Suites et séries de fonctions

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Suites et séries de fonctions

I. M ODES DE CONVERGENCE

1) RPassage à la limite simple

Parmi les propriétés suivantes, quelles sont celles qui sont stables par convergence simple ?

• croissance (large ou stricte),

• périodicité,

• existence d’une limite en un point,

• continuité,

• dérivabilité.

• convexité,

2) FRSoit (f_n) une suite de fonctions convergeant uniformément sur[a, b] vers une fonctionf, et(x_n) une suite d’éléments de [a, b] convergeant vers x ∈ [a, b]. Montrer que f_n(x_n) −−−−→

n→∞ f(x) lorsqu’on supposef continue, ou bien lorsque l’on suppose toutes lesfn continues.

Peut-on se passer de l’hypothèse de continuité ? Ou de l’hypothèse de convergence uniforme ? 3) Convergence uniforme et continuité uniforme

(a) Montrer que la limite uniforme d’une suite de fonctions uniformément continues est uniformément continue.

(b) Soit(fn)une suite de fonctions convergeant uniformément vers une fonction f, etg une fonction uniformément continue.

Montrer que la suite de fonctions(g◦f_n)converge uniformément.

4) RSoit (P_n)une suite de fonctions polynomiales convergeant uniformément sur R vers une fonction f. Montrer quef est polynomiale.

5) Soit f : R→ R une application continue, telle que : (∀t6= 0)|f(t)| <|t|. On pose f₁ = f, et pour tout n∈N^∗,f_n+1=f ◦f_n.

Montrer que, pour touta >0, la suite de fonctions (fn)_n∈_N∗ converge uniformément sur [−a, a] vers la fonction nulle.

6) RConvergence uniforme et opérations

(a) Soient(fn)et(gn)deux suites de fonctions convergeant uniformément versf etgbornées. Montrer que(fngn)converge uniformément versf g.

(b) Soit fn : R → R, x 7→ x+ 1

n. Montrer que (fn) converge uniformément sur R, mais pas f_n² . Conclusion ?

7) RSoit fn:x7→ncosⁿxsinx.

(a) Chercher la limite simplef de la suite de fonctions(fn).

(b) Calculer Z π/2

0

fn(t)dtet Z π/2

0

f(t)dt. Que peut-on en déduire ? 8) FRThéorèmes de Dini

Soit(fn)_nune suite d’applications continues de[a, b]dansR, convergeant simplement sur[a, b]vers une fonctionf continue.

(a) On suppose chaquef_n croissantesur[a, b]. Montrer que la convergence est uniforme sur[a, b]. (b) On suppose cette fois-ci la suite (f_n) croissante, au sens où (∀n∈N)f_n 6 f_n+1. Montrer que la

convergence est ici aussi uniforme sur[a, b]. 9) FROrthogonalité àRn[X]puis àR[X]

(a) Soitf une fonction continue sur l’intervalle[a, b], etnun entier naturel. On suppose que pour tout k∈[[0, n]],

Z b

a

f(t)t^kdt= 0.

Montrer quef s’annule au moinsn+ 1fois sur]a, b[. (b) On suppose maintenant quepour tout k∈N,Z b

a

f(t)t^kdt= 0. Que peut-on dire def ?

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II. É TUDE DE SUITES DE FONCTIONS

1) RSoit fn: [0,1]→Rl’application définie parfn(0) = 1, etfn(t) = 1

1 +_n^p sit∈_p−1

n ,^p_n

, pour16p6n.

Montrer que(fn)_n∈_N converge simplement vers une applicationf : [0,1]→Rcontinue ; la convergence est-elle uniforme ?

2) Étudier la convergence simple, puis uniforme, des suites(f_n)_n∈_N d’applications définies par : (a) Rfn(t) =n^αx(1−x)ⁿ pourx∈[0,1](discuter selon les valeurs du réelα) ;

(b) f_n(t) = nt²

1 +nt sit>0,f_n(t) = nt³

1 +nt² sit <0; (c) f_n(t) =ncosⁿtsintpourt∈

0,^π₂

(calculer Z π/2

0

f_n(t)dt) ; (d) Rfn(t) = cos

nt n+ 1

pourt∈R

(e) Rfn(kπ) = 0pour k∈Z, etfn(t) =sin²nt

nsint sit /∈πZ; (f) f0(x) =x, etfn+1(x) = x

2 +fn(x) pourx>0.

3) Soitf : R⁺ →Rcontinue, non identiquement nulle, telle quef(0) = 0 et lim

t→+∞f(t) = 0. On pose, pour t∈R⁺,gn(t) =f(nt)ethn(t) =f(t/n).

Montrer que les suites(g_n)et(h_n)convergent simplement, mais non uniformément, surR⁺. 4) RSuites de fonctions polynômes

(a) Soit (fn)la suite de fonctions définies surRpar :

f0(x) =x et (∀n∈N) fn+1(x) = 3fn

x 3

−4fn

x 3

²

i. Étudier la fonctiont7→3t−4t³ sur[0,1]. ii. Montrer que pour toutx∈[0,1],06f_n(x)6x.

iii. Montrer que(fn)converge uniformément sur tout segment deR.

On pourra déterminer une suite (an)telle que pour toutx∈[0,1],|fn(x)−sinx|6anx³. La convergence est-elle uniforme surR?

(b) Soit(Pn)la suite de fonctions polynomiales définies sur[0,1]par : P0(x) = 0 et (∀n∈N) Pn+1(x) =Pn(x) +1

2 x−P_n²(x) Étudier la convergence simple puis uniforme de(Pn)sur[0,1].

5) FRUn grand classique !

(a) Montrer que, pour toutt∈R, on a : lim

n→+∞

1 + t

n ⁿ

= lim

n→−∞

1 + t

n ⁿ

=e^t. (b) Soitf_n:R→Rdéfinie, pourn∈N^∗, par :

f_n(t) =e^t−

1 + t n

ⁿ

pourt >−n, etf_n(t) =e^tpourt6−n

• Montrer que la restriction de fn àR⁺ est croissante, et en déduire que (fn)_n converge unifor- mément vers0sur tout intervalle[0, a](a >0).

• Montrer que la restriction de fn àR⁻ est positive, atteint son maximum en un pointxn et que la suite(xn)admet−2pour limite.

• Montrer que(f_n)_n converge uniformément surR⁻. 6) Suites de solutions d’une équation différentielle

Soityn la solution de l’équation(En) :

1 + 1 n

y⁰⁰−

2 + 1

n

y⁰+y= 0vérifianty(0) = 0ety⁰(0) = 1. (a) Calculer explicitementyn.

(b) Déterminer la limite simpley de la suite de fonctions(y_n).

(c) Vérifier quey est solution de “l’équation limite” de(En), avec les mêmes conditions initiales.

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III. S UJET D ’ ÉTUDE : LE ( S ) THÉORÈME ( S ) DE W EIERSTRASS

1) FRWeierstrass avec les polynômes de Bernstein (a) i. Pour toutn∈N^∗, établir l’égalité polynomiale :

n

X

k=0

(k−nX)² n

k

X^k(1−X)^n−k =nX(1−X).

ii. Étant donnésn∈N^∗,α∈R^∗+ etx∈[0,1], on note : I=

k∈N/ 06k6net x−^k_n

>α . Vérifier : X

k∈I

n k

x^k(1−x)^n−k6 1 4nα².

(b) i. Soitf une application continue de[0,1]dansR(ouC). A toutn∈N^∗ on associe : B_n:x7→

n

X

k=0

f k

n n k

x^k(1−x)^n−k

Montrer quef est limite uniforme sur[0,1]de la suite d’applications polynômiales(B_n)_n∈_N∗. ii. En déduire le théorème de Weierstrass.

2) Weierstrass avec l’algèbre linéaire Pourx∈[−1,1], on considèreΦn(x) =

Z x

0

1−t²ⁿ

dt etFn(x) = Φn(x) Φ_n(1). (a) Étudier la suite de fonctions(Fn).

(b) En déduire l’existence d’une suite de polynômes convergeant uniformément sur[−1,1]versx7→ |x|.

(c) En déduire une démonstration du théorème de Weierstrass.

3) Weierstrass à l’aide de la convolution

Une suite(K_n)_n∈_N d’applications continues positives et à support compact de R dans R⁺ est dite de Diracsi :

(i) (∀n∈N) Z

R

Kn(t)dt= 1

(ii) (∀ε >0) (∀δ >0) (∃n0∈N) (∀n>n0) 06 Z

R−[−δ,δ]

Kn(t)dt6ε Soit alorsf :R→R, continue et à support compact. On pose :

(∀x∈R) (f∗K_n) (x) = Z

R

f(t)K_n(x−t)dt= Z

R

f(x−t)K_n(t)dt Prouver que(f∗K_n)converge uniformément versf surR.

Déduire de ce résultat une autre démonstration du théorème de Weierstrass.

4) Le théorème de Weierstrass pour les fonctions périodiques Pour tout entiern>1on considèregn:R→Rdéfinie par :

g_n(u) = 1 n

sin²(nπu)

sin²(πu) siu∈R\Z, etg_n(u) =nsiu∈Z (a) i. Montrer que : (∀u∈R) gn(u) = 1 +

n−1

X

k=1

2 (n−k)

n cos (2kπu).

ii. En déduire la valeur de l’intégrale Z 1

0

gn(u)du.

(b) Soit f une application 1-périodique et continue de R dans R. A tout entier n > 1 on associe l’applicationfn :R→Rdéfinie par :

(∀x∈R) fn(x) = Z 1

0

gn(x−t)f(t)dt

i. Montrer quef_n est un “polynôme trigonométrique”, i.e.qu’il existe des réels α_n,k avec 06k6 n−1, et des réelsβ_n,k avec16k6n−1, tels que, pour toutx∈R:

fn(x) =αn,0+

n−1

X

k=1

(αn,kcos (2kπx) +βn,ksin (2kπx)) ii. Montrer quef est limite uniforme surRde la suite(f_n)_n∈_N∗.

(4)

IV. S ÉRIES DE FONCTIONS : MODES DE CONVERGENCE

1) (a) Étudier la convergence simple, uniforme et normale de la série de fonctions X

fn définie par fn(x) = (−1)ⁿ

n+x², avecn>1etx∈R.

(b) Même question avecf_n(x) = 1

n²+x², avecn>1etx∈R.

2) RPour n∈Net x∈[0,+∞[, on noteun(x) = 1

n+ 1

χ

_[n,n+1[_{(x), où}

χ

_I_{(x) = 1}_si_x_∈_{I, et}₀_si_{x /}_∈_I.

Étudier la convergence simple, uniforme et normale de la série de fonctionsX un. 3) RSoit f : [0,1]→R. On posefn : [0,1]→R, x7→xⁿf(x).

(a) Condition nécessaire et suffisante surf pour que lasuitede fonctions(f_n)converge uniformément sur[0,1].

(b) Montrer que lasériede fonctionsX

f_nconverge uniformément sur[0,1]si et seulement sif(1) = 0, f dérivable en1 etf⁰(1) = 0.

V. É TUDE DE FONCTIONS SOMMES DE SÉRIES DE FONCTIONS

1) Soitψ(x) =

∞

X

n=2

1

n−x− 1 n+x

. Justifier l’existence de l’intégrale Z 1

0

ψ(x)dx, et la calculer.

2) RPour x >0, on poseS(x) =

∞

X

n=1

1 n+n²x.

(a) Montrer queS est définie et continue surR^∗+. (b) Étudier la monotonie deS.

(c) Donner la limite puis un équivalent deS en+∞.

(d) Déterminer un équivalent deS en0.

3) ROn poseS(t) =

∞

X

n=0

(−1)ⁿ

1 +nt pourt >0.

(a) Justifier queS est définie et continue sur]0,+∞[.

(b) Étudier la limite deS en+∞.

(c) Établir queS est de classeC¹sur]0,+∞[.

(d) Déterminer la limite deSen0⁺.

4) Trouver un équivalent en0⁺ et en+∞de la série de fonctionX

n>1

1 sh (nx). 5) Pour toutn∈Net toutx∈R⁺, on posef_n(x) = th (x+n)−thn.

(a) Établir la convergence de la série de fonctions X f_n. (b) Justifier que la fonction sommeS=

∞

X

n=0

fn est continue et strictement croissante surR⁺. (c) Montrer que : ∀x∈R⁺

S(x+ 1)−S(x) = 1−thx.

(d) Étudier la limite deS en+∞. 6) (a) Soit a >0 etb >0. Montrer que

Z 1

0

t^a−1 1 +t^b dt=

∞

X

n=0

(−1)ⁿ a+nb. (b) Calculer

∞

X

n=0

(−1)ⁿ 1 + 3n.

(5)

7) Soitf :R→R, lipschitzienne,a >0et λ∈]0,1[. Existe-t-ilF, lipschitzienne surR, telle que : (∀x∈R) F(x+a)−λF(x) =f(x)

8) KPourx∈R, on noteθ(x) =x−Ent (x)la partie fractionnaire dex, et, pourn∈Netx∈R,f_n(x) =θ(nx) 2ⁿ . (a) Étudier la série d’applicationsX

fn. (b) En notantSla somme de la sérieX

fn, calculer le saut deSen chaque discontinuité.

VI. D ES SÉRIES DE FONCTIONS HISTORIQUES

1) FRLa fonctionζ de Riemann On poseζ(x) =

∞

X

n=1

1 n^x.

(a) Montrer que la fonctionζ est définie et de classeC^∞ sur]1,+∞[. (b) Étudier la monotonie et la convexité de la fonctionζ.

(c) Déterminer lim

x→+∞ζ(x), et un équivalent deζ en1⁺.

(d) En exploitant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, établir quex7→ln (ζ(x))est convexe.

(e) i. Pour quels réelsxla sérieX_ζ(n)

n xⁿ converge-t-elle ? ii. SiF(x) =

∞

X

n=2 ζ(n)

n xⁿ, montrer queF est continue sur[−1,1], et de classeC¹sur]−1,1[.

iii. Donner une expression plus simple deF(x). 2) La fonctionζ alternée

On poseζ(x) =

∞

X

n=1

1

n^x etζ₁(x) =

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ n^x .

(a) Montrer que la fonctionζ1est de classeC^∞ sur]0,+∞[.

(b) Établir la relation :ζ1(x) = 1−2^1−x

ζ(x)pour toutx >1.

3) KLa fonction de Van Der Waerden Pour toutt∈R, on notehti=d(t,Z) = inf

m∈Z|t−m|.

(a) A toutn∈Non associe l’applicationu_n :t7→ h10ⁿti

10ⁿ deRdansR.

Montrer que la sérieX

un converge uniformément surR, et que sa sommef est continue.

(b) Montrer quef n’est dérivable en aucun point deR.

(c) Montrer quef n’est monotone sur aucun intervalle d’intérieur non vide.