PSI* 2019/2020
T.D. 05 — Suites et séries de fonctions
1. Étudier la convergence simple et uniforme de la suite de fonctions (fn)définie par
∀n∈N∗ ∀x∈R fn(x) = cos nx n+ 1.
2. Sur l’intervalle [0, π/2], étudier la convergence simple et uniforme de la suite de fonctions(fn) définie par (αétant un réel fixé) : ∀n∈N ∀x∈[0, π/2] fn(x) =nαsinxcosnx.
Calculer π/
2 0
fn(x) dx. Que se passe-t-il lorsque ntend vers l’infini ?
3. Soit, pourn∈N∗ etx∈R: un(x) = (−1)n· x nx.
a)Étudier la convergence simple et uniforme de la suite de fonctions (un)n∈N∗.
b)Étudier la convergence simple et uniforme de la série de fonctions un, puis sa convergence normale sur les demi-droites de la forme [a,+∞[.
4. Montrer que la série de fonctions un définie par : ∀n ≥ 2 ∀t ∈ R un(t) = te−nt
lnn converge uniformément sur R+, mais pas normalement.
5. Étudier la continuité de S:t→
∞
n=1
t 1 +n2t2
(on pourra déterminer la limite de S en 0+ à l’aide d’une comparaison avec une intégrale).
6. Soit (an)n∈N une suite complexe convergeant vers 0.
a)Montrer la définition et la continuité surR def :x→
+∞
n=0
anxn n!. b)On pose : ∀n∈N Mn= sup
p≥n
|ap|. Montrer que la suite (Mn) décroît vers 0.
c)En déduire que : f(x) =
x→+∞o(ex) (on pourra utiliser le théorème de la double limite).
7. Étudier la convergence simple et uniforme de la série de fonctions un définie par
∀n∈N∗ ∀t∈R un(t) = (−1)nln 1 + t2 n(1 +t2) .
Déterminer la limite de la fonction somme en+∞(on pourra utiliser la formule de Stirling).
8. Montrer que la série de fonctions wn définie par :
∀n∈N∗ ∀x∈R wn(x) = 1 nx −
n+1 n
dt tx converge uniformément sur [1,+∞[. En déduire que
ζ(x) =
x→1+
1
x−1+γ+o(1) où ζ(x) =
∞
n=1
1
nx ,γ étant la constante d’Euler.
9. On pose, pour tout ndansN,un=
1 0
dt
1 +t+· · ·+tn.
Montrer que la suite (un) converge vers une limite ℓet étudier la nature de la série de terme général un−ℓ.
10. Étant donnés un segment[a, b](a,bréels tels quea < b) et une fonctionf0 continue sur[a, b], on définit la suite de fonctions (fn) par :
∀n∈N ∀x∈[a, b] fn+1(x) =
x a
fn(t) dt.
Montrer que la série de fonctions fn converge normalement sur [a, b] et que sa fonction somme S vérifie une équation différentielle linéaire d’ordre 1, que l’on précisera. En déduire la fonctionS.
11. Ensemble de définition et continuité de la fonctionS :x→
+∞
n=0
(−1)ne−n x n+ 1 . Étudier la dérivabilité deS. Calculer S(x).
12. Montrer que f :x→
∞
n=1
x
n(1 +nx2) est définie et continue surR, de classeC1 sur R+∗. Montrer que lim
x→0+
f(x)
x = +∞et que lim
x→+∞f(x) = 0.
