Convergence simple des suites de fonctions suivantes:

PC : Semaine 10  Suites et séries de fonctions. Convergence simple et convergence normale.

Convergence simple des suites de fonctions suivantes:

1) I =[ 0,1 ] , ^f n : x x ⁿ 2) I =[ 0,1 [ , ^f n : x n ² x ⁿ 1 – x 

3) I =[ 0,∞ [ , ^f n : x _e ^{– x}

Soit ^f n : ℝ ℝ, ^x 1 x ^{2 n1}

1 x ^{2n n} ∈ ℕ ^* , montrer que la suite de fonctions ^{ f} n  converge simplement sur ℝ. Préciser la limite simple ^f . Courbe de ^f .

Soit ^f n : ℝ ℝ, x 2 ⁿ x

1n2 ⁿ x ² n ∈ ℕ,

1) Étudier la convergence simple sur ℝ de la suite ^{ f} n  . 2) Calculer ∫

0 1

f _n et lim

n  ∞ ∫

0 1

f _n .

On considère la suite ^{ f} n  , où ^f n est définie sur ℝ par f _n  x =  ^cos  ^{x n}  ⁿ ; étudier la convergence simple de ^{ f} n  .

Étudier la convergence simple de la suite de fonctions ^{ f} n  où ^f n : x nx ² e ^{– nx}

1 – e ^{– x}  ² et f _n 0=n

Montrer que la série de terme général u _n x =ne ^{– nx} est normalement convergente sur [ a ;∞[

pour tout a 0 . Calculer ∑

1

∞

ne ^{– nx} pour x 0 .

a) Montrer que pour tout ⁿ ∈ ℕ ^* , pour tout ^x ∈ ℝ, ∣ sin nx  ∣  n∣ sin x∣ . b) En déduire la convergence normale sur ℝ de la série de fonctions ∑

n1 .

f _n où ^f n est définie par : f _n : ℝ ℝ, x f _n x  = sin nx

n ³ sinx si sin x ≠ 0 et 0 si sin x = 0.

1.

2.

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7.

On considère la fonction g définie sur ] 0 ;∞[ par g  x= ∑

n0

. – 1 ⁿ

n! xn

1. Justifier que g est définie sur ] 0 ;∞[ et déterminer le signe de g sur ] 0 ;∞[

2. Calculer g 1 .

3. Montrer que g est continue sur ] 0 ;∞[ .

1. Justifier la définition de la fonction : f : ℝ ℝ, x ∑

1

∞ 1

n cos ⁿ x sin nx 2. Montrer que f est de classe C ¹ sur ℝ \ ℤ ; calculer f ' .

3. En déduire f .

Pour x ∈ ℝ, f  x = ∑

n=0

∞

e ^{– x  n} 1. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction f . 2. Prouver que f est continue sur ^D f .

3. On pose ^S N = ∑

n=0 N

e ^{– x  n} et v _x t =e ^{– x  t} pour t0 . Déterminer un encadrement de ^S N et en déduire un équivalent simple de f au voisinage de 0 .

Soit f _n : [ 0 ;∞[  ℝ, x arctan xn

1 nx . Montrer que la suite de fonctions  f _n  converge simplement sur [0 ;∞[ .

Soit ^f n : [0 ;1] ℝ, x 3 ⁿ  x ²

– x ²

 n ∈ ℕ, 3) Étudier la convergence simple de la suite ^{ f} n  . 4) Calculer ∫

0 1

f _n et lim

n  ∞ ∫

0 1

f _n .

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Éléments de correction:

Remarquer qu'il y a des points fixes : ^f n 1 =1 ; ^f n 0=1 et f _n  – 1= 0 . Pour ∣ x ∣ 1 , f _n  x  est équivalent à x et pour

∣x ∣ 1 , lim _{n  ∞} f _n x = 1 .

Distinguer le cas x= 0 du cas x ≠ 0 . pour x ≠0 , f _n  x ~ 1

nx .

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3.

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12.

I _n = ∫

0 1

f _n  x d x= ln2 2

f _n  x =  ^cos  ^x n  ^{n  n lim  ∞ f n  x =e – x}

^/2

lim

n  ∞

f _n 0= 

2 et pour ^{x 0} , ^f n  x   arctan  1 x 

( comme pour x 0 , arctan  ^{1 x}  ^{=  2 – arctanx} , on conclut que ^{ f} n  converge simplement vers

x 

2 – arctan x . lim

n  ∞ 2 ⁿ lnx  nln3=– ∞ donc lim

n  ∞

3 ⁿ x ²

= 0 et lim _{n ∞} f _n  x = 0 car 0 f _n  x 3 ⁿ x ²

∫

0 1

f _n ~ 6 ⁿ

2.4 ⁿ  ∞

4.

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