sur tout segment inclus dansI

Alorsf, limite de la suite (fn), est de classeC¹surI. Sa dérivée est la limite de la suite (f_n⁰). Et la convergence de la suite (fn) vers f est uniforme sur tout segment.

VIII.4 Série de fonctions de classe C

¹

Proposition Soit Soit (f_n) une suite de fonctions de classeC¹sur un intervalle I de R, à valeurs dans un evndf. On suppose que la série de fonctions Pf_n⁰converge uniformément sur tout segment inclus dansI, et queP

f_n converge simplement surI. Alors

+∞X

n=0

f_nest de classeC¹surI, et sa déri- vée est

+∞X

n=0

f_n⁰.

(16)

VIII.5 Suites et séries de fonctions de classe C

^k

Proposition Soit (fn)n∈Nune suite de fonctions définies sur un intervalle I, à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie E. On suppose :

1. Les fonctions f_nsont de classeC^ksurI

2. Chaque suite (f_n⁽^j))n∈N(0≤j≤k−1) converge simplement surI 3. La suite (f_n^(k))n∈N converge uniformément sur tout segment inclus

dansI

Alors f, limite de la suite (f_n), est de classeC^k surI. Sa dérivée j-ième est, pour tout j entre 1 etk, la limite de la suite (f_n⁽^j)).

Proposition Soit (fn)n∈Nune suite de fonctions définies sur un intervalle I, à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie E. On suppose :

1. Les fonctions f_nsont de classeC^∞surI 2. La suite (fn)n∈Nconverge simplement surI

3. Chaque suite (f_n^(j⁾)n∈N(j≥1) converge uniformément sur tout segment inclus dansI

Alors f, limite de la suite (fn), est de classeC^∞surI. Sa dérivée j-ième est, pour tout j, la limite de la suite (f_n⁽^j)).

Proposition Soit Soit (fn) une suite de fonctions de classeC^psur un intervalle I de R, à valeurs dans un evndf F. On suppose que les séries de fonc- tionsX

n

fn,X

n

f_n⁰,. . .,X

n

f_n^(p⁻¹⁾convergent simplement surI, et queX

n

f_n^(p)

converge uniformément sur tout segment inclus dans I. Alors

+∞X

n=0

f_n est de classeC^p surI, et, pour tout j∈[1,p], sa dérivée j-ième est

+∞X

n=0

f_n⁽^j). Proposition Soit Soit (f_n) une suite de fonctions de classeC^∞sur un intervalle

IdeR, à valeurs dans un evndf. On suppose que la série de fonctionsX

n

f_n convergent simplement surIpour toutj∈N, et queX

n

f_n⁽^j)converge uni- formément sur tout segment inclus dansI pour j ≥1. Alors

+∞X

n=0

f_nest de

(17)

classeC^∞surI, et, pour tout j∈N_∗, sa dérivéej-ième est

+∞X

n=0

f_n^(j⁾.

VIII.6 Application à l’exponentielle de matrice

L’exponentielle a une propriété fondamentale (voir résolution des systèmes li- néaires à coefficients constants) :

Proposition Soit A∈Mn(K) (K=R ouK=C). L’application t 7→exp(t A) est de classeC^∞surR; sa dérivée est l’applicationt7→ A exp(t A) ou, autre manière d’écrire la même chose,t7→exp(t A)A.

Proposition Soitu un élément deL(E), oùE est un espace vectoriel normé de dimension finie. L’applicationt7→exp(t u) est de classeC^∞surR; sa dérivée est l’application

t7→u exp(t u) ou, autre manière d’écrire la même chose,t7→exp(t u)u.

En résumé,

d

dt(exp(t A)=Aexp(t A)=exp(t A)A d

dt(exp(t u)=u◦exp(t u)=exp(t u)◦u

(18)

Table des matières

I Convergence simple, convergence uniforme d’une suite de fonctions 1

I.1 Convergence simple d’une suite de fonctions . . . 1

a. Définition . . . 1

I.2 Convergence uniforme . . . 2

b. Proposition . . . 2

c. Définition . . . 2

d. Etude pratique . . . 2

I.3 Cas particulier des fonctions bornées . . . 3

I.4 Convergence uniforme, convergence pour la normeN_∞ . . . 4

I.5 Convergence uniforme sur tout compact . . . 4

II Transmission de la continuité par convergence uniforme 4 III Théorème de la double limite 6 IV Théorèmes d’approximation uniforme 7 IV.1 Approximation des fonctions continues par morceaux par des fonctions en escalier sur un segment . . . 7

IV.2 Théorème de Weierstrass . . . 8

V Convergence simple, convergence uniforme des séries de fonctions 9 V.1 Convergence simple . . . 9

V.2 Convergence uniforme . . . 10

b. Caractérisation de la convergence uniforme à l’aide des restes 10 V.3 Convergence normale . . . 10

V.4 Principes d’étude de la convergence d’une série de fonctions . . . 11

VI Etude de continuité et de limites 12 VI.1 Théorème de continuité . . . 12

VI.2 Théorème de la double limite . . . 12

(19)

VIIConvergence uniforme et intégration sur un segment 13

VII.1Suites de fonctions . . . 13

VII.2Séries de fonctions . . . 13

VIIIPrimitivation de la somme d’une suite ou d’une série de fonctions, suites et séries de fonctions de classeC¹ 14 VIII.1Convergence uniforme et primitivation d’une suite de fonctions . 14 VIII.2Convergence uniforme et primitivation d’une série de fonctions . 14 VIII.3Suite de fonctions de classeC¹ . . . 15

VIII.4Série de fonctions de classeC¹ . . . 15

VIII.5Suites et séries de fonctions de classeC^k . . . 16

VIII.6Application à l’exponentielle de matrice . . . 17