Stanislas
Exercices
Suites & Séries de fonctions
Chapitre IX
2020-2021PSI
I. Suites de fonctions
Exercice 1. (-) Soit α > 0. Étudier la convergence simple et uniforme des suites de fonctions numériques (prolongées éventuellement par conti- nuité) dans chacun des exemples suivants :
1.nxnln(x) sur[0,1]. 2. sin(nx)n√x surR+. 3.nαxe−nx surR.
4. 1+xxn2n surR.
5.x1−α1−α−nxx surR+.
6. x(1+nx)sin(x) sur [0, π]. 7. sinnsin(x)2(nx) sur]0, π[.
8. nxn+1 1
n+1 −2n+1xn sur [0,1].
Exercice 2. [Mines]Soit(fn)n∈Nla suite de fonctions dénies surR+telle quef0:t7→0 et, pourn∈N,fn+1(t) =p
t+fn(t).
1. Montrer que (fn)n∈N converge simplement vers une fonction f que l'on précisera.
2.La suite (fn)n∈N est-elle uniformément convergente ? 3.Montrer que pour toutt∈R∗+, il existen0∈Ntel que
∀ n>n0,|fn+1(t)−fn(t)|> |fn(t)−f(t)|
2fn+1(t) .
Exercice 3. (Approximation polynomiale uniforme de la valeur absolue,
♥)Soitx∈[−1,1]. On pose P0(x) = 0 et pour tout entier natureln, Pn+1(x) =Pn(x) +x2−Pn(x)2
2 .
1.Montrer que |x| −Pn+1(x) = (|x| −Pn(x))
1−|x|+P2n(x) .
2. Montrer que 0 6 Pn(x) 6 Pn+1(x) 6 |x| et |x| − Pn(x) 6
|x|
1−|x|2 n
< n+12 .
3. En déduire que (Pn) converge uniformément vers la fonction valeur absolue sur[−1,1].
II. Séries de fonctions
Exercice 4. (-)Étudier la convergence simple, sur des intervalles à pré- ciser, des séries de fonctions de terme général
1. x2
n
1−x2n+1. 2. nx+(−1)(−1)n n.
3. (1+nx)(1+(n+1)x)x . 4. (n−x)(n+1−x)(n+2−x)1 . Exercice 5. (-)Soit a∈R. Étudier la convergence normale des séries de fonctions de terme général :
1. eninx2 . 2. n2+sin(nx)1 .
3. (1+x(−1)2n)xn.
Exercice 6. [Mines] Soient (an) une suite bornée de réels et f :x7→
+∞
P
n=0
|x−an|
3n . Étudier la bonne dénition, la continuité et la dé- rivabilité def surR.
Exercice 7. (Zêta de RIEMANN et Eta de DIRICHLET) [Mines] Soient f :x7→
+∞
P
n=1 1
nx etg:x7→
+∞
P
n=1
(−1)n−1 nx .
1.Déterminer les ensembles de dénition de D1 etD2 de f etg. 2.Étudier les limites de f aux bornes deD1.
3.Étudier la continuité et la dérivabilité de g.
4. Établir une relation entre f et g. En déduire un équivalent de f(x) quandx tend vers1.
Exercice 8. [Mines]On posef :x7→
+∞
P
n=1 2x x2+n2. 1.Déterminer l'ensemble de dénition de f.
2.Étudier la continuité de f sur son ensemble de dénition.
3.Déterminer les limites de f aux bornes de l'intervalle de dénition.
Exercice 9. [Mines]
1.Soitf :x7→ P
n>1 x
n2+x2. Montrer quef est bien dénie surRet étudier la convergence uniforme. La fonctionf est-elle continue ?
Stanislas 24 A. Camanes
Exercices IX PSI
2.Soitg:x7→ P
n>1 (−1)nx
n2+x2. Montrer queg est bien dénie surR. Étudier la convergence uniforme, la convergence normale.
Exercice 10. [Centrale] On considère S1 : x 7→
+∞
P
n=1
ln(1 + x2n), S2:x7→
+∞
P
n=1
ln(1 +x2n−1) etS3 :x7→
+∞
P
n=1
ln(1−x2n−1). 1.Déterminer les domaines de dénition de S1, S2 etS3. 2.Montrer que S1, S2 etS3 sont de classeC1.
3.CalculerS1+S2+S3.
Exercice 11.On considère la sérieP x
(1+x2)n.
1.Montrer que cette série converge normalement sur[a,+∞[pour tout a >0.
2.Montrer que cette série ne converge pas uniformément sur [0,1]. 3.Déterminer sa somme.
Exercice 12.Soitg(x) =
+∞
P
n=0 (−1)n
n!
1 x+n.
1. Étudier le domaine de dénition deg ainsi que la continuité de g en tout point deR\Z−.
2.Calculerg(1).
3.Pour tout réel x à dénir, calculerxg(x)−g(x+ 1).
Exercice 13.Pour tout x réel, on pose tanh(x) = sinh(x)cosh(x). Pour tout n entier naturel, on poseun(x) = tanh(x+n)−tanh(n).
1. Montrer que pour tout x réel, P
un(x) converge et que sa somme x7→f(x) est croissante et continue.
2.Déterminer la nature de la sérieP
(1−tanh(n)).
3.Montrer que la fonctionf admet une limite en+∞et la déterminer.
4.Montrer que, pour tout réel x,f(x+ 1) =f(x) + 1−tanh(x). Exercice 14. [Centrale]Soient xety deux réels strictement positifs.
1.Montrer que g:t7→txty est intégrable sur]0,1].
2. On pose fn(t) = (xln(t)tn! y)n pour t ∈]0,1] et fn(0) = 0. Prouver la convergence normale deP
fnsur [0,1]. 3.Calculer
Z 1
0
g(t)dt.
III. Questions diverses. . .
Exercice 15. (-) On suppose que (fn)n∈N converge uniformément vers f sur I. Soit g : J → R telle que g(J) ⊂ I. Montrer que (fn◦g)n∈N
converge uniformément surI vers f◦g.
Pour tout entier naturel n non nul et pour tout x réel, on pose fn(x) =x+n1 et g(x) = x2. Montrer que (fn)n∈N∗ converge uniformé- ment sur R mais que (g ◦fn)n∈N∗ ne converge pas uniformément sur R.
Exercice 16.Soient (fn) et (gn) deux suites convergeant uniformément sur I vers deux fonctions f et g. On suppose que les fonctions f et g sont bornées. Montrer que(fngn)converge uniformément versf gsurI. IV. Avec Python
Exercice 17. [Centrale]Soit un=
n
Q
k=1
1−k21π2 .
1.Calculerunpour16n610avec un nombre de décimales satisfaisant, puis u101n pour16n64. Commenter.
2. Soient f et g dénies sur ]0, π[ par f(t) =
+∞
P
n=1 2t t2−n2π2 et g(t) = cos(t)sin(t) −1t. Quelle est la limite de g en 0? Montrer que f et g sont continues sur[0, π[.
3.Représenter graphiquementf etgsur]0, π[. On admettra dans la suite l'égalité des deux fonctions.
4.Calculer, pourx∈]0, π[,+∞P
k=1
ln
1− kx2π22 . Indication : Calculer de deux façons l'intégraleZ x
0
g(t)dt. 5.En déduire la limite de(un).
Mathématiciens
Dirichlet Johann Peter Gustav Lejeune (13 fév. 1805 à Düren-5 mai 1859 à Göttingen).
Riemann Georg Friedrich Bernhard (17 sept. 1826 à Breselenz-20 juil.
1866 à Selasca).
Stanislas 25 A. Camanes
