MP 2020-21
Kholles de Mathématiques — programme n ◦ 9
Semaine du mardi 24 au vendredi 27 novembre 2020
Attention désormais tous les énoncés sont démontrés.
Les résultats admis seront explicitement indiqués.
Chapitre 09 : suites et séries de fonctions
I. 1. Convergence d’une suite de fonctions.
1. 1.1 Convergence simple Définition. Exemple.
2. Convergence uniforme
Définition. Norme de la convergence uniforme.
Théorème : la convergence uniforme implique la convergence simple.
Définition d’un voisinage tubulaire.
Exemples et contre-exemples (de suites de fonctions qui convergent uniformément ou qui convergent sans converger uniformément).
3. Convergence uniforme sur tout compact
Pour le moment : compact ssi fermé + borné (la source est un EV de dimension finie).
Définition.
Remarque : la convergence uniforme implique la convergence uniforme sur tout compact.
Exemples et contre-exemples.
4. Limite uniforme d’une suite de fonctions bornées
Théorème : la limite uniforme d’une suite de fonctions bornées est bornée.
5. Limite uniforme d’une suite de fonctions continues
Théorème : la limite uniforme d’une suite de fonctions continues est continue.
Remarque : il suffit en fait que la convergence soit uniforme sur tout compact.
Corollaire (DEMO NON EXIGIBLE, nécessite les suites de Cauchy) : « théorème de la double limite », c’est- à-dire extension au cas des limites. En d’autres termeslim
n lim
a fn = lim
a lim
n fn lorsque la suite(fn)n converge uniformément et chaquefn admet une limite ena.
II. Convergence d’une série de fonctions.
1. Convergence uniforme
Remarque : la convergence uniforme d’une série de fonctions correspond à la convergence uniforme de la suite des sommes partielles.
Proposition :
•La convergence uniforme d’une série de fonctions implique la convergence simple.
•La somme d’une série de fonctions qui converge uniformément (sur tout compact) est continue.
•Si Pun converge uniformément et si chaqueun admet une limite`n ena, alors la sérieP`n converge et
+∞
X
n=0
lima un = lim
a +∞
X
n=0
un.
2. Convergence normale d’une série de fonctions Définition.
Remarque : une CNS de convergence normale pourPun est qu’il existe une série majorante, c’est-à-dire une sérieP
αn de réels convergente et vérifiantkunk∞≤αn pour toutn.
Exemple.
Fénelon Sainte-Marie – La Plaine-Monceau 1/2 18 novembre 2020
MP 2020-21
3. Lien entre convergence normale et convergence uniforme
Théorème : pour les séries de fonctions, la convergence normale implique la convergence uniforme.
Contre-exemple d’une série qui converge uniformément sans converger normalement.
III. Extension aux fonctions vectorielles.
1. Suites et séries de fonctions à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie Extension des définitions et des propositions précédentes. En particulier :
•Convergences simple ou uniforme des suites de fonctions.
•Convergences simple, uniforme ou normale des séries de fonctions.
•La convergence normale implique la convergence uniforme, qui implique la convergence simple.
•On peut échanger limite en un point et limite d’une suite uniformément convergente, ou limite en un point et somme d’une série uniformément convergente.
2. Exemples
Dans une algèbre normée unitaire de dimension finie, exemple des applicationsu7→(e−u)−1etu7→exp(u).
IV. Approximation des fonctions d’une variable réelle.
1. Fonctions en escalier
Définition. Subdivision adaptée à une fonction en escalier.
Rappels de 1ère année.
Proposition : étant donné deux fonctions en escalier il existe toujours une subdivision adaptée simultanément aux deux fonctions. L’ensemble des fonctions en escalier et un espace vectoriel.
Définition d’une fonction en escalier sur R, comme étant une fonction à support compact (nulle en-dehors d’un segment) et en escalier sur son support.
2. Fonctions continues par morceaux
Définition. Subdivision adaptée à une fonction continue par morceaux.
Rappels de 1ère année (SANS DEMO).
Proposition : une application continue par morceaux est bornée.
Définition d’une fonction continue par morceaux surR: lorsque la restriction à tout segment est continue par morceaux.
3. Approximation uniforme des fonctions continues par morceaux par des fonctions en escalier Théorème : toute fonction continue sur un segment est limite uniforme d’une suite de fonctions en escalier.
Corollaire : toute fonction continue par morceaux sur un segment est limite uniforme d’une suite de fonctions en escalier.
4. Approximation uniforme des fonctions continues par des fonctions affines par morceaux Définition d’une fonction affine par morceaux.
Théorème : toute fonction continue sur un segment est limite uniforme d’une suite de fonctions affines par morceaux.
5. Approximation uniforme des fonctions continues par des fonctions polynomiales
Premier théorème de Weierstrass (ADMIS) : toute fonction continue sur un segment et à valeurs réelles ou complexes est limite uniforme d’une suite de fonctions polynomiales. (Démonstration utilisant la continuité uniforme vue en TD.)
Définition des polynômes trigonométriques.
Second théorème de Weierstrass (ADMIS) : toute fonction continue surR, à valeurs réelles ou complexes et périodique est limite uniforme d’une suite de polynômes trigonométriques.
Semaine suivante : kholles de révision (réduction et suites/séries fonctions).
Fénelon Sainte-Marie – La Plaine-Monceau 2/2 18 novembre 2020
