(a) Etudier la convergence simple de la s´erie de fonctions de terme g´en´eralfn

Licence MI 2`eme ann´ee, Analyse, Semestre 1, Feuille 5 (S´eries de fonctions), Ann´ee 2004-2005.

Exercice 1 (Convergence simple, uniforme et normale)

1. Soitfn(x) = ^sin(_n^nx2 ⁾ pour n≥1 et x∈^R.

(a) Etudier la convergence simple de la s´erie de fonctions de terme g´en´eralfⁿ. (b) Etudier la convergence normale de la s´erie de fonctions de terme g´en´eral

fⁿ sur ^R.

(c) En d´eduire la convergence uniforme de la s´erie de fonctions de terme g´en´eralfⁿ sur ^R.

2. Soitgⁿ(x) = ^sin(_n^nx3 ⁾ pour n≥1 et x∈^R.

(a) Etudier les convergences simples et uniformes de la s´erie de fonctions de terme g´en´eral gⁿ.

(b) Etudier la convergence uniforme de la s´erie de fonctions de terme g´en´eral gn^′ sur ^R.

3. Soithⁿ(x) = sin^xn²⁴⁺+1ⁿ²

pour x∈^R et n∈^N. (a) Montrer que pour tout x ∈ ^R, ^X

n

hⁿ(x) converge. (On pourra utiliser

|sinx| ≤ |x|).

(b) Etudier la convergence uniforme de la s´erie de fonctions de terme g´en´eral hⁿ sur [−R, R] avec R > 0.

Exercice 2 (Continuit´e et d´erivabilit´e de s´eries de fonctions) On reprend les notations de l’exercice pr´ec´edant.

1. On note pour x∈^R,F(x) =

+∞

X

n=1

fⁿ(x).

Parmi les trois convergences obtenues, laquelle suffit pour assurer que F est bien d´efinie ?

Mˆeme question pour la continuit´e.

2. Montrer que la fonction G, d´efinie par G(x) =

+∞

X

n=1

gⁿ(x) pour x ∈ ^R, est d´erivable sur ^R.

3. (a) Montrer que la fonction sommeHde la s´erie de fonctions de terme g´en´eral hn est d´erivable sur [−R, R] pour R >0.

(b) Montrer que H est d´erivable sur ^R.

1

4. Soitkⁿ:^R+→^R d´efinie parkⁿ(x) = e^−nx

n²+ 1 avec n ∈^N∗.

(a) Etudier la convergence uniforme de la s´erie de fonctions de terme g´en´eral kⁿ.

(b) Montrer que la fonction sommeK de cette s´erie est continue sur [0,+∞[.

(c) Etudier la convergence uniforme de la s´erie de fonctions de terme g´en´eral kn^′ sur [a,+∞[ pour tout a >0.

(d) Montrer que K est d´erivable sur ]0,+∞[.

Exercice 3 (Calcul de la somme de la s´erie `a l’aide de la d´erivation) Soit f d´efinie comme la somme de la s´erie de fonctions

f(x) =

+∞

X

n=1

1

n cosⁿ(x) sin(nx).

1. On poseun(x) = 1

ncosⁿ(x) sin(nx).Montrer que^Pun(x) converge uniform´ement sur [a, π−a], ∀0< a < π/2.

Que peut-on en d´eduire sur f ?

2. Montrer que ^Pu^′n(x) converge uniform´ement sur [a, π−a],∀0< a < π/2.

Que peut-on en d´eduire sur f ? 3. Montrer que

f^′(x) =

+∞

X

n=1

cosⁿ⁻¹(x) cos((n+ 1)x), puis que

f^′(x) =Re e^2ix 1−cosxe^ix

!

.

On pr´ecisera les valeurs de xpour lesquelles on a obtenu ce r´esultat.

4. Simplifier l’expression pr´ec´edante et en d´eduire une autre expression def. Annales (Examen 2003-2004)

Soit fⁿ :^R+ →^R d´efinie pour n∈^N∗ par fⁿ(x) = x

n(1 +n²x). 1. Montrer que, pour tout x≥0, la s´erie

+∞

X

n=1

fⁿ(x) converge.

On peut ainsi d´efinir la somme de la s´erie de fonctions F :^R+ →^R, x7→

+∞

X

n=1

fⁿ(x).

2. Calculerfn^′ et en d´eduire sup

x∈R⁺

|fⁿ(x)|.

3. En d´eduire que F est continue sur [0,+∞[.

4. Montrer que F est d´erivable sur ]0,+∞[.

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