Université A. Mira de Béjaia Faculté de la Technologie
Département ST2 Examen de Maths 3 20/02/2010
Exercice1(1,5 points):
Etudier la nature de la série numérique suivante : 1
2·3+ 1 4·5+ 1
6·7+ ···
Exercice2(4 points):
Etudier la nature de la série numérique de terme général : un= (−1)n
n+sinn (∀n∈N∗).
Exercice3(6 points):
Etudier la convergence simple puis la convergence uniforme de la suite de fonctions de terme général donné par :
fn(x)= x
n+x2 (∀n∈N∗,∀x∈R).
Exercice4(7 points):
SoitUn(x)=e−xpn (∀n∈N,∀x∈R).
1. Soita>0. Montrer la convergence normale de la série de fonctions de terme généralUn(x) sur [a,+∞[. A-t-on la convergence normale surR+?
2. SoitU(x)= ∑
n≥0
Un(x). Montrer que la fonctionU est continue surR∗+.
3. Montrer que la fonctionU est dérivable surR∗+et que sa dérivée est donnée par : U′(x)= −∑
n≥0
pne−xpn (∀x∈R∗+).
4. Que se passe-t-il six<0 ?
Exercice5(1,5 points): Choisir entre 1. et 2.
1. Déterminer le domaine de convergence de la série entière suivante :
∑∞ n=0
(n2+3n+2)xn. 2. Montrer que la série numérique de terme général :
un=arctan
( 1 n2+n+1
)
(∀n∈N) est convergente puis calculer sa somme.
+ Utiliser la formule : arctan
( a−b 1+ab
)
=arctana−arctanb (∀a,b∈R).
Bonne chance
