Suites et séries de fonctions ____________

Suites et séries de fonctions ____________

1. Séries de fonctions : convergences simple, uniforme, normale.

2. Intégration et dérivation terme à terme.

3. Limites et équivalents de sommes de séries.

4. Fonctions eulériennes.

5. La fonction ζζζζ de Riemann.

Pierre-Jean Hormière

________________

Un certain nombre de fonctions classiques de l’analyse sont définies, ou peuvent être définies comme sommes de séries. C’est le cas de l’exponentielle, des fonctions eulériennes, zêta et thêta . Dans ce chapitre, les fonctions sont définies sur un ensemble X, parfois muni d’une structure d’espace métrique, et à valeurs dans K = R ou C, ou un K-espace de Banach F.

1. Séries de fonctions : convergences simple, uniforme, normale.

Définition 1 : La série de fonctions

∑

^+∞

=0

) (

n n x

u de X dans F est dite simplement convergente sur D ⊂ X si, pour tout x ∈ D, la série

∑

^+∞

=0

) (

n n x

u est convergente.

Notons alors : • S(x) =

∑

^+∞

=0

) (

n n x

u la somme de la série , • S_n(x) =

∑

= n

k k x u

0

)

( la somme partielle d’ordre n , • R_n(x) = S(x) − S_n(x) =

∑

^+∞

+

= 1

) (

n k

k x

u le reste d’ordre n . Définition 2 : La série de fonctions

∑

^+∞

=0

) (

n n x

u de X dans F est dite uniformément convergente sur D ⊂ X si elle est simplement convergente dans D et si les sommes partielles S_n(x) tendent uniformément vers S(x), autrement dit, si les restes R_n(x) tendent uniformément vers 0 :

(CU) (∀ε > 0) (∃n₀) (∀n ≥ n₀) (∀x ∈ D) || S(x) − S_n(x) || = || R_n(x) || ≤ε . Proposition 1 : critères de Cauchy simple et uniforme.

1) Pour que

∑

^+∞

=0

) (

n n x

u converge simplement dans D, il faut et il suffit que : (CCS) (∀x∈D) (∀ε > 0) (∃n₀∈N) (∀q > p ≥ n₀)

|| ∑

+

= q

p n

n x u

1

) (

||

≤ ε . 2) Pour que

∑

^+∞

=0

) (

n n x

u converge uniformément dans D, il faut et il suffit que : (CCU) (∀ε > 0) (∃n₀ ∈ N) (∀q > p ≥ n₀) (∀x ∈ D)

|| ∑

+

= q

p n

n x u

1

) (

||

≤ ε , autrement dit, que les tranches de Cauchy puissent être rendues uniformément apqv.

Proposition 2 : Soit (X, d) un espace métrique. Une série uniformément convergente

∑

^+∞

=0

) (

n n x u de fonctions de X dans F continues en a a pour somme une fonction continue en a. Plus généralement, si A est une partie de X et a un point adhérent à A, une série uniformément convergente

∑

^+∞

=0

) (

n n x u de fonctions de A dans F ayant une limite en a, a pour somme une fonction ayant une limite en a : lim _x→a,x∈A

∑

^+∞

=0

) (

n n x u =

∑

^+∞

= → ∈

0

, ( )

lim

n

A n x a

x u x .

Preuve : Tout cela a été démontré dans le chapitre sur la convergence simple et uniforme (§ 3 et 4).

Cependant, je ne résiste pas au plaisir de donner une preuve directe de la 2ème assertion. Les epsilon sont à l’analyste ce que les gammes sont au pianiste !

Notons L_n = lim _x→a,x∈A u_n(x). Le critère de Cauchy uniforme s’écrit : (CCU) (∀ε > 0) (∃n₀ ∈ N) (∀q > p ≥ n₀) (∀x ∈ A)

|| ∑

+

= q

p n

n x u

1

) (

||

≤ ε , Faisons tendre x vers a, il vient

|| ∑

+

= q

p n

Ln 1

||

≤ ε , donc la série

∑

^+∞

=0 n

Ln converge.

Il reste à montrer que

∑

^+∞

=0

) (

n n x

u tend vers

∑

^+∞

=0 n

Ln quand x tend vers a. Cassons en deux !

|| ∑

^+∞

=0

) (

n n x u ₋

∑

^+∞

=0 n

Ln

||

=

|| ∑

^+∞

= −

0

) (

n

n

n x L

u

||

≤

|| ∑

= −

N

n

n

n x L

u

0

)

(

||

+

|| ∑

^+∞

+

= 1

) (

N n

n x

u

||

+ ||

∑

^+∞

+

=N 1 n

Ln

||

On peut choisir N tel que ||

∑

^+∞

+

=N 1 n

Ln

||

≤ ε et

|| ∑

^+∞

+

= 1

) (

N n

n x

u

||

≤ ε pour tout x de A. N étant ainsi choisi, lim_x→a,x∈A

∑

= N −

n

n

n x L

u

0

)

( = 0, donc

|| ∑

= N −

n

n

n x L

u

0

)

(

||

≤ε pour x assez voisin de a. CQFD.

Définition 3 : La série

∑

^+∞

=0

) (

n n x

u est dite normalement convergente dans D si elle vérifie l’une des conditions équivalentes suivantes :

(CN1) Il existe une série numérique convergente

∑

^+∞

=0 n

an telle que (∀n ∈ N) (∀x ∈ D) ||u_n(x)|| ≤ a_n. (CN2) Chacune des fonctions u_n est bornée sur D et

∑

^+∞

=0 n

|| u_n||_∞ < +∞ .

On a (CN1) ⇒ (CN2) car (∀n ∈ N) || u_n ||_∞ ≤ a_n; (CN2) ⇒ (CN1) en posant (∀n ∈ N) || u_n||_∞ = a_n. Proposition 3 : Toute série

∑

^+∞

=0

) (

n n x

u normalement convergente dans D est simplement, absolument et uniformément convergente dans D. Sa somme S(x) est une fonction bornée dans D.

Preuve : Fixons x ∈ D. La série

∑

^+∞

=0

) (

n n x

u est absolument convergente, en vertu de

∑

^+∞

=0 n

an < +∞ et de

∀n ∈ N ||un(x)|| ≤ an. De plus (∀x ∈ D) || Rn(x) || ≤

∑

^+∞

+

=n 1 k

a_k, qui tend uniformément vers 0.

Remarques : 1) La convergence normale n’est autre que la convergence absolue dans l’espace de Banach BBBB(X, F) des fonctions bornées de X dans F, muni de la norme uniforme.

2) Certains ouvrages donnent de la convergence normale une définition plus générale :

Il existe une série numérique convergente

∑

^+∞

=n0

n

an telle que (∀n ≥ n0) (∀x ∈ D) ||un(x)|| ≤ an. La convergence est encore absolue et uniforme, mais la somme S(x) n’est plus bornée car les u_n ne sont bornées qu’à partir d’un certain rang. Ainsi, la série

∑

^+∞

=₀( +1 )²

n x n converge normalement sur [a, +∞[ pour tout a > 0, mais vérifie la condition précédente sur ]0, +∞[.

Exercice 1 : Montrer directement la proposition 2 dans le cas des séries normalement convergentes.

Exemples de séries de fonctions :

1) La série

∑

^+∞

=0 !

n n

n

z converge simplement sur C vers une fonction, notée exp z.

La convergence est absolue pour tout z. Elle est uniforme, et même normale, sur tout domaine borné

|z| ≤ A, car |zⁿ/n!| ≤ Aⁿ/n! , terme général d’une série numérique convergente.

Mais il n’y a pas convergence uniforme dans C. En effet, si tel était le cas, on aurait en particulier : (∃n) (∀x ∈ R)

|

exp x −

∑

= n

k k

k x

0 !

|

≤ 1 .

Or la différence entre une exponentielle et un polynôme est non bornée sur R ! 2) La série

∑

^+∞

=1 ²

n n

n

z converge simplement sur |z| ≤ 1, diverge grossièrement pour tout |z| > 1. La convergence est uniforme, et même normale, dans |z| ≤ 1, car |zⁿ/n²| ≤ 1/n², terme général d’une série numérique convergente. Ici, les trois notions se confondent. Et la fonction F(z) =

∑

^+∞

=1 ²

n n

n

z est continue dans le disque fermé |z| ≤ 1.

3) La série

∑

^+∞

=0 n

znconverge simplement sur |z| < 1, diverge grossièrement sinon. Elle a pour somme

−z 1

1 . La convergence est uniforme, et même normale, sur tout disque de sûreté |z| ≤ r < 1 .

Elle n’est pas uniforme dans le disque ouvert |z| < 1, ni sur aucun domaine D contenant des points aussi proches qu’on veut du cercle |z| = 1.

4) Soit 0 ≤ r < 1. La série trigonométrique 2 1₊

∑

^+∞

=0

) cos(

.

n

n n

r θ (de fonctions de θ) converge simplement et normalement sur R, vers une fonction appelée noyau d'Abel-Poisson P_r(θ).

On a : P_r(θ) = 2

1_{+ Re}

∑

^+∞

=0

.

n in ne r ^θ =

²) cos 2 1 (

2 1 ²

r r r

+

− −

θ

, après calculs.

Exercice 2 : Représenter graphiquement P_r(θ). Calculer ²¹

π ∫

₀^2πPr(

^θ

^).d

^θ

^.

Etudier la limite de (P_r(θ)) quand r ↑ 1.

5) La série trigonométrique

∑

^+∞

=1 ² cos

n n

n

θ

est normalement convergente sur R. Du coup, sa somme est une fonction continue 2π-périodique et paire.

6) La série

∑

^+∞

= +

1 [ 1 ,

[ ( )

1

n n

n x converge simplement sur R mais non uniformément, et la série

∑

^+∞

=1

1

n n^.1[n,n+1[(x) converge uniformément sur R, mais non normalement.

7) La série

∑

^+∞

=

− − 1

1. ) 1 (

n

n n

n

x est simplement convergente sur ]−1, 1]. Elle a pour somme ln(1 + x).

La convergence est • normale sur tout segment [−r, +r] , où 0 ≤ r < 1 , car

|

(−1)ⁿ⁻¹. n xⁿ

|

≤ n rⁿ

≤ rⁿ, terme général d’une série géométrique convergente.

• uniforme sur [0, 1], car, sur ce segment, le critère des séries alternées fournit la majoration uniforme du reste

| ∑

^+∞

+

=n 1 k

(−1)^k−1. k x^k

|

≤ 1

1

+

+

n xⁿ

≤ 1 1+

n . Cette convergence ne peut être normale, car elle n’est déjà pas absolue en +1. En tout cas, elle est uniforme sur [−r, 1] .

En pratique, pour étudier la convergence d’une série de fonctions, il faut : − déterminer le domaine de définition commun X des fonctions u_n(x) ; − déterminer l’ensemble D des valeurs de x pour lesquelles la série

∑

^+∞

=0

) (

n n x

u converge ; − rechercher en priorité des domaines de convergence normale ;

− lorsque cette recherche échoue, former le reste d’ordre n R_n(x) =

∑

^+∞

+

= 1

) (

n k

k x

u de la série, et chercher à le borner uniformément par une suite tendant vers 0, en général au moyen du critère des séries alternées ou d’une transformation d’Abel.

s’il n’y a pas convergence uniforme sur tout D, il est souvent possible de déterminer des parties A de D sur lesquelles il y a convergence uniforme.

Remarques : 1) Les exemples ci-dessus montrent que les implications :

convergence normale ⇒ convergence uniforme ⇒ convergence simple .

ont des réciproques fausses. En particulier, la convergence normale n'est qu'une condition suffisante de convergence uniforme. Elle est due à Weierstrass, qui l’employait fréquemment. C’est pourquoi les livres anglo-saxons la nomment «critère de Weierstrass». Le terme de «convergence normale»

fut introduit en 1908 par René Baire¹ pour signifier que ce critère est le cas le plus usuel, le plus

"normal", de convergence uniforme. Mais il faut garder présent à l’esprit que la convergence normale n’est pas un concept nouveau : c’est seulement un critère commode, usuel, de convergence uniforme.

2) Toute suite de fonctions est la suite des sommes partielles d’une série. Cette méthode de transformation de suite en série se révèle très efficace, notamment dans l’étude des produits infinis.

Exercice 3: Étudier les convergences simple, normale, uniforme, des séries

∑

^+∞

=0

) (

n n x

u et

∑

^+∞

=0 '( )

n n x u , où u_n(x) = e^−x

! n xⁿ

, sur R⁺.

1« Bien qu’à mon avis l’introduction de termes nouveaux ne doive se faire qu’avec une extrême prudence, il m’a paru indispensable de caractériser par une locution brève le cas le plus simple et de beaucoup le plus courant des séries uniformément convergentes, celui des séries dont les termes sont moindres en module que des nombres positifs formant série convergente (ce qu’on appelle quelquefois critère de Weierstrass). J’appelle ces séries normalement convergentes, et j’espère qu’on voudra bien excuser cette innovation. Un grand nombre de démonstrations, soit dans la théorie des séries, soit plus loin dans la théorie des produits infinis, sont considérablement simplifiées quand on met en avant cette notion, beaucoup plus maniable que la propriété de convergence uniforme. » René Baire, Leçons sur les théories générales de l’Analyse, préface du tome 2, 1908.

Exercice 4 : Etudier les différents modes de convergences (simple, normale, uniforme), sur [0, 1], de la série

∑

^+∞

=1

) (

n n x

u , où u_n(x) = n^α.xⁿ.(1 − x).

Exercice 5 (Pringsheim, 1899). Etudier la série

∑

^+∞

=₁ + + )

² 1 .( 1

² 1

²

n

n

x x

x _.

Exercice 6 : Etudier la série

∑

^+∞

=1

) (

n n x

u , où u_n(x) = x

x

x ⁿ

ln ) 1 ( −

. Exercice 7 : Un exemple de transformation d’Abel.

On considère la série

∑

^+∞

=1 n

n

n

z , où z est une variable complexe. Soit D = { z ; |z| < 1 }.

1) Domaines de divergence grossière, d’absolue convergence, de convergence normale ?

2) Soit z ∈ D−{1}. Montrer que les sommes Vn = 1 + z + ... + zⁿ sont bornées. En effectuant une transformation d’Abel sur

∑

= n

k k

k z

1

, à l’aide des V_n , montrer que

∑

^+∞

=1 n

n

n

z converge, la convergence étant uniforme sur tout domaine de la forme D − { z ; | 1 − z | ≥ r } , r > 0.

On notera que cet exercice généralise l’exemple 8 traité ci-dessus.

Exercice 8 : On considère la suite de fonctions : f_n(x) = ln n − ( x 1 ₊

1 1+

x ^{+ ... +} x+1n_{) .}

Démontrer que cette suite de fonctions converge simplement sur R*₊, et uniformément sur tout segment [a, A], où 0 < a < A.

[

On pourra noter que : f_n(x) = (ln n −

∑

= n

k ₁k 1_{) −}

x 1 ₊

∑

= − +

n

k ₁(k1 x1k). Cette méthode n’est pas imposée.

]

Exercice 9 : Soit f : [0, 1] → R bornée. Montrer que la série de fonctions

∑

^+∞

=0

) ( .

n nf t

t converge unifor- mément sur [0, 1] si et seulement si f est continue et dérivable en 1, et f(1) = f'(1) = 0.

2. Intégration et dérivation terme à terme.

2.1. Intégration terme à terme.

Rappelons les deux principaux théorèmes :

Théorème 1 : Une série uniformément convergente de fonctions réglées I = [a, b] → F (Banach) a pour somme une fonction réglée, et :

∫ ∑

^+∞

= b an

n x dx u

0

).

( =

∑∫

^+∞

=0

).

(

n b a

n x dx

u .

Application aux séries entières.

Soit

∑

^+∞

=0

.

n nzn

a une série entière, de rayon de convergence R > 0 et de somme f(z) pour |z| < R.

1) Calculer

∫

_a^{bf ).(x dx et}

∫

₀^xf(t).dt pour −R < a < b < R , resp. |x| < R . 2) Montrer que ∀r∈]0, R[ , ∀n∈N , a_n = _n

π

r 2

1 _.

∫

₀^{2πf(reiθ)e−inθ.dθ .}

Application aux séries trigonométriques.

Soit f(θ) = 2 a0

+

∑

^+∞

= +

1

) sin(

. ) cos(

.

n

n

n n b n

a θ θ une série trigonométrique uniformément convergente sur R. Sa somme f est une fonction continue 2π-périodique, et les an et b_n sont les coefficients de Fourier de f : a_n =

π

¹

∫

₀^2πf(

^θ

^).cos(n

^θ

^).d

^θ

^{et bn =}

_π

¹

∫

₀^2πf(

^θ

^).sin(n

^θ

^).d

^θ

^.

On notera que la convergence uniforme est impliquée par la condition

∑

^+∞

= +

1 n

n

n b

a < +∞, puisque celle-ci implique (et même équivaut à) la convergence normale.

Remarque : On pourrait aussi traduire en termes de séries le théorème de convergence dominée sur les segments. Il s’appliquerait à la série

∑

^+∞

=1

) sin(

n n

nθ , dont les sommes partielles sont bornées.

Théorème 2 : Soit I un intervalle quelconque,

∑

^+∞

=0

) (

n n x

u une série de fonctions continues par mor- ceaux intégrables I → R ou C, convergeant simplement vers une fonction f continue par morceaux sur I. Alors, si

∑

^+∞

=0 n

∫

_{I | un}(x) |.dx < +∞, f est intégrable sur I, et :

∫

_I

∑

^+∞

=0

) (

n n x

u .dx =

∑

^+∞

=0 n

∫

_I u_n(x).dx . Application : Montrer que : dx

ex

x . 1

∫

0^+∞ ₋ ⁼

∑

^+∞

=1 ² 1

n n ⁼ 6

π

²_.

Formellement dx

ex

x . 1

∫

0^+∞ ₋ ⁼

∫

^+∞ −

−

−

0 .

1 dx

e xe

x x

=

∫

₀^+∞x.e−x.

^∑

^+∞

=

− 0 n

e nx.dx =

∫

₀^+∞

^∑

^+∞

=

− 1

.

n

e nx

x .dx =

∑

^+∞

=1

n

∫

₀^{+∞x.e−nx.dx =}

^∑

^+∞

=1 ² 1

n n , après un bref calcul.

Or u_n(x) = x.e^−nx est une fonction continue et intégrable sur R₊ , La série

∑

^+∞

=0

) (

n n x

u converge sur R*₊ , et a pour somme la fonction f(x) = _x

x

e e x

−

−

− 1

. =

−1 exx _. Enfin :

∑

^+∞

=1 n

∫

_I | u_n(x) |.dx =

∑

^+∞

=1

n

∫

₀^{+∞x.e−nx.dx =}

^∑

^+∞

=1 ² 1

n n ^{< +∞.} Le théorème précédent s’applique.

Remarques : 1) Après prolongement par continuité f(0) = 1, tandis que

∑

^+∞

=0

) 0 (

n

un = 0. D’où la nécessité de se placer sur R*₊ .

2) On peut aussi conclure en appliquant le théorème de convergence monotone de Beppo Levi aux sommes partielles de la série.

3) On peut éviter tout recours à un théorème, en raisonnant élémentairement ainsi : f(x) est continue en 0, et intégrable sur ]0, +∞[ car 0 < f(x) < exp(−x/2) pour x assez grand.

L’identité exacte : (∀x > 0) f(x) =

∑

= n

k 1

x.e^−kx + 1 .

−

− x

nx

e e

x s’intègre terme à terme

dx

ex

x .

1

∫

0^+∞ ₋ ⁼

∑

= n

k 1

∫

₀^{+∞x.e−kx.dx +}

∫

₀^{+∞ x}_e^.xe₋⁻₁^{nx dx =}

^∑

= n

k ₁k²

1 ₊

∫

₀^{+∞f(x).e−nx.dx.}

Or 0 ≤

∫

₀^{+∞f(x).e−nx.dx ≤ || f ||}∞ e ^nx.dx

∫

0^{+∞ − = || f ||}∞/n → 0 . Conclure en faisant tendre n vers +∞.

Ces théorèmes ne sont pas des panacées : il arrive que l’on ait

∫

_I u x dx

n n( ).

0

∑

^+∞

=

=

∑

^+∞

=0 n

∫

_I u_n(x).dx sans que leurs hypothèses ne soient remplies.

Exemple : Montrer l’identité :

∫

₀¹ ₁₊dttα ₌

∑

^+∞

= − +

0 1

) 1 (

n

n

n

α

^(∀α > 0) . Formellement, on a :

∫

₀¹ ₁₊dttα ₌

∫

₀¹

^∑

^+∞

= −

0

) 1 (

n

nt^nα dt =

∑

^+∞

=0

n

∫

₀^{1(−1)ntnα dt =}

^∑

^+∞

= − +

0 1

) 1 (

n

n

n

α

^.

Mais aucun des deux théorèmes ne s’applique : • le reste de la série, R_n(t) = (−1)ⁿ⁺¹ _α

α

t tⁿ

+

+

1

) 1 (

, ne tend pas uniformément vers 0, car : sup_[0,1] | R_n(t) | =

2 1 _. • par ailleurs

∑

^+∞

=0 n

∫

_I | u_n(x) |.dx =

∑

^+∞

=₀ 1+1

n nα ^{= +∞ .} Il reste à montrer les choses élémentairement, i.e. :

∫

₀¹₁₊tα

dt ₌

∫

₀¹

^[

^{1 − tα + t2α + ... + (−1)n tnα + (−1)n+1} α α

t tⁿ

+

+

1

) 1 (

]

dt =

∑

= − +

n

k k

0k 1

) 1 (

α ^{+ (−1)n+1} dt t tⁿ

∫

₀¹₁⁽₊⁺¹⁾α α

Or 0 ≤ dt

t tⁿ

∫

₀¹ ₁⁽₊^{+1α)α ≤}

∫

₀^{1 t(n+1)αdt =} _1+(n¹_+1)α ^{. cqfd. 2}

Enfin, il arrive que l’on n’ait pas

∫

_I

∑

^+∞

=0

) (

n n x

u .dx =

∑

^+∞

=0 n

∫

_I u_n(x).dx . cf exercice ci-dessous.

Exercice 1 : Montrer que :

∫

₀¹

^∑

^+∞

=1 ²

n n

n

x .dx = ζ(2) − 1 .

Exercice 2 : Montrer que

∫

₀^{1xx.dx =}

^∑

^+∞

=

− − 1

) 1

1 (

n n

n

n ^{et que}

∫

₀^{1x−x.dx =}

^∑

^+∞

=1

1

n

nn ^.

Calculer ces intégrales à 10⁻⁶ près.

Exercice 3 : Montrer que

∫

₀^π/2cos(cos

^θ

^).ch(sin

^θ

^).d

^θ

⁼

^π

₂^.

Exercice 4 : Montrer

∫

_(0,1) 1

² ln

².− x

x

x _{.dx =}

∑

^+∞

=₁(2 +1)² 1

n n ⁼ 8

π

² _{− 1.}

∫

_(0,1) ln(x).ln(1 − x).dx =

∑

^+∞

=1

n ( 1)²

1+ n

n

∫

_(0,1)

x x x.ln(1 )

ln − _{.dx =}

∑

^+∞

=1 3

1

n n ^.

∫

_(0,1)

²

²) 1 ln(

²).

ln(

x x

x −

.dx =

∑

^+∞

=1

n .(2 1)²

2− n

n

∫

_(0,1)−

² 1

ln x

+x ^{.dx =}

∑

^+∞

= +

−

0(2 1)² ) 1 (

n

n

n (constante de Catalan) Exercice 5 : Calculer, c’est-à-dire développer en série :

∫

_(0,+∞)−ln(th x).dx ,

∫

_(0,+∞) shx

x .

2 ^.dx

2 Ceux qui voudraient à toute force appliquer un théorème, peuvent appliquer le théorème de convergence monotone de Beppo Levi aux sommes partielles d’indices pairs et impairs.

F(x) =

∫

_(0,+∞) cht

xt ch( )

.dt , G(x) =

∫

_(0,+∞) sht

xt sh( )

.dt ,

A = ∫

_(0,1)

² 1

ln x

−x ^{.dx , B}

= ∫

_(0,1) x

−x 1

ln _{.dx , C}

= ∫

_(0,1) x +x 1

ln _{.dx .} Exercice 6 : Montrer l’identité : (∀x ∈ R)

∫

₀^+∞ _exp(^sin(_t^xt₎₋⁾₁^{.dt =}

^∑

^+∞

=1

n x² n²

+x ^.

2.2. Dérivation terme à terme des suites et séries de fonctions.

Attention ! Si (f_n) est une suite de fonctions dérivables tendant simplement, ou même uniformément, vers f, f n’est pas toujours dérivable, et, si elle l’est, (f'_n) ne tend pas toujours vers f'.

Exemple 1 : Sur [−1, +1], f_n(x) =

x²+n1 tend uniformément vers f(x) = |x| qui n’est pas dérivable.

Exemple 2 : Sur R, f_n(x) = n

nx)

sin( converge uniformément vers f(x) = 0, car || f_n || = 1/ n; f est dérivable, mais f'_n(x) = n.cos(nx) ne tend pas vers f'(x) = 0 : f'_n(0) = n.

Les deux théorèmes suivants n’en ont que plus d’intérêt :

Théorème de dérivation des suites de fonctions : Soit I un intervalle de R de nature quelconque, (f_n) une suite de fonctions de classe C¹ de I dans F. On suppose :

i) (∃a ∈ I) (f_n(a)) converge ;

ii) La suite (f_n’) converge uniformément sur tout segment J ⊂ I.

Alors (f_n) converge simplement sur I, et uniformément sur tout segment J ⊂ I, vers une fonction f de classe C¹ telle que f' = lim f_n'.

Théorème de dérivation terme à terme des séries de fonctions : Soit I un intervalle de R de nature quelconque,

∑

^+∞

=0

) (

n n x

u une série de fonctions de classe C¹ de I dans F. On suppose : i) (∃a ∈ I)

∑

^+∞

=0

) (

n n a

u converge ; ii) La série

∑

^+∞

=0 '( )

n n x

u converge uniformément sur tout segment J ⊂ I.

Alors

∑

^+∞

=0

) (

n n x

u converge simplement sur I, et uniformément sur tout segment J ⊂ I, vers une fonction de classe C¹ , et : (∀x ∈ I) (

∑

^+∞

=0

) (

n n x

u )' =

∑

^+∞

=0 '( )

n n x u .

Preuve : Le second théorème n’est qu’une traduction du premier en termes de séries. Ce ne sont pas vraiment des théorèmes de dérivation, mais plutôt de primitivation ou d’intégration.

Soit g la limite simple de la suite (f'_n). g est continue sur tout segment J ⊂ I, donc sur I.

Fixons x ∈ I. On a : f_n(x) = f_n(a) +

∫

_a^{xf'n(t).dt→ L +}

∫

_a^{xg ).(t dt ≡ f(x).}

La suite (f_n) converge donc simplement sur I vers une fonction f, qui est de classe C¹ et telle que : f' = g = lim f_n’

De plus : f_n(x) − f(x) = fn(a) − L +

∫

_a^{x[f'n(t)−g(t)].dt ,}

d'où : || f_n(x) − f(x) || ≤ || fn(a) − L || +

| ∫

_a^{x fn(t)−g(t).dt}

^|

^,

Soit J un segment inclus dans I et contenant a. Par hypothèse,

∀ε > 0 ∃n₀ ∀n ≥ n₀ || f_n(a) − L || ≤ε et ∀t ∈ J || f_n'(t) − g(t) || ≤ε. Par suite : ∀x ∈ J || fn(x) − f(x) || ≤ ε.( 1 + Long(J) ) . cqfd.

Application aux séries entières :

Nous verrons par la suite que, si la série entière

∑

^+∞

=0

.

n nxn

a a pour rayon de convergence R > 0, il en est de même de la série dérivée. Toutes deux sont normalement convergentes dans tout segment [−r,+r] tel que 0 < r < R. De sorte que la fonction f(x) =

∑

^+∞

=0

.

n nxn

a est de classe C¹ dans ]−R, +R[, et, par suite, de classe C^∞ .

Considérons la fonction f(x) =

∑

^+∞

=1 n

k n

n

x , de variable réelle. Pour k ≥ 2, la série est normalement convergente sur le segment I = [−1, 1], grossièrement divergente ailleurs. f est donc définie et continue sur ce segment. Elle est de plus de classe C^k−2 dans I, car les k−2 premières séries dérivées terme à terme sont normalement convergentes.

Application aux séries trigonométriques : Soit f(θ) =

2 a0

+

∑

^+∞

= +

1

) sin(

. ) cos(

.

n

n

n n b n

a θ θ une série trigonométrique telle que a_n = O( 1₂

+

np ^{) et}

b_n = O( 1₂

+

np ^{) , où p ∈} N. Alors f est une fonction 2π-périodique de classe C^p de R dans C.

Si u_n(θ) = a_n.cos(nθ) + b_n.sin(nθ) , on a u_n^(k)(θ) = a_n.n^k.cos(nθ + 2

π

k _{) + b}

n.n^k.sin(nθ + 2

π

k _{) ,} de sorte que : || u_n^(k) ||_∞ ≤ n^k ( | a_n | + | b_n | ) = O( 1 ₂

+

−k

np ^{) .}

Chacune des séries dérivées terme à terme

∑

^+∞

=1 ) ( ( )

n nk

u θ , 0 ≤ k ≤ p , converge normalement sur R. Par applications répétées du théorème précédent, f est de classe C^p de R dans C, et f^(k)(θ) =

∑

^+∞

=1 ) ( ( )

n k

un θ ^.

« Plus les coefficients a_n et b_n tendent vite vers 0, plus la somme de la série est régulière ».

3. Limites et équivalents de sommes de séries.

Soit F(x) =

∑

^+∞

=0

) (

n n x

u une série de fonctions définie sur une partie D de R. Le plus souvent, F est continue dans Int(D), et même dérivable, voire développable en série au voisinage de chaque point.

Se pose alors la question de déterminer les limites de F aux bornes de D, et d’en trouver des équivalents.

1) Pour déterminer les limites de F au bord de D, on dispose de deux outils majeurs : les théorèmes d'interversion de limites par double monotonie et convergence uniforme.

Ces théorèmes ne s’appliquent pas toujours, en ce sens que leurs hypothèses ne sont pas remplies.

Néanmoins, il arrive souvent que l’on ait encore : lim_x→x0 F(x) =

∑

^+∞

=0 n

lim_x→x0 u_n(x) , Il faut alors montrer l’existence du second membre, puis montrer à mains nues que :

F(x) −

∑

^+∞

=0 n

lim_x→x0 u_n(x) tend vers 0 quand x → x₀ . Mais il arrive aussi que l’on n’ait pas lim_x→x0 F(x) =

∑

^+∞

=0 n

lim_x→x0 u_n(x) . Cela peut s’établir par des cassures fixes ou mobiles (dépendant de x), des encadrements intégraux, etc.

2) Pour trouver un équivalent de F(x) =

∑

^+∞

=0

) (

n n x

u au bord du domaine, la méthode la plus classique est celle de l’encadrement intégral (lemmes de pincement). Mais on peut aussi tenter une sommation d’équivalents (à condition de la justifier), une ou plusieurs cassures variables, une transformation d’Abel, etc.

Exercice 1 : On considère la série

∑

^+∞

=1 n

n

n x .

1) Quel est son domaine de définition réel ? Soit f(x) la somme de cette série.

2) Montrer que f est continue sur ]−1, 1[.Quelles sont ses limites en 1−0 et −1+0 ? (cf aussi ex. 7).

Exercice 2 : On considère la série F(x) =

∑

^+∞

=

+ − 1

) 1 ln(

n

e nx , où x est une variable réelle.

1) Quel est le domaine de définition de F ? Montrer que F est continue ; monotonie, convexité ? 2) a) Limite et équivalent de F(x) en 0+ ?

b) Limite, équivalent, développement asymptotique de F(x) en +∞ ? 3) Développer F(x) en série double ; quelle identité obtient-on ? Exercice 3 : On considère la série F(x) =

∑

^+∞

= −

0

) exp(

n

n

x , où x est une variable réelle.

1) Domaine de définition de F ? Montrer que F est continue, C^∞ ; monotonie, convexité ? 2) a) Limite et équivalent de F(x) en 0+ ?

b) Limite, équivalent, développement asymptotique de F(x) en +∞ ? 3) a) Domaine de définition complexe Ω de F ?

b) Montrer que F est développable en série entière au voisinage de tout point de Ω.

Exercice 4 : On considère la série F(x) =

∑

^+∞

=₀ ²+ ² 2

n x n

x _.

1) Domaine de définition de F ? Continuité de F ? 2) Limite de F en +∞ ? Explication ? Exercice 5 : Montrer que (∀z ∈ C) lim_n→+∞ ( 1 +

n

z ₎n = exp z.

Solution : L’idée est de développer S_n(z) = ( 1 + n

z ₎n par le binôme. On obtient :

S_n(z) = .

! ) , (

0

∑

= n

k k

k n

a z^k , où a(n, 0) = 1 et a(n, k) = (1 − n 1_{).(1 −}

n

2_{) ... (1 −} n k 1− _{) .}

Formellement, si l’on intervertit les limites, comme pour tout k, lim_n→+∞ a(n, k) = 1, il vient bien : lim_n→+∞ S_n(z) =

∑

^+∞

=0 !

k k

k

z = exp z.

Pour justifier cette interversion de limites, le mieux est de noter d’abord qu’avec la convention : a(n, k) = 0 pour k > n , il vient S_n(z) =

∑

^+∞

=0 ! ) , (

k k

k n

a .z^k .

1° Si z = x ∈ R⁺, on peut noter que a(n, k) ↑ 1 quand n → +∞ ; on peut alors intervertir les limites par double monotonie, appliquée à la fonction de deux variables entières : f(n, N) =

∑

= N

k k

k n a

0 !

) , ( .x^k

2° Dans le cas général, on peut noter que la série

∑

^+∞

=0 ! ) , (

k k

k n

a .z^k de fonctions de n, est normalement convergente, en vertu de |a(n, k).z^k/k!| ≤ |z|^k/k! , terme général d’une série numérique convergente.

On peut donc intervertir les limites par convergence uniforme.

Exercice 6 : Équivalent de la suite Z(n) = 1ⁿ + 2ⁿ + ... + nⁿ . Solution : L’idée est d’écrire _n

n n Z )(

= 1 + ( 1 − n

1₎n + ( 1 − n

2₎n + ... + ( 1 − n

n₎n =

∑

^+∞

=0

) (

k k n a , où a_k(n) = (1 −

n

k ₎n si 0 ≤ k ≤ n , 0 si k > n . Si on passe à la limite dans la série, on obtient : lim_n Z(n) = lim_n

∑

^+∞

=0

) (

k k n a =

∑

^+∞

=0

) ( lim

k

nak n =

∑

^+∞

=

− 0 k

e k = ₁ 11

−e− ^.

Pour justifier cet échange de limites, on peut invoquer :

• un argument de double monotonie, car (a_k(n))_n tend en croissant vers sa limite ;

• un argument de convergence uniforme, car 0 ≤ a_k(n) ≤ e^−k : la série converge normalement.

Exercice 7 : Equivalent de S_n =

∑

=

− − n

k k

k n

1

1.[ ] ) 1

( . Exercice 8 : Lemmes de pincement.

1) Soit f : ]0, +∞[ → R⁺ une fonction décroissante et intégrable. Montrer que, pour tout h > 0, la série

∑

^+∞

=1

) (

n

nh

f converge, et que : lim_h→0+ h.

∑

^+∞

=1

) (

n

nh

f =

∫

₀^{+∞f( dtt). .}

2) Soit f : [0, +∞[ → R une fonction réglée, décroissante sur [A, +∞[, et intégrable. Montrer que, pour tout h > 0, la série

∑

^+∞

=1

) (

n

nh

f converge, et que : lim_h→0+ h.

∑

^+∞

=1

) (

n

nh

f =

∫

₀^{+∞f( dtt). .}

3) Soit φ : ]0, +∞[ → F (Banach) une fonction réglée. On suppose qu’existe g : ]0, +∞[ → R décroissante et intégrable, telle que (∀x > 0) || f(x)|| ≤ g(x). Montrer que f est intégrable, que, pour tout h > 0, la série

∑

^+∞

=1

) (

n

nh

f converge, et que : limh→0+ h.

∑

^+∞

=1

) (

n

nh

f =

∫

₀^{+∞f( dtt). .}

4) Applications :

a) Trouver un équivalent de

∑

^+∞

=1 n

n

n

x au V(1−) [ Poser x = exp(−h) ] ;

b) Équivalents de

∑

^+∞

=0

² n

xn et de

∑

^+∞

=0 n

xn^α au V(1−) ; c) Équivalents de

∑

^+∞

=1 n

n n

x x +

1 ^,

∑

^+∞

=1 n

n n

x x n

− 1

. et

∑

^+∞

=1

n 1

) ln(

−

n n

x

x au V(1−) ;

d) Montrer que

∑

^+∞

=1 n

n n

x x

−

1 ⁼ x

x

−−

− 1

) 1

ln( +

−x 1

γ _{+ o(}

−x 1

1 _{) au V(1−) ;}

[

Indication : On rappelle que γ =

∫

₀^+∞e−t.(₁₋¹_e−^t−1_t ).dt.

]