Suites et séries de fonctions

Suites et séries de fonctions

Notations.

I désigne un intervalle de Rnon vide et non réduit à un point.

(f_n)n∈N etf désignent des fonctions dénies surI à valeurs dans K(oùKestR ouC).

I. Modes de convergence

I.1 Convergence simple

Définition 1 (Convergence simple).

La suite (fn)n∈N converge simplement sur I vers la fonction f si pour tout x ∈ I, la suite (fn(x))n∈Nconverge versf(x), i.e.

∀x∈I,∀ ε >0,∃ nx,ε∈N; ∀n>nx,ε,|f_n(x)−f(x)|6ε.

Exercice 1.Étudier la convergence simple des fonctions dénies par 1. f_n(x) = _1+nx^nx surR+. 2.f_n(x) =

n

P

k=0 x²

(1+x²)^k surR. 3.f_n(x) = lim

m→+∞(cos (n!πx))^2m sur R.

Propriétés 1 (Propriétés stables par convergence simple). On suppose que (f_n)n∈N converge simplement surI versf.

(i). Si, à partir d'un certain, fn est à valeurs positives, alors f est à valeurs positives.

(ii). Si, à partir d'un certain rang, x7→fn(x) est croissante, alorsf est croissante.

Exercice 2.

1.Pour toutxréel et tout entier naturel non nul, on posefn(x) = ^sin(nx)√_n . Prouver la convergence simple surRde la suite (f_n)n∈N^∗ puis étudier la convergence simple sur Rde la suite (f_n⁰)n∈N^∗. 2. Pour tout x ∈ [0,1] et tout entier naturel n, on pose f_n(x) = n²x(1−x²)ⁿ. Prouver la convergence simple sur[0,1]de la suite(fn)n∈Npuis déterminer le comportement asymptotique de la suite Z 1

0

fn(x)dx

n∈N

.

3. Pour tout x ∈]0,1] et tout entier naturel n non nul, on pose f_n(x) = n²x si 0 6 x 6 ¹_n et fn(x) = ¹_x si _n¹ < x 61. Montrer que la suite (fn)n∈N^∗ converge simplement sur]0,1]. Étudier la convergence des intégrales

Z 1 0

fn(x)dx et Z 1

0

f(x)dx. I.2 Convergence uniforme

Définition 2 (Convergence uniforme). La suite (f_n)_n∈

N converge uniformément sur I vers la fonction f si

∀ε >0,∃nε∈N; ∀(x, n)∈I×N,[n>nε ⇒ |f_n(x)−f(x)|6ε].

Exercice 3.Pour tout entier natureln, on posef_n:x7→xⁿ. Montrer que, pour tout réela∈]0,1[, (f_n)n∈N converge uniformément sur [0, a]vers la fonction nulle.

Propriété 2 (Simple vs. Uniforme).

Si(fn)n∈Nconverge uniformément surIversf, alors(fn)n∈Nconverge simplement surIversf. Exercice 4. Pour tout entier naturel n, on posef_n:x7→xⁿ. Montrer que la suite (f_n) converge simplement sur[0,1]. Montrer que (fn)ne converge pas uniformément sur [0,1].

Définition 3 (Norme infinie).

Sif est une fonction bornée surI, la norme innie def surI est kfk_∞,I = sup

x∈I

|f(x)|.

Propriété 3 (Norme de la convergence uniforme).

La suite (fn)n∈N converge uniformément sur I vers la fonction f si et seulement si, à partir d'un certain rang, la fonction f_n−f est bornée et lim

n→+∞kf_n−fk_∞,I = 0. Exercice 5.

1. Pour tout réel positifxet tout entier natureln, on posef_n(x) = _n^xe^−nx. Montrer que(f_n)n∈N

converge uniformément surR+.

2.Pour tout réelxet tout entier naturel non nuln, on notefn(x) =x²+_n¹. Montrer que(fn)n∈N

converge uniformément surR mais quef_n n'est pas bornée.

Propriété 4 (Convergence uniforme & Majoration).

La suite (f_n)n∈N converge uniformément sur I vers f si et seulement s'il existe une suite numérique (an)n∈Nde limite nulle telle que, à partir d'un certain rang,

∀ x∈I, |f_n(x)−f(x)|6a_n.

Exercice 6.

1. Montrer que _n

P

k=1 (−1)^k

x+k

converge uniformément sur [1,2].

2. a)On suppose que(fn)n∈N converge uniformément surI versf. Soit(xn)n∈N une suite d'élé- ments deI. Alors,(f_n(x_n)−f(x_n))n∈N converge vers0.

b) Pour tout réel x et tout entier naturel n, on pose fn(x) = ^x

√n

1+nx². Montrer que (fn)n∈N

converge simplement mais non uniformément sur R+. Propriété 5 (Convergence uniforme sur tout segment).

On suppose que (fn)n∈N converge uniformément sur I vers f. Alors, pour tout segment [a, b]

inclus dansI, la suite(fn)n∈N converge uniformément sur [a, b]vers f. Exercice 7. Montrer que la réciproque est fausse.

I.3 Convergence normale d'une série de fonctions Définition 4 (Convergence normale).

Soit (fn) une suite de fonctions bornées sur I. La suite _n

P

k=0

fk

n∈N

converge normalement surI si la série numériqueP

kf_nk_∞,I converge.

Exercice 8.

1. Montrer que s'il existe une suite(a_n)telle queP

a_nconverge et∀n∈N,∀x∈I,|f_n(x)|6a_n,

3

fn converge normalement surI. 2. Montrer quePsin(nx)

n² converge normalement sur R.

3. Montrer queP_xⁿ

n! converge normalement sur tout segment de R.

Propriété 6. Si

_n P

k=0

f_k

converge normalement sur I, alors _n

P

k=0

f_k

converge uniformément sur I.

Exercice 9. En étudiant P(−1)ⁿ

x+n sur[1,2], montrer que la réciproque de ce théorème est fausse.

Propriété 7 (Convergence normale sur tout segment). On suppose queP

f_n converge normalement surI. Alors, pour tout segment[a, b]inclus dans I, la sérieP

f_n converge normalement sur[a, b].

Exercice 10. En utilisant la série géométrique, montrer que la réciproque de ce théorème est fausse.

II. Propriétés préservées par convergence uniforme Notation.

Dans toute cette section,(fn)n∈Nconverge uniformément sur I vers la fonctionf. Exercice 11.

1. a) Bornées. Si, pour tout entier naturel n, la fonction fn est bornée surI, alorsf est bornée surI.

b) Pour tout réel x∈]0,1[ et pour tout entier naturel n, on note f_n(x) = _nx+1ⁿ . Montrer que (fn)ne converge pas uniformément sur ]0,1[.

2. Combinaisons linéaires.Soitλ∈K. On suppose que(f_n)n∈Nconverge uniformément surI vers f et (g_n)n∈N converge uniformément sur I vers g. Alors, (λf_n+g_n)n∈N converge uniformément surI versλf+g.

3. Gare aux Produits.Pour tout réelx et tout entier naturel nnon nul, on pose f_n(x) =x+_n¹. Montrer que(f_n)converge uniformément surRmais que(f_n²)ne converge pas uniformément sur R.

II.1 Convergence uniforme & Continuité Théorème 1 (Préservation de la continuité).

On suppose que (f_n) converge uniformément sur I vers f. Si, pour tout entier naturel n la fonction f_n est continue sur I, alors la fonction f est continue sur I.

Exercice 12.

1.Pour tout réelx∈[0,1]et tout entier naturel n, on pose f_n(x) =xⁿ. Montrer que(f_n)n∈N ne converge pas uniformément sur[0,1].

2. Montrer que ce résultat reste vrai si(fn) converge uniformément sur tout segment deI.

3. Pour tout x réel, on dénit sur [0,1] la fonction continue par morceaux f_n par f_n(x) = 0 si x 6 _n¹ et, pour tout k ∈ [1, n−1], fn(x) = _k¹ si x ∈ i

1 k+1,¹_k

i. Montrer que (fn) converge uniformément sur[0,1]mais que sa limite n'est pas continue par morceaux.

Corollaire 2.

Soit(f_n)n∈Nune suite de fonctions continues surI telles queP

f_nconverge uniformément sur I. Alors, ^+∞P

n=0

f_n est continue surI. Exercice 13.

1. Montrer que ce résultat reste vrai si(fn) converge uniformément sur tout segment deI. 2. Montrer queexp :x7→

+∞

P

n=0 xⁿ

n! est continue sur R.

3. Montrer que la fonctionζ :x7→

+∞

P

n=1 1

n^x est continue sur ]1,+∞[. Théorème 3 (Théorème de la double limite, Admis).

Soit (f_n)n∈N une suite de fonctions qui converge uniformément sur I vers une fonction f et x0 ∈I. S'il existe une suite de réels(`n)n∈Ntelle que pour tout entier natureln, lim

t→x0

fn(t) =`n, alors(`n)n∈N converge et

t→xlim0

f(t) = lim

n→+∞`_n.

Corollaire 4.

Soient (f_n)n∈N une suite de fonctions dénies sur I etx₀ ∈I. Si, pour tout entier naturel n, fn converge en x0 etP

fn converge uniformément surI, alorsP

t→xlim0

fn(t)

converge vers un scalaire `et lim

x→x₀ +∞

P

n=0

f_n(x) =`. Exercice 14.

1. Montrer que lim

x→+∞ζ(x) = 1.

2. En utilisant la série géométrique, montrer que ce résultat ne s'applique pas si la convergence est uniforme sur tout segment de I.

II.2 Convergence uniforme & Intégration Théorème 5 (Interversion limite / intégrale).

Soit(f_n)n∈Nune suite de fonctions continues qui converge uniformément sur le segment [a, b]. Alors,

Z b a

n→+∞lim fn(t)dt= lim

n→+∞

Z b a

fn(t)dt.

Exercice 15.

1. Montrer que ce résultat peut être faux si la convergence est simple mais non uniforme.

2. Pour tout réelx positif et pour tout entier natureln, on pose fn(x) =







2·^x−k_n six∈

k, k+¹₂

, k6n 2·^k+1−x_n six∈

k+¹₂, k+ 1

, k6n

0 sinon.

a)Montrer que Z +∞

0

f_n(x)dx est convergente et déterminer sa valeur.

b)Montrer que (f_n)n∈N converge uniformément sur Rvers la fonction nulle.

Corollaire 6 (Interversion série / intégrale).

Soit (f_n)n∈N une suite de fonctions continues telle que P

f_n converge uniformément sur le segment [a, b]. Alors,

Z b a

+∞

X

n=0

fn(t)

! dt=

+∞

X

n=0

Z b a

fn(t)dt.

Exercice 16.

1. Montrer que, pour tout réelx∈]−1,1[, ^+∞P

n=1 xⁿ

n =−ln(1−x). 2. Montrer que, sur un ensemble à préciser,

arctan(x) =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿx²ⁿ⁺¹ 2n+ 1.

II.3 Convergence uniforme & Dérivation Théorème 7 (Limite de dérivées).

Soit hune fonction dénie sur I telle que (i). ∀n∈N, f_n soit de classe C¹ surI, (ii). (f_n)n∈N converge simplement surI vers f, (iii). (f_n⁰)_n∈

N converge uniformément sur I versh.

Alors, la fonction f est de classe C¹ et f⁰ = h. De plus, (f_n)n∈N converge uniformément sur tout segment de I versf.

Exercice 17.

1. En étudiant la suitef_n(x) = q 1

n² +x² sur[−1,1], montrer que (f_n) converge uniformément sur [−1,1] vers la fonction valeur absolue, mais que (f_n⁰) ne converge pas uniformément sur [−1,1].

2. En étudiant la suite fn(x) = ^sin(nx)_n , montrer que (fn) converge uniformément sur R vers 0 mais que la suite des dérivées ne converge pas simplement sur R.

3.En étudiant la suitef_n(x) = e^−xn, montrer que(f_n) converge simplement mais non uniformé- ment surR+ alors que(f_n⁰) converge uniformément sur R+.

Corollaire 8 (ExtensionC^k).

Soientk∈N^∗ et(g0, . . . , g_k) des fonctions surI tels que (i). ∀n∈N, fn est de classe C^k surI,

(ii). fn^(k) converge uniformément surI vers gk,

(iii). pour tout j∈J0, k−1K,fn^(j) converge simplement surI versgj. Alors, la fonction g₀ est de classeC^k et pour tout j∈J0, pK,g_j =g₀^(j).

Corollaire 9.

Soit (fn) une suite de fonctions dénies sur I telles que

(i). Pour tout entier natureln, la fonction fn est de classe C¹ surI, (ii). P

fn converge simplement surI, (iii). P

f_n⁰ converge uniformément surI. Alors, la fonction ^+∞P

n=0

f_n est de classe C¹ surI et _+∞

P

n=0

f_n 0

=

+∞

P

n=0

f_n⁰.

Exercice 18.

1. Étendre le résultat précédent aux fonctions de classeC^k.

2. Montrer que la fonctionζ est de classe C¹ sur]1,+∞[et queζ⁰(x) =−

+∞

P

n=1 ln(n)

n^x . 3. Soit z∈C. Pour tout réelt, on pose g(t) =

+∞

P

n=0 (tz)^k

k! . Montrer que g est de classe C^∞ surR et que pour tout entier naturelk,g^(k):t7→z^ke^tz.

Convergence d'une suite de fonctions de répartition

Exercice 19. Soit(Xn)n∈N une suite de variables aléatoires telles que, pour toutn∈N, (i). X_n est à valeurs dans

0,¹_n,_n², . . . ,ⁿ⁻¹_n . (ii). P X_n= ^k_n

=α_n

e^kn−1

, oùα_n= _n−1 ¹

P

k=0(^ek/n−1). (iii). Fn est la fonction de répartition deXn.

1. Déterminer un équivalent de(αn).

2. Déterminer une expression deF_nsans signe somme.

3. Montrer que(Fn) converge simplement vers une fonction continuef. 4. Montrer que cette convergence est uniforme.

Programme ociel (PSI)

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