la suite de fonctions définies sur \

PanaMaths

[1 - 2]

Décembre 2014

Soit ( ) ^f

ⁿ

la suite de fonctions définies sur \

₊

par :

( )

_{2 2}

n

1 nx

f x

= n x

+

1. Etudier la convergence simple de ( ) ^f

ⁿ

^{sur \}

⁺

^.

2. Etudier la convergence uniforme de ( ) ^f

ⁿ

^{sur \}

⁺

^{puis sur}

^⎡⎣

^{α ;} +∞

^⎡⎣

(où α > 0 ).

Analyse

Un exercice d’application du cours permettant de mettre en œuvre les notions/techniques fondamentales autour de la convergence des suites de fonctions.

Résolution

Question 1.

Notons d’abord que l’on a : ∀ ∈n `^, fn

( )

⁰ =⁰. Soit alors x un réel strictement positif.

On a : ^lim

( )

^lim _{2 2} ^lim _{2 2} ^{lim 1 0}

n 1

n n n n

nx nx

f x

n x n x nx

→+∞ = →+∞ = →+∞ = →+∞ =

+ .

Finalement :

La suite

( )

fn converge vers la fonction nulle sur \₊.

Question 2.

Pour l’étude de la convergence uniforme de la suite

( )

fn sur \₊, nous recherchons, pour tout n entier naturel non nul (pour n=0, on a affaire à la fonction nulle) , f_{n ∞}.

La fonction f_n est dérivable sur \₊ comme fonction rationnelle définie sur cet intervalle et on a, pour tout x réel positif :

( ) ( )

( ) ( ) ⁽ ( ^{) (} ) ⁾

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 2 1 1 1

'

1 1 1

n

n n x nx n x n x nx nx

f x n n

n x n x n x

× + − × − + × −

= = × = ×

+ + +

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[2 - 2]

Décembre 2014

Comme 1+nx≥ >1 0, on en déduit immédiatement que le signe de fn^'

( )

x est identique à celui de 1−nx :

• Pour tout x réel dans 1 0 ;n

⎡ ⎡

⎢ ⎢

⎣ ⎣, on a : 1−nx>0.

• Pour tout x réel dans 1 n;

⎤ + ∞⎡

⎥ ⎢

⎦ ⎣, on a 1−nx<0.

La fonction f_n est strictement croissante sur l’intervalle 1 0 ;n

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦ et strictement décroissante sur l’intervalle 1

n;

⎡ + ∞⎡

⎢ ⎢

⎣ ⎣. Elle atteint donc son maximum en 1

n et la valeur de ce maximum

est : ₂

2

1

1 1

1 2 1

n

n n f n

n n

⎛ ⎞ = × =

⎜ ⎟⎝ ⎠ + ×⎜ ⎟⎛ ⎞⎝ ⎠ .

Enfin, on a : fn

( )

⁰ =⁰ et ^lim

( )

^lim _{2 2} ^lim _{2 2} ^{lim 1 0}

n 1

x x x x

nx nx

f x

n x n x nx

→+∞ = →+∞ = →+∞ = →+∞ =

+ .

On en déduit finalement : 1

*, ⁿ 2

n f _∞

∀ ∈` = .

La suite

(

^fn ∞

)

ne converge donc pas vers 0 et finalement :

La suite

( )

fn ne converge pas uniformément vers la fonction nulle sur \₊.

L’étude précédente nous conduit à étudier la convergence de la suite

( )

fn sur un intervalle de la forme

[

^{α;+ ∞}

[

puisque, pour n suffisamment grand, on aura 1

n<α. Ainsi, pour 1

n^>α , c'est-à-dire 1

E 1

n^{≥ ⎛ ⎞⎜ ⎟}_{⎝ ⎠}α ^{+ , on aura fn} strictement décroissante et

2 2

1

n n 1

f f n

n α

α α

∞

= ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= + .

Il vient alors : _{2 2 2 2} 1

lim lim lim lim 0

n 1

n n n n

n n

f n n n

α α

α α α

→+∞ ∞ = →+∞ = →+∞ = →+∞ =

+ .

On en conclut :

La suite

( )

fn ne converge uniformément vers la fonction nulle sur tout intervalle de la forme

[

^{α;+ ∞}

[

^{(α >0).}