Suites et séries de fonctions

Chapitre IV

Suites et séries de fonctions

C’est au XIX^esiècle que les mathématiciens comprennent peu à peu l’importance qu’il y a à distinguer différents types de convergence pour une suite de fonctions. Weierstrass, en, est le premier à utiliser le terme de convergence uniformeet à comprendre qu’il s’agit d’une des idées fondamentales de l’analyse.

Dans ce chapitre, nous allons considérer une suite de fonctionsfn: I→K,n∈Net donner un sens à la notion de convergence simple puis de convergence uniforme de la suite de fonctions (f_n). Ces notions seront ensuite étendues aux séries de fonctions.

Nous supposerons les deux modulesnumpyetmatplotlib.pyplotimportés par le biais des instructions : import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

1. Convergence d’une suite de fonctions

Dans toute cette partie, on considère un intervalle I deR, et une suite de fonctions (f_n) définies sur I et à valeurs dansK=RouC.

1.1 Convergence simple

La première façon d’étudier la convergence de la suite de fonctions (f_n) consiste,pour chaque valeurx∈I, à étudier la convergence de la suite numérique (f_n(x)). Ceci conduit à la définition :

Définition.— On dit que la suite de fonctions(fn) converge simplementversf : I→Klorsque pour toutx∈I, la suite numérique

f_n(x)

n∈Nconverge versf(x).

Exemple. Considérons l’intervalle [0,π] et la suite de fonctions (f_n) définie parf_n:x7→(sinx)ⁿ. – Six,π/2 on a sinx∈[0,1[ donc lim

n→+∞(sinx)ⁿ= 0 ; – Six=π/2 on a sinx= 1 donc lim

n→+∞(sinx)ⁿ= 1.

On en déduit que la suite (f_n) converge simplement sur l’intervalle [0,π] vers la fonctionf :x7→











0 six,π/2 1 six=π/2. Utilisons Python pour visualiser le graphe des premières fonctionsfn:

def f(n, x):

return np.sin(x)**n

X = np.linspace(0, np.pi, 256) for n in range(1, 101, 5):

Y = [f(n, x) for x in X]

plt.plot(X, Y) plt.grid()

plt.show()

(Le résultat est représenté figure 1.)

On peut déjà faire une première observation : bien que toutes les fonctionsfnsoient continues sur [0,π], leur limite simplef présente une discontinuité enπ/2. C’est là un des défauts de la convergence simple sur lequel on reviendra : les propriétés locales (continuité, limite, . . .) ne sont pas préservées par ce mode de convergence.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Figure1 – Le graphe des premières fonctionsf_net leur limite simple.

Exercice 1

Pour toutn∈N^∗, on définit la fonctionf_n: [0,+∞[→Rpar :f_n(x) =











1−x n

⁻n

six < n 0 six>n . Déterminer sa limite simplef.

Nous l’avons vu sur le premier exemple : la convergence simple ne préserve pas la continuité. Elle ne préserve pas non plus le passage à la limite : en général, sous la seule hypothèse de convergence simple, lim

x→a lim

n→+∞fn(x),

nlim→+∞lim

x→afn(x), comme le montre l’exercice ci-dessus (aveca= +∞).

En l’absence d’hypothèses supplémentaires, les seules propriétés préservées par la convergence simple sont celles qui ne font pas intervenir le comportement local des fonctions, comme par exemple :

Proposition1.1— Soit(f_n)une suite de fonctions croissantes qui converge simplement sur l’intervalleIvers une fonctionf. Alorsf est aussi croissante surI.

Proposition1.2— Soit(f_n)une suite de fonctions positives qui converge simplement sur l’intervalleIvers une fonctionf. Alorsf est aussi positive surI.

Pour obtenir des propriétés plus fortes, il faut adopter une définition de la convergence plus exigeante.

1.2 Convergence uniforme

Définition.— SoientIetJdeux intervalles tels queJ⊂I, etf : I→Kune fonction. Lorsquef estbornéesurJon appellenorme uniformedef surJla quantité

kfk_∞,J= supn

|f(x)| x∈Jo

Dans le cas particulier où J = I (intervalle de définition def) on se contentera de noterkfk_∞au lieu dekfk_∞,I. Définition.— On dit que la suite de fonctions(f_n) converge uniformémentsurJvers une fonctionf : J→K lorsque les fonctionsf_n−f sont bornées (à partir d’un certain rang) surJet

nlim→+∞

kf_n−fk_∞,J= 0

La quantitékfn−fk_∞,Jdoit être interprétée comme ladistance(uniforme) entrefnetf sur l’intervalle J.

Proposition1.3— Si(f_n)converge uniformément versf, elle converge aussi simplement versf.

Ce résultat est important car il nous indique la démarche à suivre pour étudier la convergence d’une suite de fonctions (fn) :

(i) on détermine limite simplef;

(ii) sur un intervalle J sur laquelle la fonctionf est définie, on calcule (ou éventuellement on encadre) kf_n−fk_∞,Jpour étudier la convergence uniforme.

Remarque. Si J₁⊂J₂on akf_n−fk_∞,J

16kf_n−fk_∞,J

2donc la convergence uniforme sur J₂entraîne la convergence uniforme sur J₁. En particulier, s’il y a convergence uniforme sur I, il y aa fortioriconvergence uniforme sur tout intervalle inclus dans I.

Exercice 2

Pour toutn∈N^∗, on considère la fonctionfn:x7→ x

√ n

1 +nx², définie sur l’intervalle [0,+∞[.

a. Déterminer sa limite simplef sur [0,+∞[.

b. Former le tableau des variations defn−f sur [0,+∞[, et en déduire la valeur dekfn−fk_∞sur cet intervalle.

La convergence est-elle uniforme sur [0,+∞[ ?

c. Considérons maintenant un réel α>0 fixé. Former le tableau des variations defn−f sur [α,+∞[ en distinguant les casn6 1

α² etn> 1

α², et en déduire la valeur dekf_n−fk_{∞,[α,+∞[}. La convergence est-elle uniforme sur [α,+∞[ ?

def f(n, x):

return x * np.sqrt(n) / (1 + n * x**2) X = np.linspace(0, 20, 256)

for n in range(1, 6):

Y = [f(n, x) for x in X]

plt.plot(X, Y) plt.grid()

plt.show()

0.0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0 17.5 20.0 0.0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Figure2 – Le graphe des premières fonctionsf_nde l’exercice 2.

1.3 Régularité de la limite uniforme

Nous allons maintenant passer en revue les principales propriétés de la convergence uniforme, c’est à dire les propriétés des fonctionsfnqui sont transmises à leur limite uniformef.

Rappel.Une fonctionf : I→Kestcontinueena∈I lorsque pour tout>0 il existe un réelη>0 tel que pour toutx∈I,

|x−a|6η=⇒ |f(x)−f(a)|6.

Théorème1.4— Soit(f_n)une suite de fonctions convergeant uniformément vers une fonctionf sur un intervalleI, eta∈Iun point en lequel toutes les fonctionsf_nsont continues. Alorsf est aussi continue ena.

Corollaire— Une limite uniforme de fonctions continues surIest aussi continue surI.

Remarque. La continuité étant une notion locale, il n’est pas forcément nécessaire de prouver la convergence uniforme sur I tout entier pour pouvoir justifier de la continuité de la fonctionf.

Supposons par exemple I = [0,+∞[. S’il n’y a pas convergence uniforme sur I mais seulement sur tout intervalle [0,α], la limitef sera néanmoins continue sur [0,+∞[. En effet, si on considère un réela>0, il suffit de choisir un réelα> aet d’appliquer le théorème 1.4 sur l’intervalle [0,α] : puisqu’il y a convergence uniforme sur [0,α], la fonctionf est continue ena. Et puisqueaest un réel quelconque de [0,+∞[,f est bien continue sur cet intervalle.

Le même cas se produit lorsque I = ]0,+∞[ et lorsqu’il y a convergence uniforme sur tout intervalle de la forme [α,+∞[ avecα>0 : tout réel a >0 peut être englobé dans un intervalle de cette forme, et le théorème 1.4 appliqué sur l’intervalle [α,+∞[ permet alors de justifier la continuité def ena.

Ce type de démarche sera appelée unepreuve par recouvrementde la continuité def sur I. Par exemple, le recouvrement par des segments permet d’énoncer le corollaire :

Corollaire— Soit(fn)une suite de fonctions continues qui converge uniformément versf sur tout segment inclus dansI. Alorsf est continue surI.

Exercice 3

Soit (f_n) une suite de fonctions continues qui converge uniformément versf sur l’intervalle I, et (x_n) une suite d’éléments de I qui converge vers`∈I. Montrer que la suite

fn(x_n)

n∈Nconverge versf(`).

Intégration d’une suite de fonctions

Théorème1.5— Soit(f_n)une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers une fonctionf sur un segment[a, b]. Alors la suite numérique

Zb a

fn(t) dt

converge vers Z _b

a

f(t) dt. Autrement dit :

nlim→+∞

Zb a

f_n(t) dt= Zb

a

nlim→+∞f_n(t) dt.

Exercice 4

Étudier la convergence simple sur

0,π 2

de la suite (f_n) définie par f_n(x) =n(cosx)ⁿsinx, puis calculer Z ^π₂

0

nlim→+∞f_n(x) dxet lim

n→+∞

Z ^π₂

0

f_n(x) dx. La convergence est-elle uniforme sur

0,π 2

?

Dérivation d’une suite de fonctions

Observons figure 3 deux fonctions « proches » pour la norme uniforme. On constate que ces deux fonctions délimitent également des aires algébriques proches, ce que traduit le théorème 1.5. En revanche, ces deux mêmes fonctions peuvent avoir des dérivées très éloignées pour la norme uniforme. Il ne faut donc pas s’étonner que le théorème de dérivation d’une suite de fonctions ait une hypothèse de convergence uniforme portant non pas sur la suite (f_n) mais sur la suite des dérivées (f_n⁰).

Les graphes des fonctionsf etg

0 1 2 3 4 5 6 7

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

1.4 Les graphes des fonctionsf⁰etg⁰

0 1 2 3 4 5 6 7

0.6 0.4 0.2 0.0 0.2 0.4 0.6

Figure3 – Deux fonctions proches pour la norme uniforme, et leurs dérivées.

Théorème1.6— Soit(f_n)une suite de fonctions de classesC¹surI, telle que : (i) (f_n)converge simplement vers une fonctionf surI;

(ii) (f_n⁰)converge uniformément vers une fonctiongsurI.

Alorsf est de classeC¹surI, etf⁰=g.

Remarque. À l’instar de la continuité, la dérivabilité est un propriétélocale, ce qui permet d’effectuer une preuve par recouvrement de la dérivabilité de la fonctionf : pour prouver quef est de classeC¹sur I, il suffit de prouver quef est de classeC¹sur un ensemble d’intervalles recouvrant I, par exemple sur tout segment inclus dans I.

Extension aux fonctions de classeC^k

On peut ajouter une conclusion supplémentaire au théorème 1.6 : non seulementf est de classeC¹sur I, mais en plus,la convergence de(f_n)versf est uniforme sur tout segment.

Considérons alors une suite de fonctions (f_n) de classesC²sur I vérifiant : (i) (f_n) converge simplement vers une fonctionf sur I ;

(ii) (f_n⁰) converge simplement vers une fonctiongsur I ;

(iii) (f_n⁰⁰) converge uniformément vers une fonctionhsur tout segment inclus dans I.

Compte tenu du théorème 1.6 et de son complément, les propriétés(ii)et(iii)prouvent :

(iv) la fonctiongest de classeC¹sur I,g⁰=het la convergence de (f_n⁰) versgest uniforme sur tout segment inclus dans I.

Mais alors, le théorème 1.6 associé aux propriétés(i)et(iv)prouve quef est de classeC²sur I, quef⁰=get donc quef⁰⁰=h.

En généralisant on obtient :

Proposition1.7— Soit(f_n)une suite de fonctions de classesC^ktelle que : (i) (f_n)converge simplement vers une fonctionf surI;

(ii) pour touti∈~1, k−1,(fn⁽ⁱ⁾)converge simplement vers une fonctiong_i surI; (iii) (fn^(k))converge uniformément vers une fonctiong_ksur tout segment deI.

Alorsf est de classeC^k, et pour touti∈~1, k,f⁽ⁱ⁾=g_i.

2. Convergence d’une série de fonctions

Nous allons maintenant adapter les définitions et résultats précédents au cas des séries de fonctions.

2.1 Convergence simple et absolue

Dans cette partie, on considère un intervalle I et une suite de fonctions (f_n) définies sur I.

Définition. — On dit que la série de fonctions X

fn converge simplement lorsque pour tout x∈ I, la série numériqueX

f_n(x)converge, et qu’elle convergeabsolumentlorsque pour toutx∈I, la série numériqueX

|f_n(x)| converge.

Nous avons déjà vu dans le chapitre consacré aux séries numériques que la convergence absolue entraine la convergence simple.

Dans le cas où la sérieX

f_nconverge simplement, on définit une fonction S : I→Ken posant :

∀x∈I, S(x) =

+∞

X

n=0

f_n(x).

2.2 Convergence uniforme et normale

Définition.— On dit que la série de fonctionX

fnconvergeuniformémentvers une fonctionS : I→Klorsque la suite des sommes partielles converge uniformément versSsurI, c’est à dire :

nlim→+∞

S−

Xn

k=0

f_k ∞,I= 0.

Nous savons déjà que la convergence uniforme entraîne la convergence simple. Si cette dernière est déjà acquise, nous pouvons définir la fonctionreste au rangnen posant :

∀x∈I, Rn(x) = S(x)− Xn k=0

fk(x) =

+∞

X

k=n+1

fk(x)

ce qui permet de retenir comme définition alternative le résultat suivant : Proposition2.1— La série de fonctionX

f_nconvergeuniformémentsurIlorsque : (i) la série de fonctionsX

f_nconverge simplement surI; (ii) lim

n→+∞

kR_nk_∞,I= 0.

Nous allons maintenant introduire une notion spécifique aux séries de fonctions et qui va constituer un cas particulier de convergence uniforme, en adoptant la définition suivante :

Définition.— On dit que la série de fonctionsX

fnconvergenormalement(= au sens de la norme) surIlorsque la série numériqueX

kf_nk_∞,Iconverge.

Le fait majeur, qui donne tout son intérêt à la notion de convergence normale, est le Théorème2.2— Toute série normalement convergente est uniformément convergente.

Remarque. On peut résumer les 4 modes de convergence possible d’une série de fonctions par le schéma suivant :

CV Normale CV Absolue

CV Uniforme CV Simple Les modes qui nous sont utiles sont :

– la convergence simple pour définir la fonction S ;

– la convergence uniforme pour utiliser les théorèmes de régularité qui assureront la continuité, la dérivabi- lité, etc., de la fonction S.

De ce fait, l’étude d’une série de fonctions suivra peu ou prou le modèle suivant : (1) établir la convergence simple deX

f_nsur I ;

(2) si la convergence est absolue, calculerkfnk_∞ pour prouver la convergence normale sur I ou sur tout segment inclus dans I ;

(3) si la convergence n’est pas absolue, majorerkR_nk_∞en vue de prouver la convergence uniforme sur I ou sur tout segment inclus dans I.

On notera que le point (3) intervient essentiellement dans le cadre du critère spécial relatif aux séries alternées, critère qui donne une majoration du reste (revoir le cours sur les séries numériques).

Exemple. La fonctionzêtade Riemann est définie par :ζ(x) =

+∞

X

n=1

1 n^x. Pour toutn>1 etx >0, posonsfn(x) = 1

n^x.

La technique de comparaison à une intégrale permet de prouver la convergence simple de la sérieX fn sur ]1,+∞[ ; ainsi la fonctionζest définie sur ]1,+∞[.

Le tableau des variations de la fonctionf_nsur ]1,+∞[ est le suivant :

x 1 α +∞

f_n(x) 1 n

0 Sur l’intervalle ]1,+∞[, nous avonskf_nk_∞= 1

n, mais comme la sérieX1

ndiverge, la convergence n’y est pas normale. En revanche, sur l’intervalle [α,+∞[ (avec un réel arbitraireα>1) nous avonskf_nk_{∞,[α,+∞[}= 1

n^α, et puisque la sérieX 1

n^α converge, la convergence y est normale, donc uniforme.A fortiori, la convergence est uniforme sur tout segment inclus dans ]1,+∞[.

Exemple. La fonctionêtade Dirichlet est définie par :η(x) =

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ n^x .

Le critère spécial relatif aux séries alternées prouve la convergence simple de la sérieX

(−1)ⁿ⁻¹fnsur ]0,+∞[ ; ainsi la fonctionηest définie sur ]0,+∞[.

De plus, toujours d’après le critère spécial,|R_n(x)|=

+∞

X

k=n+1

(−1)^k−1f_k(x)

6|f_n+1(x)|= 1 n^x.

Sur l’intervalle ]0,+∞[ on en déduit quekR_nk_∞61, ce qui est insuffisant pour prouver la convergence uniforme.

En revanche, pour toutβ>0 nous avons sur l’intervalle [β,+∞[ :kR_nk_{∞,[β++∞[}6 1

n^β et lim

n→+∞

1

n^β = 0, ce qui prouve la convergence uniforme sur [β,+∞[.A fortiori, la convergence est uniforme sur tout segment inclus dans ]0,+∞[.

Exercice 5

Pour toutn∈Non définit les fonctionsf_n:x7→ 1

1 +n²x etg_n:x7→ (−1)ⁿ

1 +nx. Montrer que les sériesX f_n et Xg_nconvergent simplement sur ]0,+∞[. Sur quels intervalles peut-on établir la convergence uniforme ?

2.3 Régularité de la somme d’une série de fonctions

Nous allons maintenant traduire les théorèmes relatifs aux suites de fonctions dans les cas particulier des séries, en les appliquant à la suite des sommes partielles :

Théorème2.3— Si la série de fonctionsX

f_nconverge uniformément et si pour toutn∈N, la fonctionf_n est continue en un pointadeI, alors la sommeSest continue ena. En particulier, si toutes les fonctionsfnsont continues surI, il en est de même de leur somme.

Remarque. À l’instar des suites de fonctions, il est fréquent d’avoir à procéder par recouvrement pour prouver la continuité d’une fonction définie par une série. En particulier, on pourra utiliser le corollaire suivant : Corollaire— Si(f_n)est une suite de fonctions continues surIet si la sérieX

f_nconverge uniformément sur tout segment inclus dansI, alors la sommeSest elle aussi continue surI.

Exemple. Compte tenu des deux exemples traités dans la section précédente, on peut affirmer que la fonction zêtade Riemann est continue sur tout intervalle [α,+∞[ avecα>1 donc par recouvrement sur ]1,+∞[. De même, la fonctionêtade Dirichlet est continue sur tout intervalle [α,+∞[ avecα>0 donc par recouvrement sur ]0,+∞[.

Intégration de la somme d’une série de fonctions

Le théorème d’intégration d’une suite de fonctions appliqué à la suite des sommes partielles d’une série de fonctions fournit le résultat suivant :

Théorème2.4— Soit(fn)une suite d’applications continues sur[a, b], telle que la sérieX

fnconverge uniformément sur ce segment. Alors la sérieXZb

a

f_n(t) dtconverge, et :

+∞

X

n=0

Z b a

fn(t) dt= Z b

a

X^+∞

n=0

fn(t)

dt.

Exercice 6

a. Montrer que la fonction S :x7→

+∞

X

n=1

ne^−nxest définie et continue sur ]0,+∞[.

b. Calculer Zx

1

S(t) dtpour toutx >0 et en déduire une expression de S(x) sans symbole de sommation.

Dérivation de la somme d’une série de fonctions

Théorème2.5— Soit(f_n)une suite de fonctions de classeC¹sur un intervalleI, à valeurs réelles ou complexes.

On suppose que la sérieX

f_nconverge simplement surI, et que la sérieX

f_n⁰converge uniformément surI. Alors la fonctionx7→

+∞

X

n=0

fn(x)est de classeC¹surI, et sa dérivée est la fonctionx7→

+∞

X

n=0

f_n⁰(x).

Remarque. Comme précédemment, il est fréquent de devoir procéder par recouvrement, ou d’utiliser le corollaire suivant.

Corollaire— Soit(f_n)une suite de fonctions de classeC¹sur un intervalleI, à valeurs réelles ou complexes. On suppose que la sérieX

fnconverge simplement surI, et que la sérieX

f_n⁰converge uniformément sur tout segment inclus dansI. Alors la fonctionx7→

+∞

X

n=0

f_n(x)est de classeC¹surI, et sa dérivée est la fonctionx7→

+∞

X

n=0

f_n⁰(x).

Exemple. Pour montrer que la fonctionζde Riemann est de classeC¹sur son intervalle de définition ]1,+∞[, nous devons considérer la série des dérivéesX

f_n⁰(x) =X

−lnn n^x . Sur tout intervalle [α,+∞[ nous avonskf_n⁰k_{∞,[α,+∞[}=lnn

n^α . Siβdésigne un réel vérifiant : 1<β<α, nous avons kf_n⁰k_{∞,[α,+∞[}= o

1 n^β

, donc la sérieX

kf_n⁰k_{∞,[α,+∞[}converge.

La convergence de la série des dérivéesX

f_n⁰est normale, donc uniforme, sur l’intervalle [α,+∞[ ; on peut donc affirmer que la fonctionζest de classeC¹sur cet tout intervalle de la forme ]α,+∞[, puis par recouvrement sur ]1,+∞[, et que :

∀x >1, ζ⁰(x) =−

+∞

X

n=1

lnn n^x .

Extension aux fonctions de classeC^k

Enfin, à l’instar des suites de fonctions, on établit par récurrence un résultat permettant de prouver directement que la somme d’une série de fonctions est de classeC^k,k>2 :

Proposition2.6— soit(f_n)une suite de fonctions de classesC^k surI, telles que : (i) X

f_nconverge simplement surI; (ii) pour touti∈~1, k−1,X

fn⁽ⁱ⁾converge simplement surI; (iii) X

fn^(k)converge uniformément sur tout segment inclus dansI.

Alors la fonctionS :x7→

+∞

X

n=0

f_n(x)est de classeC^k surI, et pour touti∈~1, k,S⁽ⁱ⁾(x) =

+∞

X

n=0

fn⁽ⁱ⁾(x).

Exercice 7

On considère la fonction S :x7→

+∞

X

n=0

e^−nx

n²+ 1. Montrer que S est continue sur [0,+∞[ et de classeC²sur ]0,+∞[, puis établir une équation différentielle d’ordre 2 vérifiée par S sur l’intervalle ]0,+∞[.